第9讲 几何填选压轴题 重点题型针对训练(含答案)2021年北师大版中考数学二轮复习
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1、第第 9 9 讲讲 几何填选压轴题几何填选压轴题 【方法梳理】 这类题的核心是“几何构造” ,不会有统一固定的解题方法,但有一点一定是考查内容: “四个典型” (典型模型、 典型题型、典型解题方法、重点知识点的典型用法) ,抓住这点分析思考及添加辅助线。 【强化巩固练习】 1.如图,等腰ABC 中,BC=85,tanABC=1 2,D 为边 AC 上一动点(不与 C 点重合) ,作 DEBD 于点 D,使得 DE BD = 2 3, 连接 CE,则CDE 面积的最大值为_ 2如图,在直角坐标系中,点 A(1,1) ,B(3,3)是第一象限角平分线上的两点,点 C 的纵坐标为 1,且 CACB,
2、 在 y 轴上取一点 D,连接 AC,BC,AD,BD,使得四边形 ACBD 的周长最小,这个最小周长的值为 3. 已知矩形 ABCD,AB=8,AD=6,E 是 BC 边上一点且 CE=2BE,F 是 CD 边的中点,连接 AF,BF,DE 相交于 M,N 两点,则 FMN 的面积是_ 3如图,在 RtABC 中,C90,点 E 在 AC 边上将A 沿直线 BE 翻折,点 A 落在点 A处,连接 AB,交 AC 于点 F若 AEAE,cosA= 4 5,则 AF BF = 4如图,矩形 ABCD 中,AE1 3AD,将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE,延长 BG 交 CD 于 F 点,若
3、CFFD3,则 BC 的长为_ 5如图,矩形 ABCD 中,E 为边 AB 上一点,将ADE 沿 DE 折叠,使点 A 的对应点 F 恰好落在边 BC 上,连接 AF 交 DE 于点 N,连接 BN若 BFAD15,tanBNF= 5 2 ,则矩形 ABCD 的面积为 6.如图,直线 y=-x+4 与坐标轴分别交于 A,B 两点,OCAB 于点 C,P 是线段 OC 上一个动点,连接 AP,将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45,得到线段 AP,连接 CP,则线段 CP的最小值为_ 7 如图, 点 P 是正方形 ABCD 内一点, 且点 P 到点 A、 B、 C 的距离分别为 23、 2、
4、4, 则正方形 ABCD 的面积为 8如图,在矩形 ABCD 中,AB1,BC2,P 为线段 BC 上的一动点,且和 B、C 不重合,连接 PA,过点 P 作 PEPA 交 CD 于 E,将PEC 沿 PE 翻折到平面内,使点 C 恰好落在 AD 边上的点 F,则 BP 长为_ G F E D C B A P P C B A o y x 9如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上,将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置,连接 EF,过点 A 作 EF 的垂线,垂足为点 H,与 BC 交于点 G若 BG3,CG2,则 CE 的长为( ) A5 4 B15 4 C4 D9 2
5、 10如图, 在ABC 中, A90,D 是 AB 的中点, 过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E, 作 BC 的垂线交 BC 于点 F, 若 ABCE,且DFE 的面积为 1,则 BC 的长为( ) A25 B5 C45 D10 11如图,对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展平后再次折叠,使点 A 落在 EF 上的点 A 处,得到折痕 BM,BM 与 EF 相交于点 N若直线 BA交直线 CD 于点 O,BC5,EN1,则 OD 的长为( ) A1 2 3 B1 3 3 C1 4 3 D1 5 3 12如图,AB 是O 的直径,CD 是弦,AE
6、CD 于点 E,BFCD 于点 F若 FBFE2,FC1,则 AC 的长是( ) A52 2 B35 2 C45 3 D52 3 P F E D C B A 13如图,矩形 ABCD 中,BD 为对角线,将矩形 ABCD 沿 BE、BF 所在直线折叠,使点 A 落在 BD 上的点 M 处,点 C 落在 BD 上的点 N 处,连结 EF已知 AB3,BC4,则 EF 的长为( ) A3 B5 C513 6 D13 【答案详解】【答案详解】 1.如图,等腰ABC 中,BC=85,tanABC=1 2,D 为边 AC 上一动点(不与 C 点重合) ,作 DEBD 于点 D,使得 DE BD = 2
7、3, 连接 CE,则CDE 面积的最大值为_ 【解析】代数方法求最值问题(即二次函数配方法) 作 AFBC 于点 F, 则 BF=FC=45, 由 tanABC=1 2 可得 AF=25,AB=AC=10, 由CAFCBQ, 可得CF CQ = CA CB = 10 85, 可得 CQ=16, 设 CD=x,则 QD=16-x, E D CB A 易证EDG=QBD, 则 sinEDG=sinQBD, 则GE QD = DE BD = 2 3, 可得 GE=2 3(16-x), SCDE= 1 2x 2 3(16-x)= 1 3(x 8) 2 + 64 3 , CDE 面积的最大值为64 3
8、2如图,在直角坐标系中,点 A(1,1) ,B(3,3)是第一象限角平分线上的两点,点 C 的纵坐标为 1,且 CACB, 在 y 轴上取一点 D,连接 AC,BC,AD,BD,使得四边形 ACBD 的周长最小,这个最小周长的值为 【解析】根据平行线的性质得到BAC45,得到C90,求得 ACBC2,作 B 关于 y 轴的对称点 E,连 接 AE 交 y 轴于 D,则此时,四边形 ACBD 的周长最小,这个最小周长的值AC+BC+AE,过 E 作 EFAC 交 CA 的延 长线于 F,根据勾股定理即可得到结论 解:点 A(1,1) ,点 C 的纵坐标为 1, ACx 轴, BAC45, CAC
9、B, ABCBAC45, C90, B(3,3) C(3,1) , ACBC2, 作 B 关于 y 轴的对称点 E, 连接 AE 交 y 轴于 D, 则此时,四边形 ACBD 的周长最小,这个最小周长的值AC+BC+AE, A BC D E Q F G 过 E 作 EFAC 交 CA 的延长线于 F, 则 EFBC2,AF624, AE= EF2+ AF2= 22+ 42=25, 最小周长的值AC+BC+AE4+25, 3. 已知矩形 ABCD,AB=8,AD=6,E 是 BC 边上一点且 CE=2BE,F 是 CD 边的中点,连接 AF,BF,DE 相交于 M,N 两点,则 FMN 的面积是
10、_ 【解析】 如图,过点 F 作 FG/BC,交 DE 于点 G,过点 M 作 MHFG,过点 N 作 PNFG,根据题意及中位线性质,解得 CE、BE 的长,再根据相似三角形的判定方法,可证明FNGBNE,ADMFGM,然后结合相似三角形对应边成比例, 分别解得 N 到 FG 的距离、M 到 FG 的距离,继而根据三角形面积公式解题即可 解:如图,过点 F 作 FG/BC,交 DE 于点 G,过点 M 作 MHFG,过点 N 作 PNFG, 在矩形 ABCD 中,AB=8,AD=6,CE=2BE, CE=2 3BC= 2 3AD=4 ,BE= 1 3BC= 1 3AD=2, FG/BC,F
11、是 CD 边的中点, FG=1 2EC= 1 24=2, 1=2,3=4, FNGBNE, FG:BE=1, N 到 FG 的距离h1= 1 2FC = 1 4DC = 1 4AB = 1 4 8 = 2, SFNG= 1 2FG h1 = 1 2 2 2 = 2, 同理可得, DAF=AFG,ADM=DGF, ADMFGM,FG:AD=2:6=1:3, M 到 FG 的距离h2= 1 4DF = 1 8AB = 1 8 8 = 1, SFMG= 1 2FG h2 = 1 2 2 1 = 1, SFMN= SFNG+ SFMG= 2 + 1 = 3, 3如图,在 RtABC 中,C90,点 E
12、 在 AC 边上将A 沿直线 BE 翻折,点 A 落在点 A处,连接 AB,交 AC 于点 F若 AEAE,cosA= 4 5,则 AF BF = 【解析】根据题意设 AC4x,AB5x,则 BC3x,再证明BCE 为等腰直角三角形,得到 EC3x,根据AEF BCF,得到AE BC = AF BF = 1 3 解:C90,cosA= 4 5, AC AB = 4 5,设 AC4x,AB5x,则 BC3x, AEAE,AEA90,AEBC, 由于折叠, AEBAEB(36090)2135,且AEFBCF, BEC45,即BCE 为等腰直角三角形, EC3x, AEACECxAE, AE BC
13、= AF BF = x 3x = 1 3, 4如图,矩形 ABCD 中,AE1 3AD,将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE,延长 BG 交 CD 于 F 点,若 CFFD3,则 BC 的长为_ 【解析】数学典型题型:折叠问题. (一)代数方法(解方程) :折叠性质+方程思路+勾股定理或相似. 由折叠性质及方程思路可表示出如图各边, 在 RtBCF 中,由勾股定理得:32+ (3a)2= (6 + 9 + 3a2)2. 方程看似复杂,其实很好解,过程如下: 去平方得:9+9a2=36+129 + 3a2+9+3a2, 化简得29 + 3a2=a2 6 两边平方得:36+12a2=a4 12a2
14、+ 36, 得a2=24, 得 a=26, 则 BC=66 (二)几何方法(相似)题目条件中出现“AE1 3AD”,即 AE:AD=1:3,相似典型题型: “线段比问题” ,构 造三角形相似,利用相似性质解题. 作 ENBC 于点 N,交 BF 于点 M, 由 MN/CF 可得BM BF = MN FC = BN BC = AE AD = 1 3, CF=3,MN=1, 由 BN=AE=EG,BMN=EMG,BNM=EGM 可得BNMEGM, 则 MG=MN=1, 则 BM=BG-MG=AB-MG=6-1=5, 由BM BF = 1 3 可得 FB=15, 在 RtBCF 中由勾股定理可得 B
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