电工技能培训专题-电路-一阶电路和二阶电路的时域分析

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1、JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 1 第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析 7.1 动态电路的方程及其初始条件 7.2 一阶电路的零输入响应 7.3 一阶电路的零状态响应 7.4 一阶电路的全响应 7.5 二阶电路的零输入响应 7.6 二阶电路的零状态响应和全响应 7.7 一阶电路和二阶电路的阶

2、跃响应 7.8 一阶电路和二阶电路的冲激响应 7.10 状态方程 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 2 基本要求基本要求 熟练掌握一阶电路的时域分析法； 深入理解电路的初始值、时间常数、零状态响应、零输入 响应、全响应、自由分量和强制分量等物理概念，并熟悉 掌握其分析方法，重点掌握三要素法； 正确掌握一阶电路过渡过程的变化规律，

3、掌握一阶电路的 冲激响应； 了解二阶电路的时域分析法及二阶电路的过阻尼、欠阻尼 及临界阻尼的放电过程，掌握二阶电路的阶跃响应及零状 态响应，一般了解二阶电路的冲激响应。 会用系统法列写简单的状态方程。 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 3 与其它章节的联系与其它章节的联系 本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分 析方

4、法和定理全部可以用于本章的分析中。第9章讨论的线 性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态 分量的求解。 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 4 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 引 言 自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳定状态。 当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状态。从一种稳定状

5、 态转到另一种新稳定状态时，往往不能跃变，而是需要一定时 间，或者说需要一个过程，在工程上称过渡过程。 S US + + - - (t= =0) + + - - uC R C + + - - uR i 接通电源，C 被充电，C 两端 的电压逐渐增长到稳态值Us ， 即要经历一段时间。电路中的 过渡过程虽然短暂，在实践中 却很重要。 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thurs

6、day, April 8, 2021 5 1. 动态电路的基本概念 含有动态元件(L、C)的电路称为动态电路。描述动态电路的方 程是微分方程。 全部由线性非时变元件构成的动态电路，其描述方程是线性常 系数微分方程。 只含一个动态元件(L或C)的电路，其描述方程是一阶线性常系 数微分方程，称一阶电路。 一阶电路有3种分析方法： 1) 经典法 列写电路的微分方程，求解电流和电压。是一种在时间域中 进行的分析方法。 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Cam

7、pus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 6 2)典型电路分析法 记住一些典型电路(RC串联、 RL串联、 RC并联、 RL并联 等) 的分析结果，在分析非典 型电路时可以设法套用。 3) 三要素法 只要知道一阶电路的三个要 素，代入一个公式就可以直 接得到结果，这是分析一阶 电路的最有效方法。 任意NS uC C + - i S (t=0) S US + - (t=0) + - uC R C i 典型电路 重点掌握3 ， 1、2 两种方法可掌握其中之一。

8、7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 7 2. 换路及换路定则 1) 换路 电路结构或元件参数的改变称为换 路。换路是在t=0 (或 t = t0) 时刻进行的。 含有动态元件的电路换路时存在过 渡过程，过渡过程产生的原因是由 于储能元件L、C ，在换路时能量发 生变化，

9、而能量的储存和释放需要 一定的时间来完成。 S 24V + + - - (t= =0) + + L iL 4W W 1 4W W 2 2W W 3W W 6H 6W W - - uL 12V + + - - i 8W W 4W W t=0=0 S 纯电阻电路在换路时没有过渡期。 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School T

10、hursday, April 8, 2021 8 2） 换路定则换路定则 在换路前后： q(t) = = q(t0) + + t t0 iC (x x) dx x q(0+ +) = = q(0- -) + + 0+ + 0- - iC(x x) dx x 以t = t0 = 0作为换路的计时起点：换路前最终时刻记为t = 0_， 换路后最初时刻记为t = 0+。 线性电容C的电荷 0_到0+瞬间， iC(t)为有限值时， 积分为0。 q(0+) = q(0_) ,C上的电荷不能跃变！ 由q(t) = C uC(t)可知，当换路前后C不变时 uC(0+) = uC(0-) C两端的电压也不能跃

11、变！ 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 9 同理可得： q(0+) = q(0-) uC(0+) = uC(0-) 换路定则表明 (1)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷） 在换路前后保持不变，这是电荷守恒定律的体现。 (2)换路瞬间，若电感电压保持为

12、有限值，则电感电流（磁链） 在换路前后保持不变。这是磁链守恒定律的体现。 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 (0+) = (0-) L中的磁链不能跃变！ 由(t) = LiL(t) 可知，当换路前后L不变时 iL(0+) = iL(0-) L中的电流也不能跃变！ JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 10

13、 3. 初始值的计算 例：求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。 R1 + + - - U0 S R2 iL iC C L + + - - uL + + - - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 11 7.

14、1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 解： 换路前的“旧电路” 1. 由换路前的“旧电路” 计算uC(0_)和iL(0_) 。 iC(0_)=0，C视为开路。 uL(0_)=0，L视为短路。 iL(0-) = 12A iL(0+) = uC(0+) = R1 + + - - U0 S R2 iL iC C L + + - - uL + + - - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i 由等效电路算出 uC(0-) = 24V JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.

15、Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 12 2.画出t=0+等效电路： 电感用电流源替代，电容用 电压源替代。 iC(0+) = 48-24 3 = 8A uL(0+) = 48-212 = 24V R1 + + - - U0 S R2 iL iC 12A + + - - uL + + - - R3 3W W 2W W 2W W 48V 24V i i(0+) = iL(0+) + iC(0+) = 12 + 8 = 20A t=0+时刻的等效电路 7.1 动态电

16、路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 13 零输入响应：在无外施激励的情 况下，由动态元件的初始储能(0) 引起的响应。 1. RC 电路 S R + + - - uC (t=0) i + + - - uR U0 S R + - uC (t0+) i + - uR U0 换路后的“新电

17、路” i = duc dt - C = Ri duc dt = - RC 由KVL得： duc dt RC + uC = 0 uR 分析 RC 电路的零输入响应，实际上 是分析其放电过程。 一阶齐次微分方程 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 14 = RC 称RC电路的时间常数。

18、 若R取，C取F，则为s。 的大小，反映uC的变化快慢： 越大， uC衰减越慢。 S R + + - - uC (t0+) i + + - - uR U0 p = RC 1 通解： uC = A e 1 RC t 由初始条件 uC(0+) = uC(0) = U0 得： uC = U0 e = U0 e t - t 1 RC - t ，t 0 t o uC t 2t 3t U0 的图解 特征方程： 特征根： RCp+1=0 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Ca

19、mpus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 15 t=0，uC =U0 t=，uC =U0 e-10.638U0 在理论上，要经过无限长时间， uC才能衰减到0。 在工程上，认为经过3 5时 间，过渡过程即告结束。 t o uC t 2t 3t U0 0.368U0 0.05U0 uC=U0 e t - t t=3 ，uC =U0 e-30.05U0 t=5 ，uC =U0 e-50.007U0 uR = uC = U0 e t - t S R + + -

20、- uC (t0+ +) i + + - - uR U0 , uR i = duc dt - C = R U0 - t e WR = 0 i2 (t) R dt = 2 1 CU0 2 C储存的能量全被R 吸收，并转 换成热能消耗掉。 R U0 i 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 202

21、1 16 例：试求t0时的i(t)。 换路后，Req= R1/R2 = 2。 所以 = ReqC = 2 s，引用典型电路结果： uC(0) = 2+4+4 104 = 4 V 由换路定则： uC(0) = uC(0+) = 4 V R2 + - uC 4W 4W C 1F i t0 S R1 uC = uC(0+) e t - t = 4 e-0.5t V i = - 2 1 Req uC = -e-0.5t A 解： (t0) (t0) 2W S R2 + - (t=0) + - uC 4W R1 4W C 1F 1 2 R 10V i 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 J

22、iangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 17 2. RL电路 由KVL uL + uR = 0 S R + - (t=0) R0 L 1 2 uL + - i U0 R (t0) L uL + - i S 2 + - uR di L dt + Ri = 0 di dt L + i = 0 R i(0+)= i(0-) = R0 U0 i

23、(t) = i(0+) e = R0 U0 = R L 为RL电路的时间常数。 - t e - t 得 i(t) 解之 代入初始条件 基本形式：i(t)=I0 e - t (t 0) 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 18 电阻和电感上的电 压分别为： R (t0) L uL +

24、 - i S 2 + - uR RI0 uR t o i, uR , uL i I0 uL -RI0 uR = Ri = R I0 e uL = - uR = - R I0 e di dt L 或者：uL = = -R I0 e i(t) = I0 e - t t - t t - t t - t ，(t 0) ，(t 0) ，(t 0) 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jian

25、g / Information School Thursday, April 8, 2021 19 3.例题分析 P144 例7-2 试求： ；i(0+)和i(0-) ； i(t)和uV (t) ；uV (0+)。 V S + - R L + - U RV uV i 0.189W 0.398H 5kW 35V 某300kW汽轮发电机励 磁回路的电路模型 t = R+RV L = 0.189+5103 0.398 = 79.6 (ms) i(0-) R U = 0.189 35 =185.2 A i(t) = 185.2 e-12560t A uV(t) = -RV i(t) = -926 e-

26、12560t kV uV(0+) = 926 kV ! t0+ 实践中，要切断 L 的 电流，必须考虑磁场 能量的释放问题。 解： i(0+)= i(0+)= 185.2 A 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 电压表的量程才50V。 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 20 零状态响应：在动态元件初 值为 0 的状

27、态下，由外施激 励引起的响应。 1. RC电路 由KVL： uR + uC = US S US + + - - (t=0) + + - - uC R C + + - - uR i uR = Ri duc dt = RC duc dt RC + uC = US 常系数非齐次线性方程 对应的齐次方程： 其解为：uC = uC + uC 通解： uC = A e 1 RC - t 特解： uC = US 所以： uC = US + A e duc dt RC + uC= 0 1 RC - t 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 JiangSu University Of Science

28、 and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 21 代入初值：uC(0+) = uC(0_) = 0 求得：A= -US 所以零状态响应为 uC = US (1-e )， uC 稳态分量 uC 瞬态分量 duc dt i = C = R US e - t i S US + + - - (t0+ +) + + - - uC R C + + - - uR i duc dt RC + uC = US u

29、C = US + A e 1 RC - t t = RC uC=uC + uC US t o uC , i R US -US uC = US - US e - t 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 - t JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 22 2 1 电源提供的能量： W = = 0 US i (t) dt =

30、 = CUS 2 WR = = 0 i2 (t) R dt = = CUS 2 t t = =RC S US + - (t0+) + - uC R C + - uR i 结果表明：电源提供的能量只有一 半转换为电场能量存储于C 中，另 一半在充电过程中被 R 消耗掉。 不论RC的值是多少，充电效率总 是50%。 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 电阻吸收的能量： JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang /

31、Information School Thursday, April 8, 2021 23 2. RL电路的零状态响应电路的零状态响应 (1) 激励是恒定直流 换路前： iL(0+) = iL(0_) = 0 换路后： iR + iL = IS S R L + + - - IS uL t= =0 iR iL (t0+ +) iR = uL R = L R diL dt L R diL dt + + iL = = IS L R t =t = 解得： iL = = IS (1- - e ) t t - - t 代入 式中： 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 JiangSu Univ

32、ersity Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 24 (2)激励是正弦电压 设 us=Umcos(t+u) 则 L diL dt + RiL = Umcos( t+u) 通解： iL = A e t - t 特解的形式： iL= Imcos(t + ) 把 iL 代入微分方程： Im、 为待定系数。 RImcos( t + ) - LImsin( t+ ) =Umc

33、os( t+ u) Im|Z|cos(w wt+ +q q + +j j) = =Umcos(w wt+ +y yu) L R t =t = t0+ + us + + - - + + - - uL R L i + + - - uR 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 25 比较得：

34、 q q = =y yu- -j j ， |Z| Um 特解：iL = = Imcos(w wt + +q q ) = = cos(w wt + + y yu- -j j) 上述常系数非齐次线性微分方程的全解为： |Z| Um iL = = cos(w wt+ +y yu- -j j) + + A e - - t t t 由iL(0+) =iL(0_) = 0定出： A = = - - |Z| Um cos( (y yu- -j j) ) Im= = Um |Z| Im|Z|cos(w wt+ +q q + +j j) = =Umcos(w wt+ +y yu) 式中 R2 |Z| = = +

35、 + (w wL)2 tgj j = = R w wL 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 26 讨论 (1)若 S闭合时yu-j =90o， t o i i = = i 稳态分量iL是与外施 激励同频率的正弦量 瞬态分量iL随时间 的增长衰减为零。 |Z| Um iL = = c

36、os(w wt+ +y yu- -j j) - - cos(y yu- -j j) e |Z| Um - - t t t 则 iL =0。 说明电路不发生 过渡过程而立即进入稳态。 R上的电压 uR = R iL L上的电压 uL= L diL dt 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 20

37、21 27 RL串联电路与正弦电压接通后，在一定初值条件下，电 路的过渡过程与S动作时刻有关。 iL iL t o iL |Z| Um |Z| Um - - 此时闭合 S，约过半个周期， iL的最大瞬时值(绝对值) 将接 近稳态振幅的两倍。 当很大时， iL衰减极其缓慢。 稳态振幅 过渡中的最大瞬时值 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 (2)若S闭合时yu=j ，则： iL = = |Z| Um cosw wt e - - t t t |Z| Um - - JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Ca

38、mpus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 28 全 响 应 稳 态 解 瞬 态 解 1. 全响应：外施激励和动态元件 初值都不为零时的响应。 S US + + - - (t= =0) + + - - uC R C + + - - uR i + + - - U0 uC(0+ +) = = uC(0- -) = = U0 uC = = US + (+ (U0 - - US) ) e duc dt RC + + uC = = US - - t t t (1)一阶

39、电路的全响应可以看 成是稳态分量(强制分量) 与瞬 态分量(自由分量) 之和。 = + 2. 全响应的两种分解方式 强制分量 自由分量 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 29 零 输 入 响 应 (2)把上式改写成下列形式： 零 状 态 响 应 全 响 应 此种分解方式便于叠加计算，体现

40、了线性电路的叠加性质。 uC = = US + (+ (U0 - - US) ) e - - t t t S US + + - - (t= =0) + + - - uC R C + + - - uR i + + - - U0 uC = = U0 e - - t t t + + US ( (1 - - e ) ) - - t t t = = + + 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jia

41、ng / Information School Thursday, April 8, 2021 30 3. 三要素法 (1) 在恒定激励下 f(t) = = f() + + f(0+ +) - - f() - - t t t e 由初始值、稳态值和时间常数三个要素决定。 全响应 = 稳态分量 + 瞬态分量 uC = = US + (+ (U0 - - US) ) e - - t t t (2) 在正弦电源激励下 f(t) = = f(t) + + f(0+ +) - -f(0+ +) - - t t t e f(t)是换路后的稳态响应(特解) ，是与激励同频率的正弦量； f(0+)是稳态响应f

42、(t)的初始值。 f(0+)和 的含义与恒定激励下相同。 说明一阶电路的响应 求f(t)的方法是待定系数法或相量法。 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 31 4. 解题指导 换路前：iL(0)= -IS= -2A 求换路后的戴维宁电路 S Us + + - - (t= =0) iL R

43、L i Is a b 10V 4H 2W W 2A ? ? Uoc + + - - (t0+ +) iL Req L a b =10-22=6 V Uoc=Us-Ris Req = R = 2 求iL的三个要素： iL(0+ +)= =iL(0- -) = = - -2A iL() = = Uoc / Req = = 6/ /2 = = 3 (A) t t = = L / Req = = 4 / 2 = = 2 (s) f(t) = = f() + + f(0+ +)- - f() e - - t t t iL(t) 3 - -2 3 2 iL(t)= =3- -5e- -0.5t A i(t

44、)= = IS + + iL(t) = = 5 - - 5 e- -0.5t A 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 例1 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 32 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 例2：电路如图，求uL。 S iL + + - - 2A uL 4W W 2W W 4W W 1 2 - - + +

45、8V i1 + + - - 2i1 0.1H 解：iL(0+) = iL(0_)= - 4A 求换路后的戴维宁电路。 Uoc= 4i1+ 2i1 =12V Req= = = =10W W U i = = (4+ +4)i1+ + 2i1 i1 S iL + + - - 2A uL 4W W 2W W 4W W 1 2 - - + + 8V i1 + + - - 2i1 0.1H (t0) Req U i iL Uoc + + - - (t0+ +) Req L + + - - uL 0.1H JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, Apr