2021年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试卷（解析版）

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1、1 20202121 年年“大梦杯大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间考试时间 20202121 年年 3 3 月月 1 14 4 日日 9 9000011110000 满分满分 150150 分分 一一、选择题选择题（共共 5 小题小题，每小题每小题 7 分分，共共 35 分分）。每道小题均给出了代号为每道小题均给出了代号为 A，B，C， D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里请将正确选项的代号填入题后的括号里， 不填、多填或错填都得不填、多填或错填都得 0 分）分）

2、1.若当13x 时，二次函数 2 23yxxm的最大值为6，则m （） A3B1C3 D1 【答案】【答案】C 【解答】【解答】13x 时， 22 39 232() 48 yxxmxm的有最大值为6。 3x 时，6y 。 1896m。 3m 。 2.已知a，b，c为正数，且满足 3 8 15 abab bcbc caca ，则32abc（） A9B11C13D15 【答案】【答案】B 【解答】【解答】由 3 8 15 abab bcbc caca ，得 (1)(1)4 (1)(1)9 (1)(1)16 ab bc ca 。 222 (1) (1) (1)4 9 16abc 。 a，b，c为正数

3、， (1)(1)(1)24abc。 于是，16c ， 8 1 3 a ， 3 1 2 b 。 5 3 a ， 1 2 b ，5c ，325 1 511abc 。 2 3.已知0 x ，且 1 3x x ，则 5 5 1 x x （） A121B122C123 D124 注：参考资料注：参考资料 “杨辉三角”是我国古代数学的研究成果之一，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和 才能。如下所示，由“杨辉三角”可以得到()nab展开式中各项的系数。 【答案】【答案】C 【解答】【解答】由“杨辉三角”，知 332233 3 111111 ()33( )( )3()xxxxxx xxxxxx 。 于是， 3

4、33 3 111 ()3()33 318xxx xxx 。 又 554322345 111111 ()510( )10( )5( )( )xxxxxx xxxxxx 53 53 111 5() 10()xxx xxx 。 因此， 5535 53 1111 ()5() 10()35 18 10 3123xxxx xxxx 。 另解：另解： 222 2 111 ()2327xxx xxx ， 333 3 111 ()3()33 318xxx xxx 。 523 523 1111 ()()()7 183123xxxx xxxx 。 11 1 ()abab 121 222 ()2abaabb 1331

5、 33223 ()33abaa babb 14641 4432234 ()464abaa ba babb 15101051 5 ()ab 3 4在ABC中，120ABC，点D在边AC上，且满足DBBA,DCAB，则 AD AB （） A 3 2B 3 3C2D3 【答案】【答案】A 【解答】【解答】如图，作DECB交AB于点E。则 ABEB ACDC 。 不妨设1DCAB，ADt，则1ACt , 1 1 BE t 。 120ABC，DBBA， 18060DEBABC， 3 3 1 DBBE t 。 在RtABD中，由勾股定理知 222 ADABBD。 222 3 1() 1 t t 。 化简得

6、， 43 2240ttt，即 3 (2)(2)0tt。 又0t ，因此 3 2t 。 3 2t ，即 3 2 AD AB 。 5.将一个正整数写成若干个正整数的和，俗称数的“拆分”。著名的哥德巴赫猜想：任任 一大于一大于 2 2 的偶数都可写成两个质数之和的偶数都可写成两个质数之和（简称“1 1”），研究的就是正偶数的一种“拆分” 问题。 对哥德巴赫猜想，我们常用“ab”表示如下命题：每个大于 2 的偶数N都可以表示为 NAB，其中A、B为素因子个数不超过a、b的正整数。显然哥德巴赫猜想可以表示为 “1 1”。在探索哥德巴赫猜想证明的过程中，我国数学家作出了杰出的贡献：1956 年王元 证明了

7、“34”、 “33”、 “23”，1962 年潘承洞证明了“15”、王元证明了“14” ， 1966 年陈景润证明了“12”。 请你完成下列问题：请你完成下列问题： 将2021写成若干个（至少两个）连续正整数和的方式有（） A1种B2种C3种 D4种 【答案】【答案】C 【解答】【解答】设(1)(2)()2021kkknL，其中k，n为整数，且0k ，2n 。 （第（第 4 题答题图）题答题图） 4 则 (1)() 2021 2 kkn n ，即(21)2 43 47nkn。 n，21kn为正整数，且21nkn。 2 2143 47 n nk ，或 43 212 47 n nk ，或 47 2

8、12 43 n nk 。 解得， 2 1009 n k ，或 43 25 n k ，或 47 19 n k 。 符合条件的“拆分”方式有 3 种。 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 35 分）分） 6已知二次函数 2 yaxbxc的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点(0 2)C，。 若CACB，则a 。 【答案】【答案】 1 2 【解答】【解答】依题意2c 。 设 1 (0)A x ， 2 (0)B x ，则 1 x， 2 x是方程 2 20axbx的两根。 12 b xx a ， 12 2 x x a 。 设O为坐标原点， 则由CACB，OCA

9、B知，A、B在原点O的两侧， 且 2 OCOA OB。 12 2 0 x x a ， 2 1212 22 2xxx x aa 。 1 2 a 。 7已知正整数a，b，c，满足 1211 1 683 ab c ，则 2 abc。 【答案】【答案】42 【解答】【解答】由题设知，4(1)3(2)ab，于是4 3(2)b，结合(4 3)1，得4 (2)b。 设24bk，则31ak， 22 3c k 。 又c为正整数，因此22k，且7k 。 所以，1k ，或2k 。 当1k 时，19c ，此时 111 1 32c ，2a ，2b ， 2 42abc。 5 当2k 时，8c ，此时 11 1 3c ，不

10、符合要求，舍去。 所以， 2 42abc。 8将1，2，3，9这 9 个数字全部填入右边的3 3方格表内，每个方格填一个数。 其中中心方格内填入的数字为4，且使得每行中从左到右的数字、每列 中自下而上的数字都按照从小到大的顺序排列的不同填法有种。 【答案】【答案】12 【解答【解答】如右表格，依题意1只能填在左下角的方格内，9只能填在 右上角的方格内。 由于中心方格已经填有数字4， 而4的下方与左侧只能填比4小的数字。 因此， 对方格A、 D而言只有 2 种填法：方格A填数字2、D填数字3；或方格A填数字3、D填数字2。 当方格A填数字2、D填数字3时。方格B和C，只能从余下的 4 个数字：5

11、，6，7，8 中任选 2 个数字，并将数字小的填在方格B中，数字大的填在方格C中。 此时，方格B、C的不同填法有 6 种。由于方格A、B、C、D内的数 字确定后，方格E、F内的数字也随之确定。因此，符合条件的不同填 法有6种。 同理，方格A填数字3、D填数字2时，符合条件的不同填法也有 6 种。 所以，符合条件的不同填法有6612种。 9.平面直角坐标系中有 16 个格点()a b，其中03a，03b。从这 16 个格点中任 取n个点，如果这n个点中总存在 3 个点，以这 3 个点为顶点的三角形面积为 1 2 ，则n的最小 值为。（在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为格点） 【答案】

12、【答案】9 【解答【解答】 （1） 存在 8 个点：(0 0)，(1 0)，(2 0)，(3 0)，(0 2)，(1 2)，(2 2)，(3 2)， 其中以任意 3 点为顶点的三角形面积均不等于 1 2 。因此，9n。 （2）下面证明：任取9个点，则这9个点中总存在 3 个点，以这 3 个点为顶点的三角形 面积为 1 2 。 从16个格点中，任取9个点。记纵坐标为0，1，2，3的行分别为 0 l， 1 l， 2 l， 3 l。将 0 l， 1 l， 2 l， 3 l分成两组： 0 l、 1 l和 2 l、 3 l。则所取的9个点中，至少有 5 个点在同一组中。即 0 l、 1 l 上含有 5

13、个点，或 2 l、 3 l上含有 5 个点。 不妨设 0 l、 1 l上含有5个点。则 0 l， 1 l中至少有一行上含有其中的 3 个点，另一行上含有 4 EF9 D4C 1AB 6 其中的 1 个点。不妨设 0 l上含有 3 个点，记为A，B，C， 1 l上含有 1 个点，记为P。结合A， B，C横坐标的取值只能为0，1，2，3，知A，B，C中存在距离为 1 的两点（即存在横 坐标为相邻整数的两点），不妨设这两点为A，B，则以A，B，P三点为顶点的三角形面 积为 1 2 。 因此，任取9个点，则这9个点中总存在 3 个点，以这 3 个点为顶点的三角形面积为 1 2 。 综上所得，n的最小值

14、为9。 10. 已 知 1 x， 2 x， 3 x为 方 程 32 3940 xxx的 三 个 实 数 根 ， 则 222 123 (1)(1)(1)xxx。 【答案】【答案】63 【解答】【解答】 1 x， 2 x， 3 x为方程 32 3940 xxx的三个实数根， 32 123 394()()()xxxxxxxxx。 又 222 123112233 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxx 123123 (1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxx 123123 (1)(1)(1)( 1)( 1)( 1)xxxxxx 。 记 32 ( )394f xx

15、xx， 则 222 123 (1)(1)(1)(1)( 1)( 9) 763xxxff 。 7 三、解答题（共三、解答题（共 4 题，每题，每小小题题 20 分，共分，共 80 分）分） 11已知以方程 2 20 xxm（1m ）的两根为腰长与底边长的等腰三角形有且仅有 1 个。 （1）求m的取值范围； （2）当m取最大值时，求该等腰三角形的内切圆半径。 【答案】【答案】（1）设 1 x， 2 x是方程 2 20 xxm的两个实根。依题意， 1 0 x ， 2 0 x 。 即方程 2 20 xxm有两个正实数根。 12 12 440 20 0 m xx x xm ，解得01m。 又1m ，因此

16、01m。 不妨设 12 xx，则 1 11xm ， 2 11xm 。 符合条件的三角形有且仅有 1 个，且以 1 x为底边长， 2 x为腰长总可以构成等腰三角 形。 以 1 x为腰长， 2 x为底边长不能构成等腰三角形。 112 xxx，即 01 2(11)11 m mm ，解得 8 0 9 m。 m的取值范围为 8 0 9 m。 （2）当m取最大值 8 9 时， 1 2 3 x ， 2 4 3 x ，记该等腰三角形为ABC。则ABC的三边 长分别为 4 3 ， 4 3 ， 2 3 。 ABC的周长 12 10 2 3 lxx，面积 22 124115 ( )( ) 23339 S 。 ABC

17、内切圆半径 15 2 215 9 10 15 3 S r l 。 当m取最大值时，该等腰三角形的内切圆半径为 15 15 。 8 12.如图，I是ABC的内心，IH垂直AB于H，HE垂直BC于E，AF垂直BC于F， D为HE与BI的交点。求证：2BACDFE 。 【证明】【证明】如图，连结IA。 由I是ABC的内心，知EBDHBI，2BACIAH 。 由IHBH，DEBE知，RtEBDRtHBI:。 BEDE BHIH 。 又由AFBC知，HEAF， BEEF BHHA 。 由，得 HA EF IH DE 。 RtDEFRtIHA: 。 DFEIAH ，2BACDFE 。 （第（第 12 题图

18、）题图） （第第12题答题图题答题图） 9 13.（1）已知a，b为实数，求证：abab+； （2）利用（1）的结论，证明：当a，b，c为实数时，abcabc+； （3）已知a，b为实数，求max24abab，的最小值。 （符号maxa b，表 示实数a，b中较大者。如， max 122，max1 2，） 【答案】【答案】（1） 222 ()2abaabb， 222 ()2abaabb+， 22 ()()2()0abababab+。 22 ()()abab+。 又0ab，0ab +， abab+。（当且仅当0ab 时等号成立） （2）由（1）知， ()abcabcabcabc+。 （3）设ma

19、x24ababM， 则Ma，Mb，24Mab。 42242242(24)4Mabababababab 。 1M 。 又当241abab ，即1a ，1b 时，1M 。 M即max24abab，的最小值为1。 10 14.（ 1 ） 证 明 存 在 9 个 正 整 数 129 aaa， ， ， 使 得 222 129 aaa整 除 2 129 1aaa； （2）是否存在 8 个正整数 128 aaa， ， ，使得 222 128 aaa整除 2 128 1aaa？ 并证明你的结论。 【解答】【解答】（1）取 12789 12aaaaa，则 2 2 129 1111120aaa ， 222 129

20、 15aaa，故 222 129 aaa整除 2 129 1aaa；。 （2）答案是否定的。 假设存在 8 个正整数 128 aaa， ， ，使得 222 128 aaa整除 2 128 1aaa。 222 128 aaa与 128 aaa具有相同的奇偶性， 222 128 aaa与 2 128 1aaa具有不同的奇偶性。 222 128 aaa是奇数， 2 128 1aaa是偶数。 128 aaa为奇数， 2 128 1aaa是 8 的倍数。 又8 与奇数 222 128 aaa互素， 2 222 128128 81aaaaaa。 2 222 128128 81aaaaaa， 即 2 222

21、 128128 8 aaaaaa。 又 2 2 222 128128 18 80 ij ij aaaaaaaa ， 2 222 128128 8 aaaaaa，与式矛盾。 222 128 aaa不能整除 2 128 1aaa。 不存在 8 个正整数 128 aaa， ， ，使得 222 128 aaa整除 2 128 1aaa。 也可以构造二次函数证明： 2 222 128128 8 aaaaaa 对任意实数x， 222 128 ()()()0 xaxaxa， 对任意实数x， 2222 128128 82()()0 xaaaxaaa。 2222 128128 4()32()0aaaaaa。 2 222 128128 8 aaaaaa。