江西省红色七校2020-2021学年高三下学期第二次联考(3月)数学(理科)试卷(含答案解析)
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1、2021 年江西省红色七校高考数学第二次联考试卷(理科)年江西省红色七校高考数学第二次联考试卷(理科) 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1已知集合 AxZ|x1,集合 Bx|log2x2,则 AB( ) Ax|1x4 Bx|0 x4 C0,1,2,3 D1,2,3 2若 zC 且|z+22i|1,则|z12i|的最小值是( ) A2 B3 C4 D5 3已知数据(x1,y1)、(x2,y2)、(x10,y10)满足线性回归方程 x+ ,则“(x0,y0)满足线 性回归方程 x+ ”是“”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知
2、直线 m,n 和平面 ,有如下四个命题: 若 m,m,则 ; 若 m,mn,n,则 ; 若 n,n,m,则 m; 若 m,mn,则 n 其中真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 5(2x1)(x+2)5的展开式中,x3的系数是( ) A200 B120 C80 D40 6在各项均为正数的等比数列an中,a1a11+2a6a8+a3a1325,则 a1a13的最大值是( ) A25 B C5 D 7已知 a0.80.4,blog53,clog85,则( ) Aabc Bbca Ccba Dacb 8将函数的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到 g(x)的图象若 g(x1)g
3、(x2)9,且 x1,x22,2,则 2x1x2的最大值为( ) A B C D 9若关于 x 的方程(x2)2ex+ae x2a|x2|(e 为自然对数的底数)有且仅有 6 个不等的实数解,则实数 a 的取值范围是( ) A(,+) B(e,+) C(1,e) D(1,) 10 在三棱锥 PABC 中, PA底面 ABC, ABAC, AB6, AC8, D 是线段 AC 上一点, 且 AD3DC 三 棱锥 PABC 的各个顶点都在球 O 表面上,过点 D 作球 O 的截面,若所得截面圆的面积的最大值与最 小值之差为 16,则球 O 的表面积为( ) A72 B86 C112 D128 11
4、已知椭圆+1(ab0)上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为其右焦点,若 AFBF,设 ABF,且 ,则该椭圆离心率 e 的取值范围为( ) A, B,1) C,1 D, 12若对于任意的正实数 x,y 都有成立,则实数 m 的取值范围为( ) A B C D 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题)小题). 13实数 x,y 满足约束条件,若目标函数 zax+by(a0,b0)的最大值为 4,则 ab 的最 大值为 14 已知数列an的前n项和Sn2an1 (nN*) , 设bn1+log2an, 则数列的前n项和Tn 15已知双曲线1(a0,b0)上一点 C,过双曲线中心的直线交双曲
5、线于 A,B 两点,设直 线 AC,BC 的斜率分别为 k1,k2,则当最小时,双曲线的离心率为 16设直线 l1,l2分别是函数 f(x)|lnx|,(x1)图象上点 P1,P2处的切线,l1与 l2垂直相交于点 P, 且 l1,l2分别与 y 轴相交于点 A,B,则PAB 的面积的取值范围是 三、解答题三、解答题 17ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且满足 a2,acosB(2cb)cosA (1)求角 A 的大小; (2)求ABC 周长的范围 18如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 MCD平面 ABCD,且 MCMDCD4,BC4,N 为 BC 中 点 (1)求证
6、:ANMN; (2)求二面角 AMNC 的大小 19某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富,积极组织该县农民制作当地特产腊排骨,并通过该网购平 台销售, 从而大大提升了该县农民的经济收入.2019 年年底, 某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户 中随机抽取了 100 户,统计了他们 2019 年因制作销售腊排骨所获纯利润(单位:万元)的情况,并分成 以下五组:1,3),3,5),5,7),7,9),9,11,统计结果如表所示: 所 获 纯 利 润 (单位: 万元) 1,3) 3,5) 5,7) 7,9) 9,11 农户户数 10 15 45 20 10 (1)据统计分析可以认为,该县农户在该网购平
7、台上销售腊排骨所获纯利润 Z(单位:万元)近似地服 从正态分布 N(,2),其中 近似为样本平均数 ,2近似为样本方差 s22.12若该县有 1 万户 农户在该网购平台上销售腊排骨,试估算所获纯利润 Z 在区间(1.9,8.2)内的户数(每区间数据用该 区间的中间值表示) (2)为答谢该县农户的积极参与,该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动,每人最多有 8 次抽 奖机会,每次抽奖的中奖率均为每一次抽奖,若中奖,则可继续进行下一次抽奖,若未中奖,则活 动结束,每次中奖的奖金都为 1024 元求参与调查的某农户所获奖金 X 的数学期望 参考数据:若随机变量 X 服从正态分布 N(,2),则
8、P(X+)0.6827,P(2 X+2)0.9545 20已知椭圆 C:+1(ab0)的一个焦点与抛物线 E:x y2的焦点相同,A 为椭圆 C 的右 顶点,以 A 为圆心的圆与直线 yx 相交于 P,Q 两点,且0,3 ()求椭圆 C 的标准方程和圆 A 的方程; ()不过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,已知 OM,直线 l,ON 的斜率 k1,k,k2成等比数列, 记以 OM、ON 为直径的圆的面积分别为 S1、S2,试探究 S1+S2的值是否为定值,若是,求出此值;若不 是,说明理由 21已知函数 f(x)2ln(x+1)+sinx+1,函数 g(x)ax1blnx(a,
9、bR,ab0) (1)讨论 g(x)的单调性; (2)证明:当 x0 时,f(x)3x+1 (3)证明:当 x1 时,f(x)(x2+2x+2)esinx 22在直角坐标系 xOy 中直线 l 的参数方程为(t 为参数,0,)以坐标原点为 极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 (1)化圆 C 的极坐标方程为直角坐标标准方程; (2)设点 P(x0,y0)圆心 C(2x0,2y0),若直线 l 与圆 C 交于 M,N 两点,求 的最大值 23已知函数 f(x)|x|+|x+a| (1)若存在 x 使得不等式 f(x)3a1 成立,求实数 a 的取值范围; (2)若不等
10、式 f(x)3a1 的解集为b,b+3,求实数 a,b 的值 参考答案参考答案 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1已知集合 AxZ|x1,集合 Bx|log2x2,则 AB( ) Ax|1x4 Bx|0 x4 C0,1,2,3 D1,2,3 解:集合 AxZ|x1, 集合 Bx|log2x2x|0 x4, AB1,2,3, 故选:D 2若 zC 且|z+22i|1,则|z12i|的最小值是( ) A2 B3 C4 D5 解:|z+22i|1,复数 z 对应点在以 C(2,2)为圆心、以 1 为半径的圆上 而|z12i|表示复数 z 对应点与点 A(1,2)间的距离, 故|z
11、12i|的最小值是|AC|12, 故选:A 3已知数据(x1,y1)、(x2,y2)、(x10,y10)满足线性回归方程 x+ ,则“(x0,y0)满足线 性回归方程 x+ ”是“”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解: 故样本中心点(x0,y0)必满足线性回归方程 ,、 反之,若(x0,y0)(x1,y1)时,也满足线性回归方程,故反过来不成立 故选:B 4已知直线 m,n 和平面 ,有如下四个命题: 若 m,m,则 ; 若 m,mn,n,则 ; 若 n,n,m,则 m; 若 m,mn,则 n 其中真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4
12、解:已知直线 m,n 和平面 ,有如下四个命题: 若 m,m,则在 内,作 nm,所以 n,由于 n,则 ,故正确; 若 m,mn,所以 n,由于 n,则 ;故正确 若 n,n,所以 ,由于 m,则 m;故正确 若 m,mn,则 n 也可能 n 内,故错误 故选:C 5(2x1)(x+2)5的展开式中,x3的系数是( ) A200 B120 C80 D40 解:由于(2x1)(x+2)5(2x1)(x5+10 x4+40 x3+80 x2+80 x+32), 含 x3项的系数为 28040120, 故选:B 6在各项均为正数的等比数列an中,a1a11+2a6a8+a3a1325,则 a1a1
13、3的最大值是( ) A25 B C5 D 解:根据题意,在各项均为正数的等比数列an中,a1a11+2a6a8+a3a1325, 即 a62+2a6a8+a82(a6+a8)225,变形可得 a6+a85, 又由 a1a13a6a8( )2,当且仅当 q1 即 a6a8时等号成立, 故 a1a13的最大值是 , 故选:B 7已知 a0.80.4,blog53,clog85,则( ) Aabc Bbca Ccba Dacb 解:a0.80.4()0.41, blog531log5,clog851, 因为 log5log5 , 所以 1log511, 即 bc1a 故选:B 8将函数的图象向左平移
14、 个单位,再向上平移 1 个单位,得到 g(x)的图象若 g(x1)g(x2)9,且 x1,x22,2,则 2x1x2的最大值为( ) A B C D 解:将函数的图象向左平移个单位,再向上平移 1 个单位,得到 g(x)2sin (2x+)+1 的图象 若 g(x1)g(x2)9,则 g(x1)和 g(x2)都取得最大值 3,故 g(x1)和 g(x2)相差一个周期的整数 倍 故当 2x1+,2x2+ 时,2x1x2的取得最大值 x1 ,x2 ,2x1x2的取得最大值为 , 故选:D 9若关于 x 的方程(x2)2ex+ae x2a|x2|(e 为自然对数的底数)有且仅有 6 个不等的实数解
15、,则实数 a 的取值范围是( ) A(,+) B(e,+) C(1,e) D(1,) 解:(x2)2ex+ae x2a|x2|, (x2)2e2x2a|x2|ex+a0, 令 g(x)|x2|ex,则 g(x) , 当 x2 或 x1 时,g(x)0,当 1x2 时,g(x)0, g(x)在(,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增, 当 x1 时,g(x)取得极大值 t(1)e, 又 x时,g(x)0,g(2)0,x+时,g(x)+, 作出 g(x)的函数图象如图所示: 令 g(x)t, 由图象可知:当 0te 时,方程 g(x)t有 3 解;当 t0 或 te 时,
16、方程 g(x)t 有 1 解; 当 te 时,方程 g(x)t 有 2 解;当 t0 时,方程 g(x)t 无解 方程(x2)2e2x2a|x2|ex+a0 有 6 解, 即 g2(x)2ag(x)+a0 有 6 解, 关于 t 的方程 t22at+a0 在(0,e)上有 2 解, ,解得 1a 故选:D 10 在三棱锥 PABC 中, PA底面 ABC, ABAC, AB6, AC8, D 是线段 AC 上一点, 且 AD3DC 三 棱锥 PABC 的各个顶点都在球 O 表面上,过点 D 作球 O 的截面,若所得截面圆的面积的最大值与最 小值之差为 16,则球 O 的表面积为( ) A72
17、B86 C112 D128 解:将三棱锥补成知三棱柱,且三棱锥的外接球与三棱柱的外接球都是球 O设三角形 ABC 的中心为 O, 设外接球的半径为 R,球心 O 到平面 ABC 的距离为 x,即 OOx,连接 OA,则 OA5,R2x2+25, 在三角形 ABC 中,取 AC 的中点 E,连接 OD,OE,则 OEAB3,DEAC2, OD, 在 RtOOD 中,OD,由题意得当截面与直线 OD 垂直时,截面面积最小, 设此时截面半径为 r,则 r2R2OD2x2+25(x2+13)12, 所以截面圆的面积为 r212, 当截面过球心时,截面圆的面积最大为 R2,R21216, 所以 R228
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