专题24 新定义型创新题微训练(解析版)-备战2021年中考数学查缺补漏再训练26个微专题
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1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题专题 24 24 新定义型创新题微训练新定义型创新题微训练 ( (共共 2727 道题道题) ) 1.1.(20202020 湖北恩施州)湖北恩施州)在实数范围内定义运算“” :1abab ,例如:2323 14 如 果21x ,则x的值是( ) A. 1 B. 1 C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】本题考查了实数的计算,一元一次方程的解法,本题的关键是能看明白题目意思,根据新定义的 运算规则求解即可 根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解 由题意知
2、:221 1 xxx, 又21x , 11x, 0 x 2 2. .(20202020 湖北咸宁)湖北咸宁)在平面直角坐标系xOy中,对于横、纵坐标相等的点称为“好点”下列函数的图象 中不存在 “好点”的是( ) A. y x B. 2yx C. 2 y x D. 2 2yxx 【答案】B 【解析】根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线 y=x 上的点,再各函数中令 y=x,对应方程无解即不 存在“好点”. 根据“好点”的定义,好点即为直线 y=x 上的点,令各函数中 y=x, A.x=-x,解得:x=0,即“好点”(0,0) ,故选项不符合; B.2xx,无解,即该函数图像中不存在“好点”
3、,故选项符合; C. 2 x x , 解得: 2x , 经检验 2x 是原方程解, 即“好点”为 ( 2,2) 和 (-2, -2) , 故选项不符合; D. 2 2xxx ,解得:x=0 或 3,即“好点”为(0,0)和(3,3) ,故选项不符合. 3 3. .(20202020 河南)河南)定义运算: 2 1mnmnmn 例如 2 :424 24 2 17 则方程10 x 的 根的情况为( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】先根据新定义得出方程,再根据一元二次方程的根的判别式可得答案 根据定义得: 2 110
4、,xxx 1,1,1,abc 2 2 414 115bac 0, 原方程有两个不相等的实数根. 4 4. .(20202020 湖北荆州)湖北荆州)定义新运算a b,对于任意实数 a,b 满足1a babab ,其中等式右边 是通常的加法、减法、乘法运算,例如4 3(43)(43) 17 16 ,若x kx (k 为实数) 是关 于 x 的方程,则它的根的情况是( ) A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】将x k按照题中的新运算方法展开,可得1x kxkxk, 所以x kx 可得1xkxkx , 化简得: 22 10 x
5、xk , 2 22 14 1145kk , 可得,即可得出答案. 根据新运算法则可得: 22 11x kxkxkxk , 则x kx 即为 22 1xkx , 整理得: 22 10 xxk , 则 2 1,1,1abck , 可得: 2 22 14 1145kk 2 0k Q, 2 455k; 0 , 方程有两个不相等的实数根; 故答案选:B. 【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法,不能 出错;在求一元二次方程根的判别式时,含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号. 5 (20202020广元)广元)规定:sin(x)sinx,cos(
6、x)cosx,cos(x+y)cosxcosysinxsiny,给 出以下四个结论: (1)sin(30)= 1 2; (2)cos2xcos 2xsin2x; (3)cos(xy)cosxcosy+sinxsiny; (4)cos15= 62 4 其中正确的结论的个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【解析】根据题目中所规定公式,化简三角函数,即可判断结论 (1)(30) = 30= 1 2,故此结论正确; (2)cos2xcos(x+x)cosxcosxsinxsinxcos 2xsin2x,故此结论正确; (3)cos(xy)cosx+(y)cosxcos(y
7、)sinxsin(y)cosxcosy+sinxsiny,故此结论 正确; (4)cos15cos(4530)cos45cos30+sin45sin30= 2 2 3 2 + 2 2 1 2 = 6 4 + 2 4 = 6+2 4 ,故此结论错误 所以正确的结论有 3 个. 6 (20212021 广东深圳广东深圳模拟)模拟)定义新运算:ab= 1() (0) aab a abb b 且 ,则函数y=3x的图象大致是( ) A B C D 【答案】B 【解析】由题意得 y3x 2(x3) 3 (x3x0) x 且 当 x3 时,y2; 当 x3 且 x0 时,y 3 x , 图象如图: 7 (
8、20212021 浙江台州浙江台州模拟)模拟)定义一种新运算:ab () 3 () ab a b b ab ,则 2343 的值_ 【答案】8 【解析】本题主要考查有理数的混合运算,解题的关键是掌握新定义规定的运算法则及有理数的混合运算 顺序和运算法则 2343 33(43) 91 8 8 (20212021 湖北随州模拟)湖北随州模拟)对于x y, 定义一种新运算“”,xyaxby,其中ab,是常数,等式右 边是通常的加法和乘法运算已知3515,4728,则1 1的值为_ 【答案】-11 【解析】根据题中的新定义得: 3515 4728 ab ab , 解得: 35 24 a b , 所以1
9、 1 1 ( 35) 1 2411 ; 9 (2022021 1 山东乐陵山东乐陵模拟)模拟)对于X、Y定义一种新运算“*”:X YaXbY,其中a、b为常数,等式 右边是通常的加法和乘法的运算已知:1 1 10 ,2 1 16 ,那么2 3 _ 【答案】24 【解析】根据题中的新定义得: 10 216 ab ab , 得:6a , 解得:6a, 把6a代入得:4b ,则方程组的解为 6 4 a b 2 36 2( 4) 324 10.10.(20202020衢州)衢州)定义aba(b+1) ,例如 232(3+1)248则(x1)x的结果 为 【答案】x 21 【解析】根据规定的运算,直接代
10、值后再根据平方差公式计算即可 根据题意得: (x1)x(x1) (x+1)x 21 1111 ( (20212021 上海模拟)上海模拟)如果a,b,c是整数,且a cb,那么我们规定一种记号(a,b)c,例如 329, 那么记作(3,9)2,根据以上规定,求(2, 1 32) = 【答案】-5 【解析】3 29,记作(3,9)2, (2)5= 1 32, (2, 1 32)5 12.12.(20192019遂宁)遂宁)阅读材料:定义:如果一个数的平方等于-1,记为 i 2 =-1,这个数 i 叫做虚数单位,把 形如 a+bi(a,b 为实数)的数叫做复数,其中 a 叫这个复数的实部,b 叫这
11、个复数的虚部,它的加、减、乘 法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如计算:(4+i)+(6-2i)=(4+6)+(1-2)i=10-i; (2-i)(3+i)=6-3i+2i-i 2=6-i-(-1)=7-i; (4+i)(4-i)=16-i 2=16-(-1)=17; (2+i) 2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i 根据以上信息,完成下面计算: (1+2i)(2-i)+(2-i) 2= 【答案】7-i 【解析】由题意知(1+2i)(2-i)+(2-i) 2= 2+4i-i-2i2+4-4i+i2=6-i-i2=6-i+1=7-i. 1313 (20192019德州)德州)已知:x表
12、示不超过x的最大整数例:4.84,0.81现定义:xx x,例:1.51.51.50.5,则3.9+1.81 【答案】0.7 【解析】根据题意可得:3.9+1.813.931.8+21+10.7,故答案为:0.7 1414 ( (20202020临沂)临沂)我们知道,两点之间线段最短,因此,连接两点间线段的长度叫做两点间的距离;同理, 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,因此,直线外一点到这条直线的垂线段的长度, 叫做点到直线的距离类似地,连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中,最短线段的长度,叫做点到 曲线的距离依此定义,如图,在平面直角坐标系中,点A(2,1)到以原点为圆心
13、,以 1 为半径的圆的距 离为 5 1 【答案】5 1 【分析】连接AO交O于B,则线段AB的长度即为点A(2,1)到以原点为圆心,以 1 为半径的圆的距离, 根据勾股定理即可得到结论 【解析】连接AO交O于B, 则线段AB的长度即为点A(2,1)到以原点为圆心,以 1 为半径的圆的距离, 点A(2,1) , OA= 22+ 12= 5, OB1, AB= 5 1, 即点A(2,1)到以原点为圆心,以 1 为半径的圆的距离为5 1, 故答案为:5 1 1 15 5. .(20202020 湖北荆州)湖北荆州)我们约定:, ,a b c为函数 2 yaxbxc的关联数,当其图象与坐标轴交点的横、
14、 纵坐标均为整数时,该交点为“整交点”,若关联数为,2,2mm的函数图象与 x 轴有两个整交点(m 为正整数) ,则这个函数图象上整交点的坐标为_ 【答案】1,0或2,0或0,2 【解析】将关联数为,2,2mm代入函数 2 yaxbxc得到: 2 (2)2ymxmx ,由题意将 y=0 和 x=0 代入即可 解:将关联数为,2,2mm代入函数 2 yaxbxc得到: 2 (2)2ymxmx , 关联数为,2,2mm的函数图象与 x 轴有两个整交点(m 为正整数) , y=0,即 2 (2)20mxmx , 因式分解得(2)(1)0mxx, 又关联数为,2,2mm的函数图象与 x 轴有两个整交点
15、, 即 2 40bac m=1, 2 32yxx, 与 x 轴交点即 y=0 解得 x=1 或 x=2, 即坐标为1,0或2,0, 与 y 轴交点即 x=0 解得 y=2, 即坐标为0,2, 这个函数图象上整交点的坐标为1,0或2,0或0,2; 故答案为:1,0或2,0或0,2 【点睛】此题考查二次函数相关知识,涉及一元二次方程判别式判断解的个数的关系及二次函数与坐标轴 交点的求解办法,难度一般,计算较多 16. (20202020 湖北十堰)湖北十堰) 对于实数 ,m n, 定义运算 2 *(2)2m nmn 若2* 4*( 3 )a , 则a_ 【答案】13 【解析】根据给出的新定义分别求
16、出2*a与4*( 3)的值,根据2*4*( 3)a 得出关于a的一元一次方 程,求解即可 2 *(2)2m nmn, 2 2222162aaa, 2 43422342 , 2*4*( 3)a , 16 242a,解得13a 17 (2022021 1 河北石家庄河北石家庄模拟)模拟)定义新运算:对于任意实数,a、b,都有1aba ab,等式右边是 通常的加法、减法及乘法运算,比如:252 2 512316 15 (1)求46x ,求x的值; (2)若3a的值小于 10,请判断方程: 2 20 xbxa的根的情况 【答案】 (1)1 或-5; (2)有两个不相等的实数根 【解析】本题是对定义新运
17、算的考查,准确根据题意列出算式和掌握一元二次方程的解法及根的判别式是 解决本题的关键. (1)x(4)6 416 x x 2 450 xx 12 1,5xx ; x 的值为 1 或-5. (2)3a10, 3(3a)+110 103a10 a0, 2 20 xbxa 22 =()880baba, 所以该方程有两个不相等的实数根. 18.(20202020 贵州黔西南)贵州黔西南)规定:在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度(0180) 后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角例 如:正方形绕着两条对角线的交点 O 旋转 90或 180后,能
18、与自身重合(如图 1) ,所以正方形是旋转对 称图形,且有两个旋转角根据以上规定,回答问题: (1)下列图形是旋转对称图形,但不是中心对称图形的是_; A矩形 B正五边形 C菱形 D正六边形 (2)下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角是 60 度的有:_(填序号) ; (3)下列三个命题:中心对称图形是旋转对称图形;等腰三角形是旋转对称图形;圆是旋转对称图 形,其中真命题的个数有( )个; A0 B1 C2 D3 (4)如图 2 的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成,旋转角有 45,90,135,180,将图形补 充完整 【答案】 (1)B; (2)(1)(3)(5); (3)C; (
19、4)见解析 【解析】 (1)根据旋转对称图形的定义进行判断; (2)先分别求每一个图形中的旋转角,然后再进行判断; (3)根据旋转对称图形的定义进行判断; (4)利用旋转对称图形的定义进行设计 解: (1)矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形,但正五边形不是中心对称图形, 故选:B (2)是旋转对称图形,且有一个旋转角是 60 度的有(1)(3)(5) 故答案为:(1)(3)(5) (3)中心对称图形,旋转 180一定会和本身重合,是旋转对称图形;故命题正确; 等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度(0180)后,不一定能与自身重合,只有等边三角 形是旋转对称图形,故不正确; 圆具有旋转
20、不变性,绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合,是旋转对称图形;故命题正确; 即命题中正确, 故选:C (4)图形如图所示: 【点拨】本题考查旋转对称图形,中心对称图形等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决 问题 19. (20202020 湖北咸宁)湖北咸宁)定义:有一组对角互余的四边形叫做对余四边形 理解: (1)若四边形ABCD是对余四边形,则A与C的度数之和为_; 证明: (2)如图 1,MN是O的直径,点, ,A B C在O上,AM,CN相交于点D 求证:四边形ABCD是对余四边形; 探究: (3)如图 2,在对余四边形ABCD中,ABBC,60ABC ,探究线段AD,CD和
21、BD之间有怎 样的数量关系?写出猜想,并说明理由 【答案】 (1)90或 270; (2)见解析; (3) 222 CDADBD,理由见解析 【解析】 (1)分当A 和C 互余时,当B 和D 互余时,两种情况求解; (2)连接 BO,得到BON+BOM=180,再利用圆周角定理证明C+A=90即可; (3)作ABD 的外接圆 O,分别延长 AC,BC,DC,交圆 O 于 E,F,G,连接 DF,DE,EF,先证明 GF 是圆 O 的直径,得到 222 GEEFGF,再证明ABCFEC,ACDGCE,BCDGCF,可得 22222222 AB CFAD GCAC EFAC GE, BCBDCD
22、k GCGFCF ,从而得出 222222 AB CDAD BCAC BD,根据ABC 为等边三角形可得 AB=AC=BC,从而得到 222 CDADBD. 解: (1)四边形ABCD是对余四边形, 当A 和C 互余时, A+C=90, 当B 与D 互余时, B+D=90, 则A+C=360-90=270, 故答案为:90或 270; (2)如图,连接 BO, 可得:BON=2C,BOM=2A, 而BON+BOM=180, 2C+2A=180, C+A=90, 四边形ABCD是对余四边形; (3)四边形 ABCD 为对于四边形,ABC=60, ADC=30, 如图,作ABD 的外接圆 O,分别
23、延长 AC,BC,DC,交圆 O 于 E,F,G,连接 DF,DE,EF, 则AEF=ABC=60,AEG=ADG=30, AEF+AEG=90,即FEG=90, GF 是圆 O 的直径, AB=BC, ABC 为等边三角形, ABC=AEF,ACB=ECF, ABCFEC,得: ABACBC EFFCEC ,则 2222 AB CFAC EF, 同理,ACDGCE,得: ACADCD GCGECE ,则 2222 AC GEAD GC, BCDGCF,得: BCBDCD k GCGFCF , 可得: 22222222 AB CFAD GCAC EFAC GE, 而 222 GEEFGF, 2
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