专题13 圆的必考综合题再精练(解析版)-备战2021年中考数学查缺补漏再训练26个微专题
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1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题专题 13 圆的必考综合题再精练圆的必考综合题再精练( (共共 1 17 7 道道题题) ) 1. (20202020 福建)福建) 如图,AB与 O相切于点B,AO交O于点C,AO的延长线交O于点D,E是BCD 上不与,B D重合的点, 1 sin 2 A (1)求BED的大小; (2)若O的半径为 3,点F在AB的延长线上,且3 3BF ,求证:DF与O相切 【答案】 (1)60 ; (2)详见解析 【解析】(1)连接 OB,在 RtAOB 中由 1 sin
2、2 A 求出A=30 ,进而求出AOB=60 ,BOD=120 ,再 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出BED 的值; (2)连接 OF,在 RtOBF中,由tan3 BF BOF OB 可以求出BOF=60 ,进而得到FOD=60 ,再证 明 FOBFOD,得到ODF=OBF=90 解:(1)连接OB, AB与O相切于点B, OBAB, 1 sin 2 A ,30A , 60AOB,则120BOD 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知: 1 60 2 BEDBOD 故答案为:60 (2)连接OF, 由(1)得OBAB,120BOD, 3OB, 3 3BF ,tan 3 BF BOF
3、 OB , 60BOF,60DOF 在BOF与DOF中, OBOD BOFDOF OFOF ()BOFDOF SAS, 90ODFOBF 又点D在O上,故DF与O相切 2 2 ( (20212021 齐齐哈尔齐齐哈尔模拟模拟)如图,以ABC的边BC为直径作O,点A在O上,点D在线段BC的延 长线上,ADAB,D30 (1)求证:直线AD是O的切线; (2)若直径BC4,求图中阴影部分的面积 【答案】见解析。 【解析】 (1)证明:连接OA,则COA2B, ADAB, BD30, COA60, OAD180603090, OAAD, 即CD是O的切线; (2)解:BC4, OAOC2, 在 Rt
4、OAD中,OA2,D30, OD2OA4,AD2, 所以SOADOAAD222, 因为COA60, 所以S 扇形COA , 所以S 阴影SOADS扇形COA2 3.(20202020 湖北黄石)湖北黄石)如图,在Rt ABC中, 90C,AD平分BAC交BC于点 D,O为AB上一点, 经过点 A、D 的O分别交AB、AC于点 E、F (1)求证:BC是O的切线; (2)若8BE , 5 sin 13 B ,求O的半径; (3)求证: 2 ADAB AF 【答案】 (1)见解析(2)8(3)见解析 【解析】 (1)连接 OD,由 AD 为角平分线得到一对角相等,再由等边对等角得到一对角相等,等量
5、代换得 到内错角相等,进而得到 OD 与 AC平行,得到 OD与 BC垂直,即可得证; (2)连接 EF,设圆的半径为 r,由 sinB的值,利用锐角三角函数定义即可求出 r的值; (3) 先判断出AEFB 再判断出AEFADF, 进而得出BADF, 进而判断出ABDADF, 即可得出结论 【详解】 (1)如图,连接 OD,则 OAOD, ODAOAD, AD是BAC的平分线, OADCAD, ODACAD, ODAC, ODBC90, 点 D在O上, BC是O的切线; (2)由(1)知,ODBC, BDO90, 设O的半径为 R,则 OAODOER, BE8, OBBEOE8R, 在 RtB
6、DO中,sinB 5 13 , sinB 8 ODR OBR 5 13 , R5; (3) 连接 OD,DF,EF, AE是O的直径, AFE90C, EFBC, BAEF, AEFADF, BADF, 由(1)知,BADDAF, ABDADF, ABAD ADAF , AD2ABAF 【点睛】此题是圆的综合题,主要考查了切线的判定,圆周角的性质,相似三角形的判定和性质,锐角三 角函数,求出圆的半径是解本题的关键 4. (2020 贵州遵义)贵州遵义)如图,AB是 O的直径,点C是O上一点,CAB的平分线AD交BC于点D, 过点D作/DE BC交AC的延长线于点E (1)求证:DE是O的切线;
7、 (2)过点D作DFAB于点F,连接BD若1OF ,2BF ,求BD的长度 【答案】 (1)见解析; (2)2 3BD 【解析】 (1)连接 OD,由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出ADODAE,从而 ODAE,由 DEBC得E90 ,由两直线平行,同旁内角互补得出ODE90 ,由切线的判定定理得出答案; (2)先由直径所对的圆周角是直角得出ADB90 ,再由 OF1,BF2 得出 OB的值,进而得出 AF和 BA 的值,然后证明DBFABD,由相似三角形的性质得比例式,从而求得 BD2的值,求算术平方根即 可得出 BD的值 解: (1)连接 OD,如图: OAOD, OADADO, AD
8、平分CAB, DAEOAD, ADODAE, ODAE, DEBC, E90 , ODE180E90 , DE是O的切线; (2)因AB为直径,则90ADB 1OF ,2BF OB=3 4AF ,6BA ADB=DFB=90, B=B DBFABD BFBD BDAB 2 2 612BDBF BA 所以2 3BD 5. (2020 湖北鄂州)湖北鄂州)如图所示: O与ABC的边BC相切于点 C,与AC、AB分别交于点 D、E, /DE OBDC是O的直径连接OE,过 C作/CG OE交O于 G,连接DG、EC,DG与EC交 于点 F (1)求证:直线AB与O相切; (2)求证:AE EDAC
9、EF; (3)若 1 3,tan 2 EFACE时,过 A作/AN CE交O于 M、N 两点(M在线段AN上) ,求AN的 长 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) 10+2 5 【解析】(1)DE/OB,BOC=EDC, CG/OE,DEO=BOE, 又DEO=EDC,DEO=BOE, 由题意得:EO=CO,BO=BO, BOEBOC(SAS), BEO=BCO=90, AB是O的切线 (2) 如图所示 DG与 OE 交点作为 H 点, EO/GC, EHD=DGC=90, 又由(1)所知AEO=90, AE/DF, AECDFC, AEDF ACDC , 由圆周角定理可知EDG=
10、ECG,EOD=2ECD, DO/GC, EOD=GCD=GCE+ECD, ECD=GCE=EDF, 又FED=DEC, FEDDEC, DFEF DCED , AEEF ACED ,即AE EDAC EF (3) 1 3,tan 2 EFACE,与ACE相等角的 tan值都相同 ED=6,则 EC=12, 根据勾股定理可得 22 36 1446 5CDEDEC EO=DO=CO=3 5 由(2)可得 1 2 AEEF ACED , 在 RtAEO中,可得 222 AOAEEO ,即 2 22 ACOCAEEO, 22 2 23 53 5AEAE, 解得 AE=4 5,则 AC=8 5,AO=
11、5 5 连接 ON,延长 BO 交 MN于点 I,根据垂径定理可知 OIMN, AN/CE,CAN=ACE 在 RtAIO中,可得 222 AOAIIO ,即 2 2 2 5 52OIOI, 解得 OI=5,则 AI=10, 在 RtOIN中, 222 ONINIO ,即 2 22 3 55IN, 解得 IN=2 5 AN=AI+IN=10+2 5 【点睛】本题考查圆的综合知识及相似全等,关键在于根据条件结合知识点,特别是辅助线的做法要迎合题目 给出的条件 6. (20212021 福建模拟)福建模拟)如图, 在ABC 中,90C,AD平分BAC交BC于点D,过点A和点D的圆, 圆心O在线段A
12、B上,O交AB于点E,交AC于点F (1)判断BC与O的位置关系,并说明理由; (2)若8AD,10AE ,求BD长 【答案】 (1)BC与O相切证明见解析; (2)120. 7 【解析】 (1)利用角平分线的定义证明,OADCAD 结合等腰三角形的性质证明,ODACAD 从 而证明/ /,ODAC结合90C可得答案; (2)连接DE,先利用勾股定理求解DE的长,再证明,BDEBAD 利用相似三角形的性质列方程组 求解即可得到答案 解: (1)BC与O相切 理由如下: 如图,连接OD, AD平分BAC, ,OADCAD ,OAODQ ,ODAOAD ,ODACAD / /,ODAC 90 ,C
13、 90 ,ODBC DQ在O上, BC是O的切线 (2)连接,DE AE为O的直径, 90 ,ADE 8AD,10AE , 22 6,DEAEAD 90 ,ODBADE 90 ,BDEODEADOODE ,BDEADO ,ODOA ,ADODAO ,BDEDAO ,BB ,BDEBAD , BDDEBE BAADBD 6 , 108 BDBE BEBD 2 68 , 10 BDBE BDBEBE 解得: 120 . 7 BD 所以:BD的长为:120. 7 【点睛】本题考查的切线的判定与性质,圆的基本性质,圆周角定理,三角形相似的判定与性质,勾股定 理的应用,掌握以上知识是解题的关键 7.(2
14、0202020 贵州黔西南)贵州黔西南)古希腊数学家毕达哥拉斯认为: “一切平面图形中最美的是圆” 请研究如下美丽的 圆如图,线段 AB 是O 的直径,延长 AB 至点 C,使 BCOB,点 E 是线段 OB 的中点,DEAB 交O 于点 D,点 P 是O 上一动点(不与点 A,B 重合) ,连接 CD,PE,PC (1)求证:CD 是O 的切线; (2)小明在研究的过程中发现 PE PC 是一个确定的值回答这个确定的值是多少?并对小明发现的结论加以 证明 【答案】 (1)见解析; (2) 1 2 ,解析 【解析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质 (1)连接 OD,DB,由已
15、知可得 DE 垂直 平分 OB,于是 DBDO,而 OBOD,所以 DBDOOB,即ODB 是等边三角形,于是BDO60,再由等 腰三角形的性质及三角形的外角性质可得CDB30,从而可得ODC90,所以 ODCD,所以 CD 是 O 的切线; (2)连接 OP,由已知条件得 OPOBBC2OE,再利用“两组边成比例,夹角相等”证明OEP OPC,最后由相似三角形的对应边成比例得到结论 【详解】解: (1)如答图,连接 OD,DB,点 E 是线段 OB 的中点,DEAB 交O 于点 D,DE 垂直平分 OB, DBDO DOOB, DBDOOB, ODB 是等边三角形, BDODBO60 BCO
16、BBD, 且DBE 为BDC 的外角,BCDBDC 1 2 DBODBO60,CDB30ODCBDO BDC603090,ODCD,CD 是O 的切线; (2)这个确定的值是 1 2 证明:如答图,连接 OP,OPOBBC2OE, OE OP OP OC 1 2 ,又COPPOE,OEPOPC, PE PC OP OC 1 2 【点拨】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质,熟练掌握相关性质及定理是解题的关 键 8.(2021 江苏苏州模拟)江苏苏州模拟)如图,AB是O的直径,点 C 是O 上一点(与点 A,B不重合) ,过点 C作直线 PQ,使得ACQABC (1)求证:直线 P
17、Q是O的切线 (2)过点 A 作 ADPQ 于点 D,交O于点 E,若O的半径为 2,sinDAC 1 2 ,求图中阴影部分的面 积 【答案】 (1)见解析; (2) 2 3 3 【解析】 (1)连接 OC,由直径所对的圆周角为直角,可得ACB90;利用等腰三角形的性质及已知条 件ACQABC,可求得OCQ90,按照切线的判定定理可得结论 (2)由 sinDAC 1 2 ,可得DAC30,从而可得ACD的 度数,进而判定AEO为等边三角形, 则AOE的度数可得;利用 S阴影S扇形SAEO,可求得答案 【详解】解: (1)证明:如图,连接 OC, AB 是O的直径, ACB90, OAOC, C
18、ABACO ACQABC, CAB+ABCACO+ACQOCQ90,即 OCPQ, 直线 PQ是O的切线 (2)连接 OE, sinDAC 1 2 ,ADPQ, DAC30 ,ACDABC=60 BAC=30, BAD=DAC+BAC=60, 又OAOE, AEO为等边三角形, AOE60 S阴影S扇形SAEO S扇形 1 2 OAOEsin60 2 6013 22 2 36022 2 3 3 图中阴影部分的面积为 2 3 3 9.(2021 重庆模拟)重庆模拟)如图,在O中,AB为O的直径,C为O上一点,P 是BC的中点,过点 P 作 AC 的垂线,交 AC的延长线于点 D (1)求证:DP
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