专题12 分段函数问题专心练（解析版）-备战2021年中考数学查缺补漏再训练26个微专题

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1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题专题 12 12 分段函数问题专心练分段函数问题专心练( (共共 9 9 道小题道小题) ) 1 1 （ （20192019 江苏徐州）江苏徐州）如图，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A甲 从中山路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北京路步行向东匀速直行设出 发xmin时，甲、乙两人与点A的距离分别为y1m、y2m已知y1、y2与x之间的函数关系如图所示 （1）求甲、乙两人的速度； （2）当x取何值时，甲、乙两人之

2、间的距离最短？ 【答案】见解析。 【解析】 （1）设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图中函数图象交点列方程组求解； （2）设甲、乙之间距离为d，由勾股定理可得d 2（1200240 x）2+（80 x）2 64000（x ） 2+144000， 根据二次函数最值即可得出结论 解： （1）设甲、乙两人的速度分别为am/min，bm/min，则： y1 y2bx 由图知：x3.75 或 7.5 时，y1y2，解得： 答：甲的速度为 240m/min，乙的速度为 80m/min （2）设甲、乙之间距离为d， 则d 2（1200240 x）2+（80 x）2 64000（x） 2+14

3、4000， 当x时，d 2的最小值为 144000，即 d的最小值为 120； 答：当x时，甲、乙两人之间的距离最短 2.（2021 湖北襄阳模拟）湖北襄阳模拟）如图，在四边形ABCD中， ADBC，90D，4AB ，6BC ， 30BAD动点P沿路径ABCD从点A出发，以每秒 1个单位长度的速度向点D运动过 点P作PHAD，垂足为H设点P运动的时间为x（单位：s） ，APHV的面积为y，则y关于x的函 数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分点 P在 AB边上，如图 1，点 P在 BC 边上，如图 2，点 P在 CD 边上，如图 3，利用解直角三角 形的知识和三角形

4、的面积公式求出相应的函数关系式，再根据相应函数的图象与性质即可进行判断 解：当点 P在 AB边上，即 0 x4 时，如图 1， AP=x，30BAD， 13 , 22 PHx AHx， 2 1 133 2 228 yxxx； 当点 P在 BC边上，即 4x10 时，如图 2， 过点 B作 BMAD于点 M，则 13 2,2 3,4 22 PHBMABAMABMHBPx， 11 2 3422 34 22 yAH PHxx； 当点 P在 CD边上，即 10 x12时，如图 3， AD=2 3 6 ，12PHx， 1 2 36123312 2 yxx； 综上，y与 x的函数关系式是： 2 3 04

5、8 2 34 410 33121012 yxx yxx yxx ， 其对应的函数图象应为： 故选：D 【点睛】本题以直角梯形为载体，主要考查了动点问题的函数图象、一次函数和二次函数的图象与性质以 及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、列出相应的函数关系式是解题的关键 3 （2021 湖北宜昌湖北宜昌模拟） 模拟）某水果店在两周内，将标价为 10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为 8.1 元/斤，并且两次降价的百分率相同 （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第 1 天算起，第 x 天(x 为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示. 已知该种水果的

6、进价为 4.1 元/斤，设销售该水果第 x(天)的利润为 y(元)，求 y 与 x(1x15)之间的函数 关系式，并求出第几天时销售利润最大？ 时间(天) 1x9 9x15 x15 售价(元/斤) 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格 销量(斤) 803x 120 x 储存和损耗费用(元) 403x 3x264x400 （3）在（2）的条件下，若要使第 15 天的利润比（2）中最大利润最多少 127.5 元，则第 15 天在第 14 天 的价格基础上最多可降多少元？ 【答案】见解析。 【解析】 （1）设该种水果每次降价的百分率为 x，则第一次降价后的价格为 10(1x)，第二次降价后

7、的价格 为 10(1x)2，进而可得方程； （2）分两种情况考虑，先利用“利润(售价进价)销量储存和损耗费 用” ，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论； （3）设第 15 天在第 14 天的价格基础上降 a 元，利用不 等关系“（2）中最大利润(8.1a4.1)销量储存和损耗费用127.5”求解 解： （1）设该种水果每次降价的百分率为 x，依题意得： 10(1x)28.1 解方程得：x10.110%，x21.9(不合题意，舍去) 答：该种水果每次降价的百分率为 10% （2）第一次降价后的销售价格为：10(110%)9(元/斤)， 当 1x9 时，y(94.1)(803x)(403x)1

8、7.7x352； 当 9x15 时，y(8.14.1)(120 x)(3x264x400)3x260 x80， 综上，y 与 x 的函数关系式为：y 17.7x352(1x9，x为整数)， 3x260 x80(9x15，x为整数) 当 1x9 时，y17.7x352，当 x1 时，y最大334.3(元)； 当 9x15 时，y3x260 x803(x10)2380，当 x10 时，y最大380(元)； 334.3380，在第 10 天时销售利润最大 （3）设第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 a 元，依题意得： 380(8.1a4.1)(12015)(31526415400)127.5

9、， 解得：a0.5， 则第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 0.5 元 4. （2020 湖北黄冈）湖北黄冈）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网 络平台上进行直播销售大别山牌板栗 为提高大家购买的积极性， 直播时， 板栗公司每天拿出 2000 元现金， 作为红包发给购买者已知该板栗的成本价格为 6元/kg，每日销售量 (kg)y 与销售单价 x（元/kg）满足 关系式：1005000yx 经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于 30元/kg当每日销售量不 低于4000kg时，每千克成本将降低 1元设板栗公司销售该板栗的日获利为 W（元） （1

10、）请求出日获利 W与销售单价 x 之间的函数关系式 （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ （3）当40000W 元时，网络平台将向板栗公可收取 a元/kg(4)a 的相关费用，若此时日获利的最大值 为 42100元，求 a 的值 【答案】 （1） 2 2 100550027000(610) 100560032000(1030) xxx w xxx ； （2）当销售单价定为 28 元时，日获利最大， 且最大为 46400 元； （3）2a 【解析】 （1）首先根据题意求出自变量 x 的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可； （2）对于（1）得到的两个函数关系式

11、在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果； （3）先求出当40000w，即 2 10056003200040000 xx 时的销售单价，得当 40000,2036wx，从而20 30 x，得 1 (6)( 1005000)2000wxax ，可知，当 1 28 2 xa时， max 42100w元， 从而有 11 286100 285000200042100 22 aaa ， 解方程即可得到 a的值 解： （1）当4000y ，即10050004000 x， 10 x 当610 x 时，(6 1)( 1005000)2000wxx 2 100550027000 xx 当103

12、0 x时，(6)( 1005000)2000wxx 2 100560032000 xx 2 2 100550027000(610) 100560032000(1030) xxx w xxx （2）当610 x 时， 2 100550027000wxx 对称轴为 550055 10 22 ( 100)2 b x a ， 当10 x 时， max 5 4000200018000w 元 当1030 x时， 2 100560032000wxx 对称轴为 5600 28 22 ( 100) b x a ， 当28x时， max 22 2200200046400w元 4640018000 综合得，当销售单

13、价定为 28 元时，日获利最大，且最大为 46400 元 （3）4000018000， 1030 x，则 2 100560032000wxx 令40000w，则 2 10056003200040000 xx 解得： 12 20,36xx 在平面直角坐标系中画出 w与 x的数示意图 观察示意图可知： 40000,2036wx 又1030 x， 2030 x 1 (6)( 1005000)2000wxax 2 100(5600 100 )320005000 xa xa 对称轴为 5600 1001 28 22 ( 100)2 ba xa a 4a， 对称轴 1 2830 2 xa 当 1 28 2

14、 xa时， max 42100w元 11 286100 285000200042100 22 aaa 2 881720aa ， 12 2,86aa 又4a， 2a 5.（2020 湖北荆门）湖北荆门）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门 和单位对口扶贫力度某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按 30 天计）的第 x 天（x为正整数）的销 售价格 p（元/千克）关于 x 的函数关系式为 2 4(020) 5 1 12(2030) 5 xx p xx ，销售量 y（千克）与 x 之间的 关系如图所示 （1）求 y与 x 之间的函数关系式，并写出 x的取值范

15、围； （2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？ （销售额=销售量销售价格） 【答案】 （1） 280(020) 440(2030) xx y xx ； （2）当月第 15天，该产品的销售额最大，最大销售额是 500 元 【解析】 （1）分为020 x和20 x30，用待定系数法确定解析式即可； （2）分别计算出020 x和20 x30时的最大值，进行比较，最大的作为最大值即可 【详解】 （1）当020 x时，设 11 yk xb，由图象得： 1 11 80 2040 b kb 解得： 1 1 2 80 k b 280(020)yxx 当20 x30时，设 22 yk xb，由

16、图象得： 22 22 2040 3080 kb kb 解得： 2 2 4 40 k b 440(2030)yxx 综上， 280(020) 440(2030) xx y xx （2）设当月该农产品的销售额为 w 元，则w yp 当020 x时， 22 244 ( 280)424320(15)500 555 wxxxxx 4 0 5 ，由二次函数的性质可知： 当15x 时， 500w 最大 当20 x30时， 22 144 (440)1256480(35)500 555 wxxxxx 4 0,2030 5 x ，由二次函数的性质可知： 当30 x 时， 2 4 (3035)500480 5 w

17、最大 500480 当15x 时，w取得最大值，该最大值为 500 答：当月第 15 天，该产品的销售额最大，最大销售额是 500元 6. （2021 江苏徐州江苏徐州模拟） 模拟） 2020年新冠肺炎疫情期间， 部分药店趁机将口罩涨价， 经调查发现某药店某月 （按 30 天计）前 5 天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表： 第x天 1 2 3 4 5 销售价格p（元/只） 2 3 4 5 6 销量q（只） 70 75 80 85 90 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于 1 元/只，该药店从第 6天起将 该型号口罩的价格调整为

18、1 元/只据统计，该药店从第 6 天起销量q（只）与第x天的关系为 2 280200qxx （630 x，且x为整数） ，已知该型号口罩的进货价格为 0.5元/只 （1）直接写出 该药店该月前 5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式； （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大； （3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外 的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于 2000元，则m的取值范围为_ 【 答 案 】 （ 1 ）1px，15x 且 x 为 整 数 ，565qx，15x

19、且 x 为 整 数 ； （ 2 ） 2 2 13565 5,15 22 40100,630 xxxx W xxxx 且 为整数 且 为整数 剟 剟 ，第 5 天时利润最大； （3） 8 5 m 【解析】 （1）根据表格数据，p 是 x的一次函数，q是 x的一次函数，分别求出解析式即可； （2）根据题意，求出利润 w与 x 的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值 （3）先求出 前 5天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出 m的取值范围 【详解】 （1）观察表格发现 p是 x 的一次函数，q是 x的一次函数， 设 p=k1x+b1， 将 x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得： 1

20、1 11 2 32 kb kb ， 解得： 1 1 1 1 k b ， 所以1px， 经验证 p=x+1符合题意， 所以1px，15x 且 x 为整数； 设 q=k2x+b2， 将 x=1，q=70；x=2，q=75 分别代入得： 22 22 70 752 kb kb ， 解得： 2 2 5 65 k b ， 所以565qx， 经验证565qx符合题意， 所以565qx，15x 且 x 为整数； （2）当15x 且 x 为整数时， (10.5)(565)Wxx 2 13565 5 22 xx； 当630 x且 x 为整数时， 2 (10.5)280200Wxx 2 40100 xx ； 即有

21、2 2 13565 5,15 22 40100,630 xxxx W xxxx 且 为整数 且 为整数 剟 剟 ； 当15x 且 x 为整数时，售价，销量均随 x 的增大而增大， 故当5x 时， 495W 最大 （元） 当630 x且 x 为整数时， 22 40100(20)300Wxxx 故当20 x=时， 300W 最大 （元） ； 由495300，可知第 5天时利润最大 （3）根据题意， 前 5天的销售数量为：7075808590400q （只） ， 前 5 天多赚的利润为： (2 703 754 805 856 90) 1 40016504001250W （元） ， 12502000m

22、， 8 5 m； m的取值范围为 8 5 m 7. （2021 上海上海模拟）模拟）小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三 轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商 店早 5 分钟在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为 t（分钟） ，图 1 表示两人之间的距离 s（米） 与时间 t（分钟）的函数关系的图象；图 2 中线段AB表示小华和商店的距离 1 y（米）与时间 t（分钟）的 函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题： （1） 填空： 妈妈骑车的速度是_米/分钟， 妈妈在家装载货物所用时间是

23、_分钟， 点 M的坐标是_； （2）直接写出妈妈和商店的距离 2 y（米）与时间 t（分钟）的函数关系式，并在图 2中画出其函数图象； （3）求 t为何值时，两人相距 360米 【答案】 （1）120，5，20,1200； （2） 2 120(015) 1800(1520) 1204200(2035) tt yt tt ，见解析； （3）当 t为 8，12 或 32（分钟）时，两人相距 360 米 【解析】 （1）先求出小华步行的速度，然后即可求出妈妈骑车的速度；先求出妈妈回家用的时间，然后根 据小华到达商店比妈妈返回商店早 5 分钟，即可求出装货时间；根据题意和图像可得妈妈在 M 点时开始返

24、 回商店，然后即可求出 M的坐标； （2）分当 0t15时，当 15t20 时，当 20t35 时三段求出解析式即可，根据解析式画图即可； （3）由题意知，小华速度为 60 米/分钟，妈妈速度为 120 米/分钟，分相遇前，相遇后，在小华到达 以后三种情况讨论即可 解： （1）由题意可得：小华步行的速度为： 1800 30 =60（米/分钟） ， 妈妈骑车的速度为： 180060 10 10 =120（米/分钟） ； 妈妈回家用的时间为： 1800 120 =15（分钟） ， 小华到达商店比妈妈返回商店早 5 分钟， 可知妈妈在 35分钟时返回商店， 装货时间为：35-15 2=5（分钟） ，

25、 即妈妈在家装载货物的时间为 5 分钟； 由题意和图像可得妈妈在 M 点时开始返回商店， M点的横坐标为：15+5=20（分钟） ， 此时纵坐标为：20 60=1200（米） ， 点 M 的坐标为20,1200； 故答案为：120，5，20,1200； （2）当 0t15 时 y2=120t， 当 15t20 时 y2=1800， 当 20t35时，设此段函数解析式为 y2=kx+b， 将（20，1800） ， （35，0） ，代入得 180020 035 kb kb ， 解得 120 4200 k b ， 此段的解析式为 y2=-120 x+4200， 综上： 2 120(015) 1800

26、(1520) 1204200(2035) tt yt tt ； 其函数图象如图， ； （3）由题意知，小华速度为 60 米/分钟，妈妈速度为 120 米/分钟， 相遇前，依题意有60120360 1800tt，解得8t （分钟） ； 相遇后，依题意有60120360 1800tt，解得12t （分钟） ； 依题意，当20t 分钟时，妈妈从家里出发开始追赶小华， 此时小华距商店为180020 60600（米） ，只需 10分钟， 即30t 分钟时，小华到达商店， 而此时妈妈距离商店为1800 10 120600（米）360（米） ， 12053601800 2t ，解得32t （分钟） ， 当

27、t为 8，12 或 32（分钟）时，两人相距 360米 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，由图像获取正确的信息是解题关键 8. （2021 吉林吉林模拟）模拟） 5月 18 日， 我市九年级学生安全有序开学复课 为切实做好疫情防控工作， 开学前夕， 我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生已知每盒口罩有 100 只，每盒水银体温 计有 10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多 150元用 1200元购买口罩盒数与用 300 元购买水银体 温计所得盒数相同 （1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？ （2）如果给每位学生发放 2只口罩和 1支水银体温计，且口罩和水银

28、体温计均整盒购买设购买口罩 m盒 （m 为正整数） ，则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含 m的代数式表示 （3）在民联药店累计购医用品超过 1800 元后，超出 1800元的部分可享受 8 折优惠该校按（2）中的配套 方案购买，共支付 w元，求 w 关于 m 的函数关系式若该校九年级有 900名学生，需要购买口罩和水银体 温计各多少盒？所需总费用为多少元？ 【答案】（1） 每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是 200元， 50 元；（2）5m；（3） 4504 3603604 wm m wmm ， 需要购买口罩 18盒，水银体温计 90 盒，所需总费用为 6840元. 【解析】 （1

29、）设每盒水银体温计的价格是 x 元，根据用 1200元购买口罩盒数与用 300 元购买水银体温计的 盒数相同列出方程，求解即可； （2）先用 m表示出需要水银体温计的支数，再表示出水银体温计的盒数； （3）分当 m4 时，当 m4时，分别得出关系式，再合并，根据若该校九年级有 900名学生求出口罩的盒 数 m，从而得到体温计的盒数以及总费用. 【详解】解： （1）设每盒水银体温计的价格是 x元，则每盒口罩的价格是 x+150元， 根据题意可得： 1200300 150 xx ， 解得：x=50， 经检验：x=50 是原方程的解， 50+150=200 元， 每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是

30、200 元，50 元； （2）购买口罩 m盒， 共有口罩 100m个， 给每位学生发放 2 只口罩和 1 支水银体温计， 需要发放 100 2 m 支水银体温计， 需要购买 100 105 2 m m盒水银体温计； （3）由题意可得： 令 200m+5m 50=1800， 解得：m=4， 若未超过 1800 元，即当 m4 时， 则 w=200m+5m 50=450m， 若超过 1800元，即当 m4 时， w=（200m+5m 50-1800） 0.8+1800=360m+360， w 关于 m 的函数关系式为 4504 3603604 wm m wmm ， 若该校九年级有 900 名学生，

31、即100 2 m =900， 解得：m=18， 则360360wm=6840， 答：需要购买口罩 18盒，水银体温计 90 盒，所需总费用为 6840元. 9. （2021 河北河北模拟）模拟）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售“一方有难，八 方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售专业户为了感谢经销商的援 助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按 25元/千克的价格出售设经销商购进甲种 水果 x 千克，付款 y元，y与 x之间的函数关系如图所示 （1）直接写出当050 x和50 x时，y与 x之间的函数关系式； （2）若经销商计

32、划一次性购进甲，乙两种水果共 100 千克，且甲种水果不少于 40 千克，但又不超过 60 千 克如何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额 w（元）最少？ （3）若甲，乙两种水果的销售价格分別为 40 元/千克和 36元/千克，经销商按（2）中甲，乙两种水果购进 量的分配比例购进两种水果共 a 千克，且销售完 a千克水果获得的利润不少于 1650元，求 a的最小值 【答案】 （1） 30050 2430050 xx y xx ； （2）甲进 40 千克，乙进 60 千克付款总金额最少； （3） 12 126 13 千 克 【解析】 （1）根据函数图像利用选定系数法即可求出 y与

33、x 之间的函数关系式 （2）甲进 x 千克，则乙进（100 x）千克，根据甲水果进货量的取值范围，第一，当 40 x50时，甲水果 进货量 x与付款 y的关系式为y=30 x，结合乙水果花费的金额，表示出 w关于 x 的一次函数关系式，根据 x 取值范围求出 w的最小值；第二，当 50 x60时，甲水果进货量 x与付款 y的关系式为y=24x+300， 同样加上乙水果花费金额，表示出 w函数关系式，再根据 x的取值范围求出 w最小值，比较 w谁最小，从 而确定甲乙两种水果进货量 （3）通过甲，乙两种水果购进量的分配比例，用 a表示出甲乙进货量，分类讨论甲不同的进货量得出不同 的进货价格，表示出

34、利润不低于 1650元的不等式，从而求出 a 的最小值 【详解】 （1）当050 x时，设 y=kx， 将（50，1500）代入得 1500=50k， 解得 k=30， 所以y=30 x； 当50 x时，设 y=k1x+b， 将（50，1500） 、 （70，1980）分别代入得 1 1 150050 198070 kb kb ， 解得： 1 24 300 k b ， 所以y=24x+300； 综上 30050 2430050 xx y xx ； （2）甲进货 x 千克，则乙进货（100 x）千克 40 x50 w=30 x+（100 x） 25 =5x+2500 k0 当 x=40 时，w有

35、最小值为 2700； 50 x60， w=24x+300+（100 x） 25， =x+2800， k0， 当 x=60时 w有最小值为 2740， 27002740， 当甲进 40千克，乙进 60 千克时付款总金额最少； （3）由题可设甲为 2 a 5 ，乙为 3 a 5 ； 当 0 2 a 5 50 时，即 0a125 则甲的进货价为 30 元/千克， 2 a 5 （4030） 3 a 5 （3625）1650， a 8250 53 125， 与 0a125矛盾，故舍去， 当 2 a 5 50 时，即 a125， 则甲的进货价为 24 元/千克， 2 a 5 （4024） 3 a 5 （3625）1650， a 12 126 13 125 ， a的最小值为 12 126 13 答：a 的最小值为 12 126 13 ，利润不低于 1650 元