2021年高考数学压轴讲与练 专题16 几何体的几何特征与点线面关系(解析版)
《2021年高考数学压轴讲与练 专题16 几何体的几何特征与点线面关系(解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2021年高考数学压轴讲与练 专题16 几何体的几何特征与点线面关系(解析版)(24页珍藏版)》请在七七文库上搜索。
1、专题 16 几何体的几何特征与点线面关系 【压轴综述】【压轴综述】 在立体几何中,判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与 垂直的位置关系),计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题正确揭示 空间图形与平面图形的联系, 并有效地实施空间图形与平面图形的转换是分析和解决这两类 问题的关键 要善于将空间问题转化为平面问题: 这一步要求我们具备较强的空间想象能力, 对几何体的结构特征要牢牢抓住. 立体几何压轴题多以选择题、填空题形式出现,往往与不等式、导数、三角函数等相结 合,具有一定的综合性.其中折叠问题、几何体的切接及截面问题、角的计算问题等比较多 见. 一.
2、折叠问题最重要的是找到折叠之前与折叠之后不变量,这是两个图形的桥梁,再结合新 图形的新特征处理. 二.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系; (2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线 垂直数量积为零列出方程组求出法向量; (4)将空间位置关系转化为向量关系; (5)根据定理 结论求出相应的角. 三.几何体的切接、截面问题: (1)求解与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接解题时要认真分析图形,明确 切点和接点的位置, 确定有关元素间的数量关系, 并作出合适的截面图, 如球内切于正方体, 切点为正方体各
3、个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点 均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面,把空间问题转化为平面图 形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解这样才能进一步 将空间问题转化为平面内的问题; (2)转化后如何算?因为已经是平面内的问题,那么方法就比较多了,如三角函数法、均值 不等式、坐标法,甚至导数都是可以考虑使用的工具 四.角的计算问题 1. 二面角的平面角及其求法有:定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、 向量法等,依据题目选择方法求出结果 2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线二
4、定角,根据异面直 线所成角的定义找出所成角 三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角 四 结论 3.线面角的计算:(1)利用几何法:原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做-二证 -三计算”. (2)利用向量法求线面角的方法 (i 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其 补角); (ii)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其 补角),取其余角就是斜线和平面所成的角. 下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧. 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020全国卷高考文科T3 理科T3)埃及胡夫金字塔是
5、古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面 三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.如图,设CD=a,PE=b,则PO=, 由题意PO 2= ab,即b 2- = ab,化简得 4-2 -1=0,解得 =(负值舍去). 例 2.(2020全国卷高考文科T12 理科T10 )已知A,B,C为球O的球面上的三个点, O1为ABC的外接圆,若O1的面积为 4,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为 ( ) A.64 B.48 C.36 D.32 【解析】选 A.
6、设圆O1的半径为r,球的半径为R,依题意,得 r 2=4,所以 r=2,由正弦定理 可得AB=2rsin 60=2,所以OO1=AB=2,根据球截面性质得OO1平面ABC, 所以OO1O1A,R=OA=4,所以球O的表面积S=4R 2=64. 例 3. (2020全国卷文科T11 理科T10)已知ABC是面积为的等边三角形,且其顶 点都在球O的球面上.若球O的表面积为 16,则O到平面ABC的距离为 ( ) A. B. C.1 D. 【解析】选 C.设ABC的外接圆圆心为O1,记OO1=d,圆O1的半径为r,球O的半径为R,ABC 的边长为a,则SABC=a 2= ,可得a=3,于是r=,由题
7、知,球O的表面积为 16,则R=2,由 R 2=r2+d2易得 d=1,即O到平面ABC的距离为 1. 例 4.(2020全国卷理科T7)如图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点 在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为 ( ) A.E B.F C.G D.H 【解析】选 A.该几何体是两个长方体拼接而成,如图所示,由图可知选 A. 5.(2020全国卷理科T8 文科T9)如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是 ( ) A.6+4 B.4+4 C.6+2 D.4+2 【解析】选 C.根据三视图特征,在正方体中截取出符合题意的立体图形, 根据
8、立体图形可得:SABC=SADC=SCDB= 22=2,根据勾股定理可得:AB=AD=DB=2, 所以ADB是边长为 2的等边三角形,根据三角形面积公式可得:SADB=ABADsin 60= =2,所以该几何体的表面积是:32+2=6+2. 例 6.(2020 新高考全国卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针 投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置 一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬 40,则晷针与点A处水平面所 成的角为
9、( ) A.20 B.40 C.50 D.90 【解析】 选 B. 晷针与晷面垂直,而晷面与赤道所在平面平行,所以晷针与赤道所在平面垂直, 进而可知晷针与OA的夹角是 50,又OA垂直点A处的水平面,则晷针与点A处的水平面所 成的角为 40. 例 7.(2020浙江高考T6)已知空间中不过同一点的三条直线m,n,l,则“m,n,l在同一平 面”是“m,n,l两两相交”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 选 B.已知m,n,l两两相交,可以推出m,n,l在同一个平面,反之,已知m,n,l在一个 平面,可以推出m,n,l两两相交
10、,或者mn,l与m,n相交等多种情况,故 “m,n,l在同一平面” 是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件. 例 8.(2020全国卷文理科T16)设有下列四个命题: p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行. p4:若直线l平面,直线m平面,则ml. 则下述命题中所有真命题的序号是 . p1p4 p1p2 p2p3 p3p4 【解析】 对于命题p1,可设l1与l2相交,这两条直线确定的平面为;若l3与l1相交,则交点 A在平面内,同理,l3与l2的交点B也在平面内, 所以,AB平面,即l3平
11、面,命题p1为真命题;对于命题p2,若三点共线,则过这三个点 的平面有无数个,命题p2为假命题;对于命题p3,空间中两条直线相交、平行或异面,命题p3 为假命题;对于命题p4,若直线m平面,则m垂直于平面内所有直线,因为直线l平面 ,所以直线m直线l,命题p4为真命题.综上可知,p1p4为真命题,p1p2为假命题,p2 p3为真命题,p3p4为真命题.答案: 例 8.(2020浙江宁波高三)设三棱锥VABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱 VA上的点(不含端点), 记直线PB与直线AC所成角为, 直线PB与平面ABC所成角为 ,二面角P ACB的平面角为,则( ) A, B, C, D,
12、 【答案】B 【解析】 方法 1: 如图G为AC中点,V在底面ABC的投影为O, 则P在底面投影D在线段AO上, 过D作DE垂直AE,易得/PEVG,过P作/PFAC交VG于F,过D作/DHAC, 交BG于H,则,BPFPBDPED ,则 coscos PFEGDHBD PBPBPBPB , 即,tantan PDPD EDBD , 即y , 综上所述,答案为 B. 方法 2:由最小角定理 ,记VAB C的平面角为(显然 ),由最大角定理 ,故选 B. 方法 3:(特殊位置)取VABC为正四面体,P为VA中点,易得 33322 2 cossin,sin,sin 6633 ,故选 B. 例 9(
13、2021 湖南长沙高三)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PA 平 面ABCD,PAAB,点E为PA的中点,则下列判断正确的是( ) APB与CD所成的角为60 BBD 平面PAC CPC平面BDE D :1:4 B CDEP ABCD VV 【答案】BCD 【详解】对 A,底面ABCD是正方形,/AB CD,则PBA即为PB与CD所成的角, PA 平面ABCD,PAAB,PAAB,45PBA,故 A 错误;对 B,连 接AC, 底面ABCD是正方形,BDAC,PA 平面ABCD,BD 平面ABCD, PABD,PAACAQI,BD 平面PAC, 故 B 正确; 对 C, 设B
14、 DA C O, 连接OE, 则O是AC中点, 又点E为PA的中点,/PC OE,OE 平面BDE,PC 平面BDE,PC平面BDE,故 C 正确;对 D, 1 3 B CDEE BCDBCD VVSEA , 11 224 33 P ABCDABCDBCDB CDE VSPASEAV ,:1:4 B CDEP ABCD VV ,故 D 正确. 例 10(2021 江苏省新海高级中学高三)如图直角梯形ABCD中,/AB CD,ABBC, 1 1 2 BCCDAB,E为AB中点以DE为折痕把ADE折起,使点A到达点P的 位置,且3PC 则( ) A平面PED 平面PCD BPCBD C二面角PDC
15、B的大小为 3 DPC与平面PED所成角的正切值为 2 2 【答案】ABD 【详解】如图,连接,EC BD,则 2EC ,又3PC ,1PE ,所以PECV中有 222 PCPEEC ,所以PEEC.对于 A.由题意可得PEDE,又PEEC, ECDEE,,EC DE 平面CDE,所以PE 平面CDE,所以PEBE,又 BEDE,PEDEE, ,PE DE 平面PDE, 所以BE 平面PDE, 因为 /BE CD, 所以CD平面PDE,因为CD平面PCD,所以平面PED 平面PCD,故 A 正确; 对于 B.由 A 得PE 平面CDE,又BDCE,由三垂线定理可得PCBD(平面内一条 线和射影
16、垂直,就和斜线垂直),故 B 正确;对于 C.由 A 得CD平面PDE,根据二面角 定义可得PDE就是二面角PDCB的平面角,易得 4 PDE ,故 C 不正确; 对于 D. 由 A 得CD平面PDE,所以CPD就是斜线PC与平面PED所成的角,易得 2PD , 12 tan 22 CD CPD PD ,故 D 正确. 例 11.(2020全国卷高考文科T19)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,ABC 是底面的内接正三角形,P为DO上一点,APC=90. (1)证明:平面PAB平面PAC; (2)设DO=,圆锥的侧面积为,求三棱锥P-ABC的体积. 【解析】(1)由题设可知,PA=PB
17、=PC.由于ABC是正三角形,故可得PACPAB. PACPBC.又APC =90,故APB=90,BPC=90.从而PBPA,PBPC,故PB平面 PAC,因为PB在平面PAB内,所以平面PAB平面PAC. (2)设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题设可得rl=,l 2-r2=2.解得 r=1,l=, 从而AB=.由(1)可得PA 2+PB2=AB2,故 PA=PB=PC=. 所以三棱锥P-ABC的体积为 PAPBPC= =. 例 12.(2020 全国卷文科 T20)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C 是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM
18、上一点.过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F. (1)证明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F; (2)设O为A1B1C1的中心,若AO=AB=6,AO平面EB1C1F,且MPN= ,求四棱锥B-EB1C1F的体 积. 【解析】(1)因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MNBB1,又AA1BB1,所以MNAA1, 在等边ABC中,M为BC的中点,则BCAM,又因为侧面BB1C1C为矩形,所以BCBB1, 因为MNBB1,所以MNBC,由MNAM=M,MN,AM平面A1AMN,所以BC平面A1AMN, 又因为B1C1BC,且B1C1平面ABC,BC平面ABC,所以B1C1平
19、面ABC,又因为B1C1平面EB1C1F, 且平面EB1C1F平面ABC=EF,所以B1C1EF ,所以EFBC,又因为BC平面A1AMN, 所以EF平面A1AMN,因为EF平面EB1C1F,所以平面EB1C1F平面A1AMN. (2)过M作PN的垂线,交点为H,如图: 因为AO平面EB1C1F,AO平面A1AMN,平面A1AMN平面EB1C1F=NP,所以AONP, 又因为NOAP,所以AO=NP=6,AP=ON,因为O为A1B1C1的中心, 所以ON=A1C1sin = 6sin =,故:AP=ON=,则AM=3AP=3, 因为平面EB1C1F平面A1AMN,平面EB1C1F平面A1AMN
20、=NP,MH平面A1AMN, 所以MH平面EB1C1F,又因为在等边ABC中,EFBC,所以=,即EF=2, 由(1)知,四边形EB1C1F为梯形,所以=NP=6=24, 所以=h,h为M到PN的距离MH=2 sin =3,所以V= 243=24. 例 13(2021 安徽高三)如图,在直四棱柱 1111 ABCDABC D中,底面ABCD是梯形, ,/AB CD ABAD ,22CDABAD (1)求证:BD 平面 1 BCC; (2)在线段 11 C D上是否存在一点 E,使 /AE面 1 BC D若存在,确定点 E 的位置并证明; 若不存在,请说明理由 【答案】(1)证明见解析(2)存在
21、,点E是 11 C D的中点,证明见解析 【详解】(1)因为 1 AA 底面ABCD,所以 1 CC 底面ABCD,因为BD 底面ABCD , 所以 1 CCBD, 因为底面ABCD是梯形,/ABDC,90BAD, 22CDABAD,设1AB ,则1AD ,2CD 所以 2BD , 2BC , 所以在BCD中, 222 BDBCCD,所以 90CBD,所以BDBC, 又因为 1 CCBD,且 1 CCBCC,所以BD 平面 1 BCC. (2)存在点E是 11 C D的中点,使/ /AE平面 1 BDC 证明如下:取线段 11 C D的中点为点E,连结AE,如图, 所以 11/ / C DCD
22、,且 1 1 2 C PCD ,因为/ABCD, 1 2 ABCD,所以 1 / /C EAB,且 1 C EAB,所以四边形 1 ABC E是平行四边形 所以 1 / /AECB 又因为 1 BC 平面 1 BDC,AE 平面 1 BDC,所以/ /AE平面 1 BDC 【压轴训练】【压轴训练】 1(2021 宁夏长庆高级中学高三)设ab、是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,则 下列正确的个数为( ) 若 ,ab a ,则/b;若,/aa,则; 若,则/a;若,则 A1 B2 C3 D4 【答案】B 【详解】对于.若,ab a,当b时有/b,故错误;对于.若,/aa, 根据面面垂直判定
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2021年高考数学压轴讲与练 专题16 几何体的几何特征与点线面关系解析版 2021 年高 数学 压轴 专题 16 几何体 几何 特征 点线 关系 解析
链接地址:https://www.77wenku.com/p-179102.html