2021年高考数学压轴讲与练 专题15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题(原卷版)
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1、专题 15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考试题,高考对圆锥曲线的考查,出现一些与其它知识交汇的题目,如 与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上, 重点说明求解此类问题的方法 规律. 一、 与平面向量交汇问题主要体现在以下两个方面: 一是用向量的数量积解决有关角的问题; 二是用向量的坐标表示解决共线问题 (1)用向量的数量积解决有关角的问题,其步骤是:先写出向量坐标式a(x1,y1),b(x2, y2),再用向量数量积的坐标公式 cos x1x2y1y2 x 2 1y 2 1x 2
2、2y 2 2求角 (2)当a,b不共线时,有a,b为:直角ab0;钝角ab0(且a,b不同向) (3)解题时,利用向量关系列出点之间的方程是关键 二、在涉及最值、范围问题时,往往与不等式、函数、导数等相结合.基本解题思路是构建 不等式,创造应用基本不等式的条件;构建函数关系,应用导数研究函数的单调性、极(最) 值等. 【压轴典例】【压轴典例】 例 1(2020 上海高三专题练习)设 1 F, 2 F为曲线 22 1: 1 62 xy C的焦点,P是曲线 2 2 2: 1 3 x Cy与 1 C的一个交点,则 12 12 | PF PF PFPF 的值为( ) A 1 4 B 1 3 C 2 3
3、 D 1 3 例 2(2020 江苏南京市 高三)光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另 一个焦点; 光线从双曲线的一个焦点发出, 被双曲线反射后的光线等效于从另一个焦点射出. 如图, 一个光学装置由有公共焦点 12 ,F F的椭圆 与双曲线 构成, 现一光线从左焦点1 F发 出,依次经过 与 反射,又回到了点1, F历时 1 t秒;若将装置中的 去掉,此光线从点1 F 发出, 经 两次反射后又回到了点 1, F历时 2 t秒; 若 21 6 ,tt 则 与 的离心率之比为( ) A1: 2 B1:2 C2:3 D3:4 例 3.(2020 浙江温州中学高三)设点M是长方体 11
4、11 ABCDABC D的棱AD的中点, 1 4AAAD,5AB,点P在面 11 BCC B上,若平面 1 D PM分别与平面ABCD和平面 11 BCC B所成的锐二面角相等,则P点的轨迹为( ) A.椭圆的一部分 B.抛物线的一部分 C.一条线段 D.一段圆弧 例 4.(2020 广州市天河中学)(多选)已知椭圆 22 22 1(0) xy Mab ab :,双曲线 22 22 1. xy N mn :若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为 一个正六边形的顶点,下列结论正确的是( ) 参考数据(21.414, 3 1.74) A椭圆的离心率31e B双曲
5、线的离心率2e C椭圆上不存在点 A 使得 12 0AF AF D双曲线上存在不同的四个点 Bi(i=1,2,3,4),使得 12ii BFBF 例 5.(2020四川石室中学高三)设双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左,右顶点为 , ,A B P是双曲线上不同于,A B的一点,设直线,AP BP的斜率分别为 ,m n,则当 2 323 lnln 3 b mnmnmn a 取得最小值时,双曲线 C 的离心率为( ) A. 31 2 B. 5 2 C. 3 D. 5 例 6(2020 全国高三专题练习)已知点 P 在曲线 C: 2 1 2 yx上,曲线 C 在点 P 处的切线
6、为 l,过点 P 且与直线l垂直的直线与曲线 C 的另一交点为 Q,O 为坐标原点,若 OPOQ, 则点 P 的纵坐标为_ 例 7(2020 上海浦东新区 高三)已知椭圆 1: C 2 2 1 4 x y, 1 F、 2 F为 1 C的左、右焦点. (1)求椭圆 1 C的焦距; (2)点 2 ( 2 ,) 2 Q为椭圆 1 C一点,与OQ平行的直线l与椭圆 1 C交于两点 A、B,若QAB 面积为1,求直线l的方程; (3)已知椭圆 1 C与双曲线 22 2 1:Cxy在第一象限的交点为(,) MM M xy, 椭圆 1 C和双曲 线 2 C上满足| | M xx的所有点( , )x y组成曲
7、线C若点N是曲线C上一动点,求 12 NF NF的取值范围 例 8(2020 上海市七宝中学高三)已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 过点(3, 2)M,且右焦点为 (2,0)F. (1)求双曲线C的方程; (2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于 ,A B两点,交y轴于点P,若 , ,求证:mn为定值. (3)在(2)的条件下,若点Q是点P关于原点O的对称点,求证:三角形QAB的面积 23 10 QAB S; 例 9(2020 沙坪坝区 重庆八中高三)动点 P 在圆 x2y22 上,过点 P 作 y 轴的垂线,垂足 为 H,点 E 满足2PHEH,设点 E 的轨迹为曲线 C1. (
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