2021年高考数学压轴讲与练 专题14 圆锥曲线中的探索性问题(解析版)
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1、专题 14 圆锥曲线中的探索性问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考试题,高考对圆锥曲线的考查,一般设置一大一小两道题目,主要考 查以下几个方面:一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义,与椭圆的焦点三角形结合,解决 椭圆、三角形等相关问题;二是考查圆锥曲线的标准方程,结合基本量之间的关系,利用待 定系数法求解;三是考查圆锥曲线的几何性质,小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质; 四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题,综合性较强,往往与向量结合,涉及方程组 联立,根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直 线、存在性和探索性问题等. 本专题在分析研究近几年
2、高考题及各地模拟题的基础上, 重点说明求解存在性和探索性 问题等. 1. 探究性问题求解的思路及策略 (1)思路:先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在;若结论不正确,则不 存在 (2)策略:当条件和结论不唯一时要分类讨论; 当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件 在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别 2.解决存在性问题的一些技巧: (1)特殊值(点)法:对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况,解得所求要素的必要条 件,然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立. (2)核心变量的选取:因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素,所
3、以通常以该要素作 为核心变量,其余变量作为辅助变量,必要的时候消去. (3)核心变量的求法: 直接法:利用条件与辅助变量直接表示出所求要素,并进行求解 间接法:若无法直接求出要素,则可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变 量的方程(组),运用方程思想求解. 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020新高考全国卷)已知椭圆C: + =1(ab0)的离心率为,且过点A(2,1). (1)求C的方程; (2)点M,N在C上,且AMAN,ADMN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值. 【解析】(1)由题意得 + =1,= ,解得a 2=6,b2=3.所以 C的方程为 + =1.
4、 (2)设M(x1,y1),N(x2,y2).若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入 + =1 得(1+2k 2)x2+4kmx+2m2-6=0.于是 x1+x2=-,x1x2=. 由AMAN知=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0, 可得(k 2+1)x 1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1) 2+4=0. 将代入上式可得(k 2+1) -(km-k-2)+(m-1) 2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0. 因为A(2,1)不在直线MN上,所以 2k+m-10,故 2k+3m+1=0,k1(A(2,1)不在直线MN
5、上). 于是MN的方程为y=k- (k1).所以直线MN过点P. 若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).由=0 得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0. 又 + =1,可得 3-8x1+4=0.解得x1=2(舍去),x1=.此时直线MN过点P. 令Q为AP的中点,即Q.若D与P不重合,则由题设知AP是 RtADP的斜边, 故|DQ|= |AP|=.若D与P重合,则|DQ|= |AP|. 综上,存在点Q,使得|DQ|为定值. 例 2(2021 江苏无锡市 高三)已知椭圆 22 22 :10,0 xy Cab ab 过点(2, 1) ,离心率为 3 2 ,抛物线 2 1
6、6yx 的准线 l 交 x 轴于点 A,过点 A 作直线交椭圆 C 于 M,N (1)求椭圆 C 的标准方程和点 A 的坐标; (2)若 M 是线段 AN 的中点,求直线MN的方程; (3)设 P,Q 是直线 l 上关于 x 轴对称的两点,问:直线 PM 于 QN 的交点是否在一条定直线 上?请说明你的理由 【答案】(1) 22 1 82 xy ,4,0A;(2) 7 (4) 6 yx ;(3)PM与QN的交点恒在直线 2x上,理由见解析. 【详解】(1)由题意,椭圆 22 22 :10,0 xy Cab ab 过点(2, 1) ,离心率为 3 2 , 可得 22 41 1 ab 且 3 2
7、c e a ,又由 222 cab,解得 22 8,2ab,即椭圆C的方程 为 22 1 82 xy ,又由抛物线 2 16yx ,可得准线方程为:4l x ,所以4,0A. (2)设 00 ,N x y,则 00 4 , 22 xy M ,联立方程组 22 00 2 2 0 0 1 82 4 1 328 xy xy , 解得 00 7 1, 2 xy , 当 577 ,(1,) 242 MN 时,可得直线 7 :(4) 6 MN yx ; 当 577 ,(1,) 242 MN 时,可得直线 7 :(4) 6 MN yx;所以直线MN的方程为 7 (4) 6 yx . (3)设4, ,4,Pt
8、Qt,可得:4MN xky,设 1122 ,M x yN x y 联立方程组 22 4 480 xky xy ,整理得 22 4880kyky , 所以 1212 22 88 , 44 k yyy y kk ,则 1212 yyky y , 又由直线 111 11 4 : 44 yttxy PMyx xx , 222 22 4 : 44 ytytx QN yx xx ,交点横坐标为 1212 12 24 2 ky yyy x yy ,所以PM与QN的交点恒在直线2x上. 例 3(2021 上海高三)如图,已知圆 2 22 1: (0) 2 r xyrr 和双曲线 2 2 2 2 :1(0) y
9、 xb b ,记 1 与y轴正半轴、x轴负半轴的公共点分别为A、B,又记 1 与 2 在第一、第四象限的公共点分别为C、D. (1)若2r =,且B恰为2 的左焦点,求 2 的两条渐近线的方程; (2)若2r =,且 ( , 5)ACADm,求实数m的值; (3)若B恰为 2 的左焦点,求证:在x轴上不存在这样的点P,使得2.019PAPC. 【答案】(1)2yx ;(2) 102 5102 5 2 m ;(2)见解析 【详解】(1)由题意圆方程为 22 (1)4xy,令0y 得3x,(3,0)B ,即 3c , 22 3 12bca ,1a ,渐近线方程为2yx (2)由(1)圆方程为 22
10、 (1)4xy,(0,3) A ,设 1122 ( , ), ( ,)C x yD x y,由 22 2 2 2 (1)4 1 xy y x b 得, 2222 (1)220byb yb(*), 2 12 2 2 1 b yy b , 2 12 2 2 1 b y y b , 11221212 ( ,3)(,3)(,6)ACADx yx yxx yy ( , 5)m, 所以 12 65yy ,即 2 2 2 65 1 b b ,解得1b, 方程(*)为 2 2220yy,即 2 10yy , 15 2 y ,代入双曲线方程得 22 102 5 1 4 xy , ,C D在第一、四象限, 1 1
11、02 5 2 x , 2 102 5 2 x , 12 102 5102 5 2 mxx (3)由题意 3 (0,) 2 Ar, 3 (,0) 2 Br, 3 2 cr, 2222 3 1 4 bcar, 2 3 3 r , 设 1122 ( ,),(,)C x yD xy,由 2 22 2 2 2 2 1 r xyr y x b 得: 2 22 2 1 ()0 2 yr yr b , 222222 3 (1)0 4 byrb ybr b,由 22 3 1 4 br 得 2224 3 0 4 r yrbb, 解得 2 1 2b y r , 2 2 2 3 b y r , 22 2 1 1 22
12、 4 11 yb x br , 所以 2 2 2222 111 323 ()() 22 b ACxyrxr r 222 2 2 1 222 3 4() 44 4 14 br b x rrr , 2AC ,2PAPCAC,当且仅当, ,P A C三点共线时,等号成立, x轴上不存在点P,使得2.019PAPC 例 4 (2020 湖北武汉高三)设O为坐标原点, 动点M在椭圆E: 22 1 42 xy 上, 过点M作 x轴的垂线,垂足为N,点P满足 2NPNM . (1)求点P的轨迹方程; (2)设()1,0A,在x轴上是否存在一定点B,使2BPAP总成立?若存在,求出B点坐 标;若不存在,说明理
13、由. 【答案】(1) 22 4xy; (2) 存在点4,0B满足条件. 【解析】 (1)设,P x y, 11 ,M x y,则 1,0 N x,M在椭圆E上, 22 11 1 42 xy 由 2NPNM 知: 1 1 2 xx yy ,即: 1 1 2 2 xx yy ,代入得: 22 4xy 即点P的轨迹方程为: 22 4xy (2)假设存在点,0B m满足条件,设,P x y,由2BPAP得: 22 22 21xmyxy ,即: 222 33284xymxm 此方程与(1)中表示同一方程,故: 2 280 412 m m ,解得:4m 存在点4,0B满足条件。 例 5(2020 河北邯郸
14、高三)设椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 的左顶点A在抛物线 2 2: 8Cyx的准线上,F是椭圆 1 C的右焦点,且椭圆 1 C的焦距为 2,过点F且斜率不为 0 的直线l与椭圆 1 C交于D,E两点,直线AD和AE分别与直线4x交于点M,N (1)求椭圆 1 C的方程; (2) 22 MFNF是否存在最小值,若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由 【答案】(1) 22 1 43 xy ;(2)存在,36 【详解】 (1)由题意, 抛物线 2 2: 8Cyx的准线为2x, 椭圆左顶点A在抛物线 2 2: 8Cyx 的准线上,所以2,0A ,2a,椭圆 1 C的焦距为 2,所
15、以22c ,所以1c,所以 222 3bac,所以椭圆 1 C的方程为 22 1 43 xy (2) 22 MFNF存在最小值为 36,理由如下:设4,Mm,4,Nn, 00 ,D x y,直线 4x与x轴交点为4,0P,易知0m,0n,直线AM的方程为2 6 m yx, 联立得 22 2 6 1 43 m yx xy ,整理得 2222 27441080mxm xm , 则 2 222 44 2741080mmm 成立,由 2 0 2 4108 2 27 m x m , 解得 2 0 2 542 27 m x m ,所以 00 2 18 2 627 mm yx m ,所以 2 22 5421
16、8 , 2727 mm D mm , 当3m 时, 2 2 542 1 27 m m ,即DEx轴,由椭圆的对称性可得3n , 即3MPFPNP,又因为3PF ,90MPFNPF,所以 45MFPNFP,90MFN,此时 222 36MFNFMN, 当3m 时,3n ,直线FD的斜率 2 22 2 18 0 6 27 5429 1 27 FD m m m k mm m ,同理 2 6 9 FE n k n , 因为DE过点F,所以 22 66 99 mn mn ,所以9mn,3,FMm,3,FNn, 90FM FNmn ,所以90MFN, 222 MFNFMN,3m 且3n , 所以22 96
17、MNMPNPmnmn, 222 36MFNFMN, 综上可知, 22 MFNF的最小值为 36 例 6.(广东省华南师范大学附属中学高三)已知椭圆的离心率为 , 且点在椭圆 上 (1)求椭圆 的方程; (2)过点任作一条直线 , 与椭圆 交于不同于 点的 , 两点, 与直线 交于 点,记直线、的斜率分别为、试探究 与的关系,并证明你的结论 【答案】(1);(2)见解析 【解析】(1)因为椭圆的离心率为 ,所以, 因为,所以故可设椭圆 的方程为:, 因为点在椭圆 上,所以将其代入椭圆 的方程得 所以椭圆 的方程为 (2)依题意,直线 不可能与 轴垂直,故可设直线 的方程为:, 即,为 与椭圆 的
18、两个交点 将代入方程化简得: 所以, 所以 又由,解得, 即 点的坐标为,所以 因此,与的关系为:. 例 7(2020 上海市南洋模范中学高三)已知椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab :的右焦点 为 F(1,0),且点 3 (1, ) 2 P在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过椭圆 22 1 2 2 :1 5 3 xy C a b 上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 22 4 : 3 O xy的两条切线, 切点分别为 M,N(M,N 不在坐标轴上),若直线 MN 在 x 轴,y 轴上的截距分别为 m,n, 证明: 22 11 3mn 为定值; (3)若 12 ,
19、P P是椭圆 22 2 22 3 :1 xy C ab 上不同的两点, 12 PPx轴,圆 E 过 12 ,P P且椭圆 2 C上 任意一点都不在圆 E 内,则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆.试问:椭圆 2 C是否存在过左焦点 1 F的内切圆?若存在,求出圆心 E 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) 22 1 43 xy ;(2)证明见解析;(3)存在, 3 ,0 2 . 【详解】(1)由题意得,1c.所以 22 1ab,又点 3 1, 2 P 在椭圆C上,所以 22 19 1 4ab ,解 22 4,3ab,所以椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy ; (2)由(1)知, 2
20、2 1 3 1 44 :C xy ,设点 112233 ,Q x yM x yN x y 则直线QM的方程为 22 4 3 x xy y,直线QN的方程为 33 4 3 x xy y, 把点Q的坐标代入得 2 121 3 131 4 3 4 3 x xy y x xy y ,所以直线MN的方程为 11 4 3 x xy y 令0y ,得 1 4 3 m x ,令0 x,得 1 4 3 n y .所以 11 44 , 33 xy mn ,又点Q在圆 1 C上. 所以 22 44 34 33mn , 22 113 34mn ,为定值; (3)由椭圆的对称性,不妨设 12 ( , ),( ,)P m
21、 n P mn,由题意知,点E在x轴上, 设点( ,0)E t,则圆E的方程为 2222 ()()xtymtn 由椭圆的内切圆的定义知,椭圆上的点到点E的距离的最小值是 1 PE, 设点( , )M x y是椭圆 2 C上任意一点,则 22222 3 |()21 4 MExtyxtxt, 当x m 时, 2 |ME最小,所以 24 3 3 2 tt m ,假设椭圆 2 C存在过左焦点 1 F的内 切圆, 则 222 (3)()tmtn, 又点 1 P在椭圆 2 C上, 所以 2 2 1 4 m n , 由得 3 2 t 或t 3 ,当t 3 时, 44 3 2 33 t m ,不合题意, 舍去
22、,且经验证, 3 2 t 符合题意,综上,椭圆 2 C存在过左焦点F的内切圆,圆心E的 坐标是 3 ,0 2 . 例 8.(江西省新余市第四中学)已知 为椭圆的右焦点,点 在 上,且轴. (1)求 的方程; (2)过 的直线 交 于两点,交直线于点判定直线的斜率是否构成等 差数列?请说明理由. 【答案】(1) ;(2) 直线的斜率成等差数列 【解析】() 因为点在 上,且轴,所以设椭圆 左焦点为 ,则 ,中,所以 所以, 又,故椭圆 的方程为. () 由题意可设直线的方程为,令得,的坐标为 由得, 设,则有, 记直线的斜率分别为, 从而, 因为直线的方程为,所以, 所以 代入得,又,所以, 故
23、直线的斜率成等差数列。 例 9.(2020云南师大附中高三)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 , 短袖 长为 4. (1)求椭圆C的标准方程. (2)设直线l过点(2,0)且与椭圆C相交于不同的两点A、B,直线6x与x轴交于点D,E是 直线6x上异于D的任意一点, 当 0AE DE 时, 直线BE是否恒过x轴上的定点?若过, 求出定点坐标,若不过,请说明理由. 【答案】(1) 22 1 124 xy (2)直线BE恒过x轴上的定点(4,0),详见解析 【解析】 (1)由题意得 222 6 3 2 c a b abc .解得2 3,2ab, 所以椭圆C的标
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