2021年高考数学压轴讲与练 专题11 圆锥曲线的几何性质与应用(原卷版)
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1、专题 11 圆锥曲线的几何性质与应用 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题, 围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题, 逐渐呈现 “多样化” , 即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、与平面向 量相结合问题等. 在上述各类压轴题型中, 圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型, 也是历年高考考查的热 点,解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围,其关键是建立恰当的等量 或不等量关系,以过渡到含有离心率 e 的等式或不等式使问题获解 1、求离心率的方法:求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数, ,a b c的比例关系(只需找 出其中两个参数的
2、关系即可),方法通常有两个方向: (1)利用几何性质:如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形), 那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系,进而两条焦半径与a有关,另一条边为焦距. 从而可求解 (2)利用坐标运算: 如果题目中的条件难以发掘几何关系, 那么可考虑将点的坐标用, ,a b c进 行表示,再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题:在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑: (1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求:例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有 要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点” ,则可考虑该点坐标用, ,a b c表示,且点坐标的范 围就是
3、求离心率范围的突破口 (2)若题目中有一个核心变量,则可以考虑离心率表示为某个变量的函数,从而求该函数的 值域即可 (3)通过一些不等关系得到关于, ,a b c的不等式,进而解出离心率 注:在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求:椭圆:0,1e, 双曲线:1,+e 本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法. 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020全国卷理科T11)设双曲线 C: - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2, 离心率为.P 是 C 上一点,且 F1PF2P.若PF1F2的面积为 4,则 a= ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 例 2.(2
4、020北京高考T7)设抛物线的顶点为 O,焦点为 F,准线为 l,P 是抛物线上异于 O 的 一点,过 P 作 PQl 于 Q,则线段 FQ 的垂直平分线 ( ) A.经过点 O B.经过点 P C.平行于直线 OP D.垂直于直线 OP 例 3.(2020全国卷高考理科T4)已知 A 为抛物线 C:y 2=2px(p0)上一点,点 A 到 C 的焦 点的距离为 12,到 y 轴的距离为 9,则 p= ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 例 4.(2020 全国卷高考文科 T11)设 F1,F2是双曲线 C:x 2- =1 的两个焦点,O 为坐标原点, 点 P 在 C 上且|OP|=2,则
5、PF1F2的面积为 ( ) A. B.3 C. D.2 例 5.(2020 全国卷文科 T7 理科 T5)设 O 为坐标原点,直线 x=2 与抛物线 C:y 2=2px(p0) 交于 D,E 两点,若 ODOE,则 C 的焦点坐标为 ( ) A. B. C.(1,0) D.(2,0) 例 6.(2020天津高考T7)设双曲线 C 的方程为 - =1(a0,b0),过抛物线 y 2=4x 的焦点 和点(0,b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与 l 垂直,则双曲线 C 的方 程为 ( ) A. - =1 B.x 2- =1 C. -y2=1 D.x 2-y2=1 例
6、7.(2019全国高考真题)设F为双曲线C: 22 22 1 xy ab (a0,b0)的右焦点,O为坐标 原点,以OF为直径的圆与圆x 2+y2=a2交于 P、Q两点若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( ) A 2 B3 C2 D5 例 8.(2020全国卷高考理科T15)已知 F 为双曲线 C: - =1(a0,b0)的右焦点,A 为 C 的右顶点,B 为 C 上的点,且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3,则 C 的离心率为 . 例 9.(2020全国卷文科T14)设双曲线 C: - =1 (a0,b0)的一条渐近线为 y=x,则 C 的离心率为 . 例 10.(2019全国
7、高考真题(理)已知双曲线C: 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点分别为 F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点若 1 FAAB, 12 0FB F B, 则C的离心率为_ 例 11. (2019浙江高考真题)已知椭圆 22 1 95 xy 的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴 的上方,若线段PF的中点在以原点O为圆心,OF为半径的圆上,则直线PF的斜率是 _. 例 12.(2019全国高考真题(理)设 12 FF,为椭圆 22 :+1 3620 xy C的两个焦点,M为C上 一点且在第一象限.若 12 MFF 为等腰三角形,则M的坐标为_. 【压轴训练
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