2021年高考数学压轴讲与练 专题11 圆锥曲线的几何性质与应用(解析版)
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1、专题 11 圆锥曲线的几何性质与应用 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题, 围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题, 逐渐呈现 “多样化” , 即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、与平面向 量相结合问题等. 在上述各类压轴题型中, 圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型, 也是历年高考考查的热 点,解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围,其关键是建立恰当的等量 或不等量关系,以过渡到含有离心率 e 的等式或不等式使问题获解 1、求离心率的方法:求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数, ,a b c的比例关系(只需找 出其中两个参数的
2、关系即可),方法通常有两个方向: (1)利用几何性质:如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形), 那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系,进而两条焦半径与a有关,另一条边为焦距. 从而可求解 (2)利用坐标运算: 如果题目中的条件难以发掘几何关系, 那么可考虑将点的坐标用, ,a b c进 行表示,再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题:在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑: (1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求:例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有 要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点” ,则可考虑该点坐标用, ,a b c表示,且点坐标的范 围就是
3、求离心率范围的突破口 (2)若题目中有一个核心变量,则可以考虑离心率表示为某个变量的函数,从而求该函数的 值域即可 (3)通过一些不等关系得到关于, ,a b c的不等式,进而解出离心率 注:在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求:椭圆:0,1e, 双曲线:1,+e 本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法. 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020全国卷理科T11)设双曲线 C: - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2, 离心率为.P 是 C 上一点,且 F1PF2P.若PF1F2的面积为 4,则 a= ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】选
4、A.设 PF1=m,PF2=n,mn,= mn=4,m-n=2a,m 2+n2=4c2,e= = ,所以 a=1. 例 2.(2020北京高考T7)设抛物线的顶点为 O,焦点为 F,准线为 l,P 是抛物线上异于 O 的 一点,过 P 作 PQl 于 Q,则线段 FQ 的垂直平分线 ( ) A.经过点 O B.经过点 P C.平行于直线 OP D.垂直于直线 OP 【解析】选 B.因为点 P 在抛物线上,所以|PQ|=|PF|,所以 FQ 的垂直平分线经过点 P. 例 3.(2020全国卷高考理科T4)已知 A 为抛物线 C:y 2=2px(p0)上一点,点 A 到 C 的焦 点的距离为 12
5、,到 y 轴的距离为 9,则 p= ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 【解析】选 C.设抛物线的焦点为 F,由抛物线的定义知|AF|=xA+ =12,即 12=9+ ,解得 p=6. 例 4.(2020 全国卷高考文科 T11)设 F1,F2是双曲线 C:x 2- =1 的两个焦点,O 为坐标原点, 点 P 在 C 上且|OP|=2,则PF1F2的面积为 ( ) A. B.3 C. D.2 【解析】选 B.由已知,不妨设 F1(-2,0),F2(2,0),则 a=1,c=2,因为|OP|=2= |F1F2|,所以点 P 在以 F1F2为直径的圆上,即F1F2P 是以 P 为直角顶点的直角
6、三角形,故|PF1| 2+|PF 2| 2=|F 1F2| 2, 即|PF1| 2+|PF 2| 2=16,又|PF 1|-|PF2|=2a=2, 所以 4=|PF1|-|PF2| 2=|PF 1| 2+|PF 2| 2-2|PF 1|PF2|=16-2|PF1|PF2|,解得|PF1|PF2|=6, 所以= |PF1|PF2|=3. 例 5.(2020 全国卷文科 T7 理科 T5)设 O 为坐标原点,直线 x=2 与抛物线 C:y 2=2px(p0) 交于 D,E 两点,若 ODOE,则 C 的焦点坐标为 ( ) A. B. C.(1,0) D.(2,0) 【解析】选 B. 因为直线 x=
7、2 与抛物线 y 2=2px(p0)交于 D,E 两点,且 ODOE,根据抛物线的 对称性可以确定DOx=EOx= ,所以 D,代入抛物线方程 4=4p,求得 p=1,所以其焦点坐 标为. 例 6.(2020天津高考T7)设双曲线 C 的方程为 - =1(a0,b0),过抛物线 y 2=4x 的焦点 和点(0,b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与 l 垂直,则双曲线 C 的方 程为 ( ) A. - =1 B.x 2- =1 C. -y2=1 D.x 2-y2=1 【解析】 选 D.由题可知,抛物线的焦点为(1,0),所以直线 l 的方程为 x+ =1,即直线的斜
8、率为 -b,又双曲线的渐近线的方程为 y= x,所以-b=- ,-b =-1,因为 a0,b0,解得 a=1,b=1. 所以双曲线 C 的方程为 x 2-y2=1. 例 7.(2019全国高考真题)设F为双曲线C: 22 22 1 xy ab (a0,b0)的右焦点,O为坐标 原点,以OF为直径的圆与圆x 2+y2=a2交于 P、Q两点若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( ) A 2 B3 C2 D5 【答案】A 【解析】设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQx轴,又|PQOFc, |, 2 c PAPA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心| 2 c OA , 2 2 c c P ,又P 点在
9、圆 222 xya上, 22 2 44 cc a,即 22 22 2 ,2 2 cc ae a 2e 例 8.(2020全国卷高考理科T15)已知 F 为双曲线 C: - =1(a0,b0)的右焦点,A 为 C 的右顶点,B 为 C 上的点,且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3,则 C 的离心率为 . 【解析】依题可得,=3,而=,=c-a,即=3,变形得 c 2-a2=3ac-3a2,化简可 得,e 2-3e+2=0,解得 e=2 或 e=1(舍去). 例 9.(2020全国卷文科T14)设双曲线 C: - =1 (a0,b0)的一条渐近线为 y=x,则 C 的离心率为 . 【解
10、析】由双曲线方程 - =1 可得其焦点在 x 轴上,因为其一条渐近线为 y=x, 所以 =,e= =. 例 10.(2019全国高考真题(理)已知双曲线C: 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点分别为 F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点若 1 FAAB, 12 0FB F B, 则C的离心率为_ 【答案】2. 【解析】如图, 由 1 ,FAAB得 1 .F AAB又 12, OFOF得 OA 是三角形 12 FF B的中位线,即 22 / /,2.BFOA BFOA由 12 0FB F B ,得 121 ,FBF B OAF A则 1 OBOF有
11、1 AOBAOF,又 OA 与 OB 都是渐近线,得 21, BOFAOF又 21 BOFAOBAOF, 得 0 21 60 ,BOFAOFBOA 又渐近线 OB 的斜 率为 0 tan603 b a ,所以该双曲线的离心率为 22 1 ( )1 ( 3)2 cb e aa 例 11. (2019浙江高考真题)已知椭圆 22 1 95 xy 的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴 的上方,若线段PF的中点在以原点O为圆心,OF为半径的圆上,则直线PF的斜率是 _. 【答案】15 【解析】方法 1:由题意可知|=|2OFOM |=c=,由中位线定理可得 1 2| 4PFOM, 设( , )P x y
12、可得 22 (2)16xy,联立方程 22 1 95 xy ,可解得 321 , 22 xx (舍), 点P在椭圆上且在x轴的上方,求得 315 , 22 P ,所以 15 2 15 1 2 PF k 方法 2:焦半径公式应用 由题意可知|2OF |=|OM |=c=,由中位线定理可得 1 2| 4PFOM,即 3 4 2 pp aexx ,求得 315 , 22 P ,所以 15 2 15 1 2 PF k. 例 12.(2019全国高考真题(理)设 12 FF,为椭圆 22 :+1 3620 xy C的两个焦点,M为C上 一点且在第一象限.若 12 MFF 为等腰三角形,则M的坐标为_.
13、【答案】3, 15 【解析】由已知可得 22222 36,20,16,4abcabc , 112 28MFFFc 2 4MF 设点M的坐标为 0000 ,0,0 xyxy,则 1 2 1200 1 4 2 MF F SFFyy ,又 1 2 22 0 1 4824 15 ,44 15 2 MF F Sy ,解得 0 15y , 2 2 0 15 1 3620 x ,解得 0 3x ( 0 3x 舍去),M的坐标为 3, 15 【压轴训练】【压轴训练】 1(2021 浙江高三学业考试)如图,椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为 , ,F A B分别为 椭圆的上下顶点,P是椭圆
14、上一点,/ /,| |APBFAFPB,记椭圆的离心率为e,则 2 e ( ) A 2 2 B 171 8 C 1 2 D 151 8 【答案】B 【详解】0,0BbF c,则 BF b k c ,所以直线: b AP yxb c ,与椭圆方程联立 2222 20acxa cx ,所以点P的横坐标是 2 22 2a c x ac , 3 22 b y ac ,即 23 2222 2 , a cb P acac , 22 23 2 22 2222 2a cb PBaba acac ,整理为: 624426 4321ca ca ca ,两边同时除以 6 a得: 642 43210eee , 242
15、 1410eee , 2 10e ,所以 42 410ee ,得 2 117 8 e ,或 2 117 8 e (舍). 2(2020 山西大同市 大同一中高三)已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F,准线为 l, 过点 F且斜率为3的直线交抛物线于点M(M在第一象限),MNl,垂足为N,直线 NF交y轴于点D,若| 2 3MD ,则抛物线的方程是( ) A 2 yx B 2 2yx C 2 4yx D 2 8yx 【答案】C 【详解】由题意如图,过点F且斜率为3的直线交抛物线于点 (M M在第一象限),可知, 60NMF,MNl,垂足为N,直线NF交y轴于点D,准线与x轴的交点为A,
16、所以MNFM,则三角形NMF是正三角形,因为O是AF的中点,/ANOD,所以D 是NF的中点,所以MDNF,30DMF,| 2 3MD ,所以 | |4 cos30 MD MF ,则 | 4MN ,由三角形NMF是正三角形可知F在MN上的射影是MN是中点,所以 2AFBN,则 (1,0)F ,可得2p ,所以抛物线方程为: 2 4yx 3(2020天津高考模拟(理)已知 12 ,F F分别双曲线 222 33(0)xya a的左右焦点, 是P抛物线 2 8yax与双曲线的一个交点,若 12 12PFPF ,则抛物线的准线方程为 ( ) A.4x B.3x C.2x D.1x 【答案】C 【解析
17、】由题得双曲线的方程为 22 22 1 3 xy aa ,所以 2222 34,2caaaca . 所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得 12 2 12 12 ,6 2 PFPF PFa PFPFa . 联立双曲线的方程和抛物线的方程得 22 3830,(3 3 a xaxaxxa 舍)或. 由抛物线的定义得 6-a=3a-(-2a),所以 a=1,所以抛物线的准线方程为 x=-2,故选 C. 4(2020 蕉岭县蕉岭中学高三)(多选)设抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,以 F为圆心,|FA|为半径的圆交 l于 B,D 两点若ABD90 ,且A
18、BF 的 面积为 9 3,则( ) A|BF|3 BABF 是等边三角形 C点 F 到准线的距离为 3 D抛物线 C 的方程为 y26x 【答案】BCD 【详解】根据题意,作图如下: 因为|FA|为半径的圆交 l于 B,D 两点,所以| | |FAFB ,又| |FAAB,所以ABF为等 边三角形,B正确;ABD90 ,/AB x,过 F 作 FCAB 交于 C,则 C 为 AB 的中点,C 的横坐标为 2 p ,B 的横坐标为 2 p ,所以 A的横坐标为 3 ,| 2 2 p ABp, 22 33 49 3,3 44 ABC SABpp ,| | 26BFABp,所以 A不正确,焦 点到准
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