2021年高考数学压轴讲与练 专题10 数列与不等式的综合问题(原卷版)
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1、专题 10 数列与不等式的综合问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题, 考查常以数列的相关项以及关系式, 或数列的前 n 项和与第 n 项的 关系入手,结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开,求解数列的通项、前 n 项和,有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合数列与不等式的结合,一般有 两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等 式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用 放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法. 函数方法:即构造
2、函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关 于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式; 放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到; 比较方法:作差或者作商比较 【压轴典例】【压轴典例】 例 1(2020 全国高三专题练习)已知数列 n a是以1为首项,2为公差的等差数列, n b是 以1为首项,2为公比的等比数列,设 n nb ca , * 12 .,() nn TcccnN,则当 2019 n T 时,n的最小值是( ) A9 B10 C11 D12 例 2 (2021 浙江绍兴市 高三期末)设 n a是无穷数列, 若存在正整数k, 使得对任意 *
3、 nN, 均有 n kn aa ,则称 n a是间隔递增数列,k是 n a的间隔数.若 2 2020 n antn 是间隔递增数列,且最小间隔数是 3,则实数t的取值范围是( ) A45t B5t C56t D5t 例3.(2020江西师大附中高考模拟)数列 n a中的项按顺序可以排成如图的形式, 第一行1 项,排 1 a;第二行2项,从左到右分别排 2 a, 3 a;第三行3项,依此类推,设数列 n a 的前n项和为 n S,则满足2019 n S 的最小正整数n的值为( ) A20 B21 C26 D27 例 4(2020 长沙市 湖南师大附中高三)已知曲线 22 :20(1,2,) n
4、Cxnxyn.从点 ( 1,0)P 向曲线 n C引斜率为(0) nn k k 的切线 n l,切点为, nnn P xy.则下列结论正确的是 ( ) A数列 n x的通项为 1 n n x n B数列 n y 的通项为 21 1 n nn y n C当3n时, 13521 1 1 n n n x xxxx x D 1 2sin 1 nn nn xx xy 例 5 (2020 深圳实验学校高中部高三)设 n S为等比数列 n a的前n项和, 满足 1 3a , 且 1 a, 2 2a, 3 4a成等差数列,则下列结论正确的是( ) A 1 1 3 () 2 n n a B36 nn Sa C若
5、数列 n a中存在两项 p a , s a使得 3ps aaa,则 19 ps 的最小值为 8 3 D若 1 n n tSm S 恒成立,则mt的最小值为11 6 例 6. (2018江苏高考真题)已知集合 * |21,Ax xnnN, * |2 , n Bx xnN将 AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 n a记 n S为数列 n a的前n项和,则 使得 1 12 nn Sa 成立的n的最小值为_ 例 7(2020河南洛阳高三模拟)记首项为 11 (0)a a ,公差为d的等差数列 n a的前n项 和为 n S,若 1 21 2 a d ,且 1nnn SaS ,则实数的取值范围为_
6、 例 8(2019四川重庆南开中学高考模拟)在正项递增等比数列 n a中, 5 1a ,记 12 . nn Saaa, 12 111 . n n T aaa , 则使得 nn ST成立的最大正整数n为_ 例 9.(2020浙江高考T20)已知数列an,bn,cn中,a1=b1=c1=1, cn=an+1-an,cn+1=cn(nN *). ()若数列bn为等比数列,且公比 q0,且 b1+b2=6b3,求 q 与 an的通项公式; ()若数列bn为等差数列,且公差 d0,证明:c1+c2+cn1+ . 例 10.(2019浙江高考T20)设等差数列an的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3,数
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