2021年高考数学压轴讲与练 专题10 数列与不等式的综合问题(解析版)
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1、专题 10 数列与不等式的综合问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题, 考查常以数列的相关项以及关系式, 或数列的前 n 项和与第 n 项的 关系入手,结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开,求解数列的通项、前 n 项和,有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合数列与不等式的结合,一般有 两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等 式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用 放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法. 函数方法:即构造
2、函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关 于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式; 放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到; 比较方法:作差或者作商比较 【压轴典例】【压轴典例】 例 1(2020 全国高三专题练习)已知数列 n a是以1为首项,2为公差的等差数列, n b是 以1为首项,2为公比的等比数列,设 n nb ca , * 12 .,() nn TcccnN,则当 2019 n T 时,n的最小值是( ) A9 B10 C11 D12 【答案】B 【详解】 n a是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,21 n an,是以 1 为首
3、项, 2 为公比的等比数列, 1 2n n b , 1 12 12124 2nn nnbbb Tcccaaaaaaa 1 2 1 12 2 12 4 12 21 n 11 1 2 2 1 242222 1 2 n nn nnn , 而 +2+1 +1 +1 +12+ +022122 nnn nn TnTn ,所以数列 n T是单调递增数列, 且 10 9 92102132019T , 11 10 1022036 292 01T ,2019 n T , 1 222019 n n ,所以10n所以当 2019 n T 时,n 的最小值是 10 例 2 (2021 浙江绍兴市 高三期末)设 n a是
4、无穷数列, 若存在正整数k, 使得对任意 * nN, 均有 n kn aa ,则称 n a是间隔递增数列,k是 n a的间隔数.若 2 2020 n antn 是间隔递增数列,且最小间隔数是 3,则实数t的取值范围是( ) A45t B5t C56t D5t 【答案】A 【详解】若 n a 是间隔递增数列且最小间隔数是 3,则 222 ()()2020(2020)20 n kn aankt nkntnknktk , * nN成立, 则 2 (2)0kt k,对于3k 成立,且 2 (2)0kt k对于2k 成立,即 (2)0kt , 对于3k 成立, 且 (2) 0kt , 对于2k 成立,
5、所以23t, 且2 2t , 解得45t , 例3.(2020江西师大附中高考模拟)数列 n a中的项按顺序可以排成如图的形式, 第一行1 项,排 1 a;第二行2项,从左到右分别排 2 a, 3 a;第三行3项,依此类推,设数列 n a 的前n项和为 n S,则满足2019 n S 的最小正整数n的值为( ) A20 B21 C26 D27 【答案】B 【解析】第一行为4,其和为4,可以变形为: 1 2 32T ;第二行为首项为4,公比为 3的等比数列,共2项,其和为: 2 2 2 4 1 3 2 32 1 3 T ;第三行为首项为4,公比为3 的等比数列,共3项,其和为 3 3 3 4 1
6、 3 2 32 1 3 T ;依此类推:第n行的和: 2 32 n n T ; 则前6行共:1 2 3 4 5 621 个数前6行和为: 26267 21 2 322 322 322333123152172S 满足2019 n S ,而第六行的第6个数为: 5 4 3972,则 2 02 1 972 1200 2019SS 满足2019 n S 的最小正整数n的值为:21 例 4(2020 长沙市 湖南师大附中高三)已知曲线 22 :20(1,2,) n Cxnxyn.从点 ( 1,0)P 向曲线 n C引斜率为(0) nn k k 的切线 n l,切点为, nnn P xy.则下列结论正确的
7、是 ( ) A数列 n x的通项为 1 n n x n B数列 n y 的通项为 21 1 n nn y n C当3n时, 13521 1 1 n n n x xxxx x D 1 2sin 1 nn nn xx xy 【答案】ABD 【详解】 设直线:(1) nn lykx, 联立 22 20 xnxy, 得 2222 1220 nnn k xkn x k , 则由0 ,即 2 222 22410 nnn knkk ,得 21 n n k n (负值舍去) 所以可得 2 11 n n n nkn x kn , 21 1 1 nnn nn ykx n ,所以 AB 对; 因为 11 121 n
8、 n x xn ,因为 22 441nn,则 2 211 421 n nn ,即 2 2 2121 421 nn nn , 所以 2121 221 nn nn 13521 132113211 242352121 n nn x xxx nnn , 故 C 错;因为 11 211 nn nn xx ynx ,令( )2sinf xxx,( )12cosfxx .可得 f x在0, 4 上递减, 可知 2sinxx 在0, 4 上恒成立.又 11 2134n . 所以 11 2sin 2121nn 成立. 故 D 正确. 例 5 (2020 深圳实验学校高中部高三)设 n S为等比数列 n a的前n
9、项和, 满足 1 3a , 且 1 a, 2 2a, 3 4a成等差数列,则下列结论正确的是( ) A 1 1 3 () 2 n n a B36 nn Sa C若数列 n a中存在两项 p a , s a使得 3ps aaa,则 19 ps 的最小值为 8 3 D若 1 n n tSm S 恒成立,则mt的最小值为11 6 【答案】ABD 【详解】设等比数列 n a的公比为q,由 1 3a , 213 44aaa得 2 4 334 3qq , 解得 1 2 q ,所以 1 1 3 () 2 n n a , 1 3(1 () ) 1 2 2 1 () 1 2 1 () 2 n n n S ; 1
10、 111 36 1 ()66()63 ()63 222 nnn nn Sa ;所以 A,B 正确; 若 3ps aaa,则 2 3ps aaa, 112 2 111 () ps ps aaaqaqaq , 所以 114ps qqq ,所以 6ps ,则 1 5 p s 或 2 4 p s 或 4 2 p s 或 5 1 p s ,此时 1914 5ps 或 11 4 或 19 4 或 46 5 ;C 不正确, 1 22, 21 2 1 () 2 1 22, 2 n n n n n S n 为奇数 为偶数 , 当n为奇数时,(2,3 n S , 当n为偶数时, 3 ,2) 2 n S , 又 1
11、 n n yS S 关于 n S单调递增, 所以当n为奇数时, 13 8 ( , 2 3 n n S S ,当n为偶数时, 15 3 , ) 6 2 n n S S ,所以 8 3 m , 5 6 t ,所以 8511 366 mt ,D 正确, 例 6. (2018江苏高考真题)已知集合 * |21,Ax xnnN, * |2 , n Bx xnN将 AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 n a记 n S为数列 n a的前n项和,则 使得 1 12 nn Sa 成立的n的最小值为_ 【答案】27 【解析】设=2k n a,则 12 (2 1 1)+(2 2 1)+(2 21) 222
12、kk n S 11 221 212 21 2(1 2 ) 222 21 2 kk k kk ,由 1 12 nn Sa 得 2211 2115 22212(21),(2)20(2) 140,22 ,6 kkkkkk k 所以只需研究 56 22 n a是否有满足条件的解, 此时 25 (2 1 1)+(2 2 1)+(21) 222 n Sm 25 1 22m , +1 21 n am,m为等差数列项数,且16m. 由 25 12 2212(21),2450022,527mmmmmnm , 得满足条件的n最小值为27. 例 7(2020河南洛阳高三模拟)记首项为 11 (0)a a ,公差为d
13、的等差数列 n a的前n项 和为 n S,若 1 21 2 a d ,且 1nnn SaS ,则实数的取值范围为_ 【答案】 19 ,1 21 【解析】由 1nnn SaS ,得 11nnnn SSaa .因为 1 0a ,所以0d , 1 23 1 2 n aandnd .所以当111n时,0 n a ,当12n时,0 n a . (1)当111n时,由 1nn aa 得 1 2 11 223 nn nnn aadd aaan . 因为 2219 11 2232 12321n ,所以 19 21 . (2)当12n时,由 1nn aa 得 1 2 1 223 n n a an . 因为 2
14、11 223n ,所以1.综上所述,的取值范围是 19 ,1 21 . 例 8(2019四川重庆南开中学高考模拟)在正项递增等比数列 n a中, 5 1a ,记 12 . nn Saaa, 12 111 . n n T aaa , 则使得 nn ST成立的最大正整数n为_ 【答案】9 【解析】由题得 11 1 11(1) (1) (1) 1 1(1) 1 n nnn q q aqaqq qaq q ,因为数列是正项递增等比数,所以 1 0,1aq,所以 21 1 1 n a q .因为 5 1a ,所以 4428 111 1,a qaqaq , 所以 8190 1,9 nn qqqqn .所以
15、使得 nn ST成立的最大正整数n为 9. 例 9.(2020浙江高考T20)已知数列an,bn,cn中,a1=b1=c1=1, cn=an+1-an,cn+1=cn(nN *). ()若数列bn为等比数列,且公比 q0,且 b1+b2=6b3,求 q 与 an的通项公式; ()若数列bn为等差数列,且公差 d0,证明:c1+c2+cn0 得 q= ,所以 b n=,bn+2=, cn+1=cn=4cn,所以=4,所以cn是首项 c1=1,公比为 4 的等比数列,cn=4 n-1, 由 an+1-an=cn=4 n-1得 a n-a1=4 0+41+4n-2得 a n=. ()bn=1+(n-
16、1)d,则 bn+1 bn+2cn+1=bnbn+1cn=b1b2c1=1+d, 故 cn=.于是 c1+cn=1+ ,得证.例 例 10.(2019浙江高考T20)设等差数列an的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3,数列bn满足:对 每个nN *,S n+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列. (1)求数列an,bn的通项公式. (2)记cn=,nN *,证明:c 1+c2+cn2,nN *. 【解析】(1)设数列an的公差为d,由题意得a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d,解得a1=0,d=2. 从而an=2n-2,nN *.由 Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成
17、等比数列得(Sn+1+bn) 2=(S n+bn)(Sn+2+bn). 解得bn= (-SnSn+2).所以bn=n 2+n,nN*. (2)cn=,nN *.我们用数学归纳法证明. 当n=1 时,c1=02,不等式成立; 假设n=k时不等式成立,即c1+c2+ck2.那么,当n=k+1 时, c1+c2+ck+ck+12+2+2+=2+2(-)=2. 即当n=k+1 时不等式也成立. 根据和,不等式c1+c2+cn0,故B不正 确;又an是等差数列,0a1a2,2a2a1+a32,a2,即C正确; 若a10,则(a2a1)(a2a3)d 20,即 D不正确 4 (2020浙江杭州高三)已知等
18、差数列的前 项和是, 公差 不等于零, 若成 等比数列,则 A B C D 【答案】C 【解析】由成等比数列可得, 得(, 即,公差 不等于零, 5(2020山东高考模拟)已知正项等比数列 n a满足 543 2aaa,若存在两项 m a, n a, 使得 1 8 mn a aa,则 91 mn 的最小值为_ 【答案】2 【解析】 正项等比数列 n a满足 543 2aaa, 432 111 =+2aqaqaq, 整理, 得 2 10+2qq , 又0q ,解得, 1 2 q ,存在两项 m a, n a使得 1 8 mn aaa, 222 11 64 m n a qa , 整理,得8mn,
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