2021年高考数学压轴讲与练 专题09 数列中不等式恒成立问题(解析版)
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1、专题 09 数列中不等式恒成立问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题, 考查常以数列的相关项以及关系式, 或数列的前 n 项和与第 n 项的 关系入手,结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开,求解数列的通项、前 n 项和,有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合数列中不等式恒成立问题,是 数列不等式的综合应用问题的命题形式之一. 主要有两类: 一是证明不等式恒成立, 二是由 不等式恒成立确定参数的值(范围). 以数列为背景的不等式恒成立问题,或不等式的证明问 题,多与数列求和相联系,最后利用函数的单调性求解,或利用放缩法证明. 本专题通过例题说明此类问题解答规律与
2、方法. (1)数列与不等式的综合问题,如果是证明题,要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、 综合法、分析法、放缩法等;如果是解不等式,往往采用因式分解法或穿根法等 (2)如用放缩法证明与数列求和有关的不等式,一般有两种方法:一种是求和后再放缩;一 种是放缩后再求和放缩时,一要注意放缩的尺度,二要注意从哪一项开始放缩 【压轴典例】【压轴典例】 例 1 (2021 新疆高三其他模拟)若1x 是函数 43 12* ( )1 nnn f xaxa xaxnN 的极 值点,数列 n a满足 1 1a , 2 3a ,设 31 log nn ba ,记 x表示不超过x的最大整数. 设 1 22 31 20
3、2020202020 n n n S bbb bb b ,若不等式 n St对n N恒成立,则实数t的最大 值为( ) A2020 B2019 C2018 D1010 【答案】D 【详解】 32 12 ( )43 nnn fxaxa xa , 12 (1)430 nnn faaa ,即有 211 3 nnnn aaaa , 1nn aa 是以 2 为首项 3 为公比的等比数列, 1 1 2 3n nn aa , 120 11112211 2 32 32 313 nnn nnnnnnn aaaaaaaaaa 31 log nn ban 1 22 311 202020202020111 2020
4、1 22 3(1) n n bbb bb bn n 111112020 2020 1 22311 n nnn ,又 2020 1 n y n 为增函数,当1n 时, 1010 n S ,10102020 n S,若 n St恒成立,则t的最大值为 1010. 例 2(2020 全国高三专题练习)(多选)已知数列 n a中, 1 1a , 1 11 1 nn aa nn , * nN .若对于任意的1,2t,不等式 22 212 n a tataa n 恒成立,则实数a 可能为( ) A4 B2 C0 D2 【答案】AB 【详解】 1 11 nn n aa nn , 1 111 1(1)1 nn
5、 aa nnn nnn , 则 1 11 11 nn aa nnnn , 12 11 1221 nn aa nnnn , 21 1 1 1 22 aa ,上述式子累加可得: 1 1 1 n a a nn , 1 22 n a nn , 22 2122tataa 对于任意的1,2t恒成立,整理得 210tata 对于任意的1,2t恒成立,对 A,当4a 时,不等式 2540tt,解集 5 ,4 2 ,包含 1,2,故 A 正确;对 B,当 2a 时,不等式 2320tt,解集 3 ,2 2 ,包含 1,2,故 B 正确;对 C,当 0a 时,不等式 210tt,解集 1 ,0 2 ,不包含 1,
6、2,故 C 错误;对 D,当 2a时,不等式 2120tt,解集 1 2, 2 ,不包含 1,2,故 D 错误, 例 3(2020 嘉兴市第五高级中学高三)设 * Nk ,若数列 n a是无穷数列,且满足对任意 实数k不等式20 nn kaak恒成立,则下列选项正确的是( ) A存在数列 n a为单调递增的等差数列 B存在数列 n a为单调递增的等比数列 C 2 12 2 n aanann恒成立 D 2 12 2 n aanann 【答案】D 【详解】因为20 nn kaak, * Nk ,当1k 时, 210 nn aa,解得 12 n a。当2k 时,因为 2 1 k ,所以20 nn k
7、aak,解得 2 n ak k 。 因为无穷数列 n a,对任意实数k不等式20 nn kaak恒成立,所以12 n a。 对选项 A,若 n a为单调递增的等差数列,设 n f nnqap,0p ,则 1 , n af ,故 A 错误;对选项 B,若 n a为单调递增的等比数列,设 n af n , 则 1 , n af ,故 B 错误;对选项 C,因为12 n a,设 2 3 n a ,取2n,则 12 24 2 33 2aa , 2 2nn,显然 2 12 2 n aanann不成立;故 C 错误; 对于选项 D:当1n 时,由 1 12a,显然 2 1 112a 恒成立,假设当nk时,
8、 2 12 2 k aakakk成立,则当1nk时, 2 22 1112 2211111 kkk kkaakaakkakkkkk 故 2 12 2 n aanann恒成立,故 D 正确. 例 4(2021 江苏高三一模)已知等差数列 n a满足 1 235 nn aan . (1)求数列 n a的通项公式; (2)记数列 1 1 nn a a 的前 n 项和为 n S.若 * n N, 2 4 n S (为偶数),求的值. 【答案】(1)1 n an;(2)2. 【详解】(1)设等差数列 n a的公差为 d,因为 1 235 nn aan ,所以 12 23 28, 211, aa aa 即
9、1 1 328, 3511, ad ad 解得 1 2,1ad,所以2(1)1 n ann. 经检验,1 n an符合题设,所以数列 n a的通项公式为1 n an. (2)由(1)得, 1 1111 (1)(2)12 nn a annnn , 所以 11111111 23341222 n S nnn .*nN, 1 2 n S ,因为 * n N, 2 4 n S , 所以 2 1 4 2 , 即 2 7 (2 ) 2 .因为为偶数, 所以2. 例 5 (2021 天津滨海新区 高三)已知数列 n a是公差不为 0 的等差数列, 1 3 2 a , 数列 n b 是等比数列,且 11 ba,
10、 23 ba , 34 ba,数列 n b的前 n 项和为 n S. (1)求数列 n b的通项公式; (2)设 ,5 8,6 n n n b n c a n ,求 n c的前 n 项和 n T; (3)若 1 n n ASB S 对*nN恒成立,求BA的最小值. 【答案】(1) 1 31 () 22 n n b (2) 2 1 1,15 2 327927 ,6 2232 n n n T nnn (3) 17 12 【详解】(1)设数列 n a的公差为d,0d ,因为数列 n b是等比数列,所以 2 213 bb b, 所以 2 314 aa a,所以 111 2 32adaad,所以 2 1
11、 40a dd,因为0d ,所以 1 40ad,又 1 3 2 a ,所以 3 8 d ,所以 11 3 2 ba,数列 n b的公比 321 111 (2 )11 1 2 () 42 abad q baa ,所以 11 1 31 () 22 nn n bbq . (2)由(1)知 1 31 () 22 n n b , 1 33315 (1)(1) 2888 n aandnn , 所以 1 31 ,5 22 315,6 n n n c nn , 当15n时, 1 31 1 22 (1) 11 1 2 n n n bq T q 1 1 2 n , 当6n时, 5 53 1531 1 22 n n
12、n T 2 327927 2232 nn, 所以 2 1 1,15 2 327927 ,6 2232 n n n T nnn . (3) n S 1 31 1 22 (1) 11 1 2 n n bq q 1 1 2 n , 111 1 2 1 1 2 n n n n S S , 令 11 ( )1 2 1 1 2 n n f n , 当n为奇数时, 11 ( )1 2 1 1 2 n n f n 0,且( )f n递减,可得( )f n的最大值为 5 (1) 6 f,当n为偶数时, 11 ( )1 2 1 1 2 n n f n 0,且( )f n递增,可得( )f n的 最小值为 7 (2
13、) 12 f , 所以( )f n的最小值为 7 12 , 最大值为 5 6 , 因为 1 n n ASB S 对 *nN恒成立,所以 7 12 5 6 A B ,所以 5717 61212 BA,所以BA的最小值为 17 12 . 例 6.(2019浙江高考真题)设等差数列 n a的前n项和为 n S, 3 4a , 43 aS, 数列 n b 满足:对每 12 , nnnnnn nSb Sb Sb N成等比数列. (1)求数列, nn ab的通项公式; (2)记, 2 n n n a Cn b N 证明: 12+ 2,. n CCCn n N 【答案】(1)21 n an,1 n bn n
14、;(2)证明见解析. 【解析】 (1)由题意可得: 1 11 24 3 2 33 2 ad adad ,解得: 1 0 2 a d , 则数列 n a的通项公式为22 n an .其前n项和 022 1 2 n nn Sn n . 则1,1,12 nnn n nb n nbnnb成等比数列,即: 2 1112 nnn n nbn nbnnb ,据此有: 2 222 121112121 nnnnn nnn nbbn nnnnnbn nbb, 故 22 1 12121 (1)(1)(1)(2) n nnn nn bn n nnn n n nn . (2)结合(1)中的通项公式可得: 1122 21
15、 211 n n n an Cnn bn nnnnnn , 则 12 210221212 n CCCnnn. 例 7.(2019江苏高考T20)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M-数列”. (1)已知等比数列an(nN *)满足:a 2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列an为“M-数列”. (2)已知数列bn(nN *)满足:b 1=1, = -,其中Sn为数列bn的前n项和. 求数列bn的通项公式. 设m为正整数,若存在 “M-数列” cn(nN *),对任意正整数 k,当km时,都有ckbkck+1 成立,求m的最大值. 【解析】(1)设等比数列an的公比为q,所以
16、a10,q0.由 得解得,因此数列an为“M数列”. (2)因为 = -,所以bn0.由b1=1,S1=b1,得 = - ,则b2=2.由 = -,得Sn=, 当n2 时,由bn=Sn-Sn-1,得bn=-,整理得bn+1+bn-1=2bn.所以数列bn是首项和公 差均为 1 的等差数列.因此,数列bn的通项公式为bn=n(nN *). 由知,bk=k,kN *.因为数列c n为“M-数列”,设公比为q,所以c1=1,q0. 因为ckbkck+1,所以q k-1kqk,其中 k=1,2,3,m. 当k=1 时,有q1;当k=2,3,m时,有ln q.设f(x)=(x1),则f(x)=. 令f(
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