2021年高考数学压轴讲与练 专题08 数列中的最值问题(解析版)
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1、专题 08 数列中的最值问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题,考查常以数列的相关项以及关系式,或数列的前 n 项和与第 n 项的关系入手, 结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开, 求解数列的通项、 前 n 项和,有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合探求数列中的最值问题,是 数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方 法. 1.常见思路一:构建函数模型,利用函数的图象和性质解决最值问题; 2.常见思路二:构建函数模型,应用导数研究函数的最值; 3.常见思路三:构建不等式求解,确定范围,实现求最值; 4.常见思路四:应用基本
2、不等式,确定最值 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020北京高考T8)在等差数列an中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2an(n=1,2,),则数 列Tn ( ) A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项 C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项 【解析】选 B.设公差为d,因为a1=-9,a5=a1+4d=-1,所以d=2,所以a1,a50, 所以T10,T30,T50. 因为ckbkck+1,所以 1kk qkq ,其中k=1,2,3,m.当k=1 时,有q1; 当k=2,3,m时,有 lnln ln 1 kk q kk 设f(x)= ln (1) x x x ,
3、则 2 1 ln ( ) x f x x 令 ( )0f x ,得x=e.列表如下: x (1,e) e (e,+) ( )f x + 0 f(x) 极大值 因为 ln2ln8ln9ln3 2663 ,所以 max ln3 ( )(3) 3 f kf取 3 3q ,当k=1,2,3,4, 5 时, ln ln k q k ,即 k kq,经检验知 1k qk 也成立因此所求m的最大值不小于 5 若m6,分别取k=3,6,得 3q 3,且 q 56,从而 q 15243,且 q 15216, 所以q不存在.因此所求m的最大值小于 6. 综上,所求m的最大值为 5 【压轴训练】【压轴训练】 1(2
4、021 陕西西安市 西安中学高三)在等差数列 n a中 10 0a , 11 0a ,且 1110 aa, 则在0 n S 中,n 的最大值为( ) A17 B18 C19 D20 【答案】C 【详解】设公差为d, 10 0a , 11 0a ,0d, 1110 aa,则 1110 aa ,即 1011 0aa , 119 1910 19+ 190 2 aa Sa, 110 201011 20+ 10+0 2 aa Saa, 则0 n S 时,n 的最大值为 19. 2(2021 全国高三专题练习)已知数列an的前 n 项和为 Sn=2n+1+m,且 a1,a4,a5-2 成等差数 列,bn=
5、 n nn 1 a , a1 a1 数列bn的前 n 项和为 Tn,则满足 Tn, 2017 2018 的最小正整数 n 的 值为 A11 B10 C9 D8 【答案】B 【解析】根据 1 2n n Sm 可以求得 4,1 2 ,2 n n mn a n ,所以有 145 4,16,32amaa,根据 145 ,2a a a 成等差数列,可得4 32 232m ,从 而求得2m,所以 1 2a 满足2n n a ,从而求得2 () n n anN ,所以 1 1 2 (1)(1)(21)(21) n n n nn nn a b aa 1 11 2121 nn ,所以 1 1111111 1 3
6、377152121 n nn T 1 1 1 21 n ,令 1 12017 1 212018 n , 整理得 1 22019 n ,解得10n,故选 B. 3(2021 全国高三其他模拟)已知数列 n a满足 123 2321 3n n aaanan设 4 n n n b a , n S为数列 n b的前n项和若 n S(常数),*nN,则的最小值是( ) A 3 2 B 9 4 C 31 12 D 31 18 【答案】C 【详解】 123 2321 3n n aaanan 当2n时,类比写出 1 1231 23123 3n n aaanan ,由-得 1 43n n nan ,即 1 4
7、3n n a .当1n 时, 1 34a , 1 31 4 32 n n n a n , 1 4 1 3 2 3 n n n b n n 21021 4231123 333333333 n nn nn S 231 11123-1 + 3933333 n nn nn S -得, 0231 2211111 +- 39333333 n nn n S 1 1- 2 3 - 1 93 1- 3 n n n 31 6931 - 124 312 n n n S n S(常数),*nN,的最小值是 31 12 4(2021 安徽安庆市 高三)已知等差数列 n a满足 1 1a , 10 10a ,则数列 18
8、 n nn a aa 的 最大项为( ) A 1 18 B 1 15 C 3 44 D 1 14 【答案】C 【详解】因为数列 n a是等差数列, 1 1a , 10 10a ,所以 101 9aad,解得1d , n an,则 2 18 1 8 1898 9 n nn ann aannnn n n , 因为 88 92+994 2nn nn ,当且仅当2 2n 时等号成立,所以当2n时, 2 310 11 8 15 29 2 a a a ,当3n时, 3 411 13 8 44 39 3 a a a , 故数列 18 n nn a aa 的最大项为 3 44 , 5(2021 北京高三开学考
9、试)等差数列 n a的前n项和为 n S.已知 1 5a , 3 1a .记 (1,2,) n n n S bn a ,则数列 n b的( ) A最小项为 3 b B最大项为 3 b C最小项为 4 b D最大项为 4 b 【答案】C 【详解】由题意,设等差数列 n a的公差为d,因为 1 5a , 3 1a ,可得 31 1 ( 5) 2 3 12 aa d ,所以5(1) 227 n ann , 2 11 ()( 527) 6 22 n n n aann Snn ,则 2 27 6 n n n Sn b an n ,可得 22 34 2 372 36 346 7 4 9,8 4 bb ,所
10、以 34 bb,可排除 A、D; 设 2 677 , 27 1,)( ,) 22 xx f x xx , 则 2 2 2 2 ( (26)(27)(6 ) 22(721) 27)(27)x xxxxxx x x f , 因为 2 ( 7)4 1 210 ,所以 0fx ,所以 f x在区间 7 1, 2 和 7 (,) 2 上都 是单调递增函数,即当1,2,3n 时,数列 n b为递增数列,当4,nnN时,数列 n b 也为递增数列,其中 12345 85 1,9,8, 33 bbbbb , 例如当25n时,可得 253 475 43 bb,所以 B 不正确,C 正确. 6(2021 江西高三
11、其他模拟)在等差数列 n a中, 14 11,5aa .记 12 (1,2,) nn Ta aa n,则数列 n T( ) A有最大项,有最小项 B有最大项,无最小项 C无最大项,有最小项 D无最大项,无最小项 【答案】C 【详解】依题意可得公差 41 5 11 2 4 13 aa d , 1 (1)11 22213 n aandnn , 所以当6n时,0 n a , 当7n时,0 n a , 因为 1 110T , 2 11 ( 9)990T , 3 11 ( 9) ( 7)6930T , 4 11 ( 9) ( 7) ( 5)34650T , 5 3465 ( 3)103950T , 6
12、10395 ( 1)103950T ,又当6n时, 123456 0 nn Ta a a a a aa,且 1121 1 12 nn n nn Ta aa a Ta aa 211 1n,即 1nn TT ,所以当6n时, 数列 n T单调递增, 所以数列 n T无最大项,数列 n T有最小项 5 10395T . 7(2019北京师大附中高考模拟)已知正项等比数列an满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am、 an,使得 aman=16a1 2,则 1 m + 9 n 的最小值为( ) A 3 2 B 8 3 C 11 4 D不存在 【答案】C 【解析】设正项等比数列an的公比为 q,且 q
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