2021年高考数学压轴讲与练 专题07 数列的构成规律探索(原卷版)
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1、专题 07 数列的构成规律探索 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题, 探求数列的构成规律, 是数列不等式的综合应用问题的命题形式之 一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法. 1.(1)已知an与an1的关系式求通项an时,常有以下类型:形如an1anf(n)(f(n)不是 常数)的解决方法是累加法;形如an1anf(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累乘法; 形如an1panq(p,q均为常数且p1,q0)解决方法是将其构造成一个新的等比数 列;形如an1panq n(p,q 均为常数,pq(p1)0)解决方法是在递推公式两边同除以 q n1. (2)给出Sn与an的递推关
2、系,求an,常用思路是:一是利用SnSn1an(n2)转化为an的 递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求 an. 2.证明数列an是等差数列的两种基本方法 (1)利用定义,证明an1an(nN N *)为一常数; (2)利用等差中项,即证明 2anan1an1(n2) 3.证明数列an是等比数列的两种基本方法 (1)利用定义,证明 1 * n n a a n N为一常数; (2)利用等比中项,即证明 2 n aan1an1(n2) 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020 全国卷理科 T12)0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 a
3、1a2an 满足 ai0,1(i=1,2,),且存在正整数 m,使得 ai+m=ai(i=1,2,)成立,则称其为 0-1 周期 序列,并称满足 ai+m=ai(i=1,2,)的最小正整数 m 为这个序列的周期.对于周期为 m 的 0-1 序 列a1a2an,C(k)=aiai+k(k=1,2,m-1)是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1 序列中,满足 C(k) (k=1,2,3,4)的序列是 ( ) A.11010 B.11011 C.10001 D.11001 例 2.(2020北京高考T21)已知an是无穷数列,给出两个性质: 对于an中任意两项 ai,aj(ij),在an中都存
4、在一项 am,使得 =am; 对于an中任意项 an(n3),在an中都存在两项 ak,al(kl),使得 an= . (1)若 an=n(n=1,2,),判断数列an是否满足性质,说明理由; (2)若 an=2 n-1(n=1,2,),判断数列a n是否同时满足性质和性质,说明理由; (3)若an是递增数列,且同时满足性质和性质,证明:an为等比数列. 例 3(2021 江苏高三月考)雪花曲线因其形状类似雪花而得名,它的产生也与雪花类似,由 等边三角形开始,把三角形的每一条边三等分,并以每一条边三等分后的中段为边,向外作 新的等边三角形,但要去掉与原三角形叠合的边,接着对每-个等边三角形“尖
5、出”的部分继 续上述过程,即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形(如图:(2),(3),(4) 是等边三角形(1)经过第一次,第二次,第三次,变化所得雪花曲线)若按照上述规律,一个 边长为3的等边三角形,经过四次变化得到的雪花曲线的周长是( ) A143 3 B 204 9 C 256 9 D 64 3 例 4(2021 浙江绍兴市 高三期末)已知 1 a, 2 a, 5 a为 1,2,3,4,5 的任意一个排列. 则满足:对于任意1,2,3,4,5n,都有 121n aaana的排列 1 a, 2 a, 5 a有 ( ) A49 个 B50 个 C31 个 D72 个 例 5(20
6、21 浙江绍兴市 绍兴一中高三期末)已知数列 n a与 n b满足 11 ( 3)1 n nnnn bab a , 2, 1, n n b n 为偶数 为奇数 , * nN,且 1 2a ,下列正确的是( ) A 31 8aa B 24 18aa C 222nn aa 是等差数列 D 2121nn aa 是等比数列 例 6(2021 山西太原市 高三期末)意大利数学家列昂纳多 斐波那契提出的“兔子数列”:1, 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,在现代生物及化学等领域有着广泛 的应用,它可以表述为数列 n a满足 12 1aa, * 21 N nnn aaan .
7、若此数列各项 被 3 除后的余数构成一个新数列 n b,则 n b的前 2021 项和为( ) A2014 B2022 C2265 D2274 例 7 (2021 北京昌平区 高三期末)斐波那契数列又称“黄金分割数列”, 因数学家莱昂纳多斐 波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、 化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列 n a可以用如下方法定义: * 1212 3,1 nnn aaannaa N.若此数列各项除以 4 的余数依次构成一个新数 列 n b,则 2021 b( ) A1 B2 C3 D5 例 8.(河北省衡水市第二中学 2020 高三)
8、数列中的项按顺序可以排列成如图的形式,第 一行 项,排;第二行 项,从左到右分别排,;第三行 项,以此类推,设数列 的前 项和为,则满足的最小正整数 的值为( ) 4, 4,4 3 4,4 3,4 4,4 3,4 , 4 A B C D 例 9(2021 北京高三期末)数列 n a中,给定正整数m(1)m, -1 1 1 ( ) m ii i V maa .定 义:数列 n a满足 1 (1,2,1) ii aaim L L,称数列 n a的前m项单调不增. ()若数列 n a通项公式为:( 1)() n n an * N,求(5)V; ()若数列 n a满足: 1 , (1,) m aa a
9、bmmab * N,求证( )V mab的充分 必要条件是数列 n a的前m项单调不增; ()给定正整数m( 1)m,若数列 n a满足:0,(1,2,) n anmL L,且数列 n a的前 m项和为 2 m,求 ( )V m的最大值与最小值.(写出答案即可) 例 10(2021 北京丰台区 高三期末)已知 n a是由正整数组成的无穷数列,该数列前n项的 最大值记为 n A,最小值记为 n B,令 n n n A b B (1)若 2 (1,2,3,) n an n,写出 1 b, 2 b, 3 b的值 (2)证明: 1 (1,2,3,) nn bb n (3)若 n b是等比数列,证明:存
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