2021年高考数学压轴讲与练 专题06 函数、导数与数列、不等式的综合应用(解析版)
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1、专题 06 函数、导数与数列、不等式的综合应用 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题,应用导数研究函数的单调性、极(最)值问题,证明不等式、研究函 数的零点等,是高考考查的“高频点”问题,常常出现在“压轴题”的位置.其中,函数、 导数与数列、不等式的综合应用问题的主要命题角度有:函数与不等式的交汇、函数与数列 的交汇、导数与数列不等式的交汇等.本专题就函数、导数与数列、不等式的综合应用问题, 进行专题探讨,通过例题说明此类问题解答规律与方法. 1.数列不等式问题,通过构造函数、应用函数的单调性或对不等式进行放缩,进而限制参数 取值范围.如 2.涉及等差数列的求和公式问题,应用二次函数
2、图象和性质求解. 3.涉及数列的求和问题,往往要利用“错位相减法” 、 “裂项相消法”等,先求和、再构造函 数. 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020全国卷理科T21)已知函数f(x)=sin 2xsin 2x. (1)讨论f(x)在区间(0,)的单调性; (2)证明:|f(x)|; (3)设nN *,证明:sin2xsin22xsin24xsin22nx . 【解析】(1)由函数的解析式可得f(x)=2sin 3xcos x,则:f(x)=2(3sin 2xcos 2x-sin 4x) =2sin 2x(3cos 2x-sin 2x)=2sin 2x(4cos 2x-1)=2sin
3、2x(2cos x+1)(2cos x-1), f(x)=0 在x(0,)上的根为:x1= ,x2=,当x时,f(x)0,f(x)单调递增,当x 时,f(x)0,f(x)单调递增. (2)注意到f(x+)=sin 2(x+)sin =sin 2xsin 2x=f(x),故函数 f(x)是周期为 的函数,结合(1)的结论,计算可得:f(0)=f()=0,f=, f=-,据此可得:f(x)max=,f(x)min=-,即|f(x)|. (3)结合(2)的结论有:sin 2xsin 22xsin 24xsin 22nx= =sin x(sin 2xsin 2x)(sin 22xsin 4x)(sin
4、 22n-1xsin 2nx)sin 22nx =. 例 2.(2020浙江高考T22)已知 10,所以 f(x)在(0,+)上单调递增,由于 f(0)=1-a0,f(0)f(2)0, 则 y=f(x)在(0,+)上有唯一零点. ()()由于f(x)单调递增,1a2.设x0的最大值为t,则e t=2+t.由f(1)=e-1-21. 右边:由于 x0 时,e x1+x+ x2,且 -x0-a=0,则 a1+x0.左边:要证明 a-1=-x0-1,只需证明-x0-10.记 h(x)= e x-1-x-x2(0 xt),则 h(x)=ex-1-2x, h(x)=e x-2, 于 是 h(x)在 (0
5、,ln 2) 上 单调 递 减, 在 (ln 2,+)上 单 调递 增 . 于 是 h(x)=e x-1-2xmaxh(0),h(t)=0, 则 h(x)在 0 xt 上单调递减.h(x)=e x-1-x-x2h(0)=0,得证. ()要证明 x0f()(e-1)(a-1)a,只需证:x0f(x0+a)(e-1)(a-1)a. 由于(xf(x+a)= f(x+a)+xf(x+a)f(x+a)f(a)=e a-2a1-a+ 0, 则 x0f(x0+a)f(+a),只需要证明:f(+a)(e-1)a, 即-2a (e-1)a. 由 e x 1+x+x 2, 只 需 证 :1+ (+a) 2-a (
6、e-1)aa 2-( ) 2-2(e-2)a 0,只需证-2(e-2), 由于=+2,+),则-2- = 2(e-2). 综上所述,得证. 例 3.(2020天津高考T20)已知函数f(x)=x 3+kln x(kR),f(x)为 f(x)的导函数. (1)当k=6 时, 求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; 求函数g(x)=f(x)-f(x)+ 的单调区间和极值; (2)当k-3 时,求证:对任意的x1,x21,+),且x1x2,有. 【解析】 (1)当k=6 时,f(x)=x 3+6ln x,f(x)=3x 2+ .可得f(1)=1,f(1)=9,所以曲线y=f(x) 在点(
7、1,f(1)处的切线方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8. 依题意,g(x)=x 3-3x2+6ln x+ ,x(0,+).从而可得 g(x)=3x 2-6x+ - , 整理可得:g(x)=,令g(x)=0,解得x=1.当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如表: x (0,1) 1 (1,+) g(x) - 0 + g(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以,g(x)的减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+);g(x)的极小值为g(1)=1,无极大值. (2)由f(x)=x 3+kln x,得 f(x)=3x 2+ .对任意的x1,x21,+),且x1x2,令 =t(t1), 则
8、(x1-x2)f(x1)+f(x2)-2(f(x1)-f(x2)=(x1-x2)-2 =-3x2+3x1+k-2kln =(t 3-3t2+3t-1)+k .() 令h(x)=x- -2ln x,x(1,+).当x1 时,h(x)=1+ - =0, 由此可得h(x)在(1,+)上单调递增,所以当t1 时,h(t)h(1),即t- -2ln t0. 因为x21,t 3-3t2+3t-1=(t-1)30,k-3, 所以(t 3-3t2+3t-1)+k (t 3-3t2+3t-1)-3 =t 3-3t2+6ln t+ -1.() 由(1)可知,当t1 时,g(t)g(1),即t 3-3t2+6ln
9、t+ 1,故 t 3-3t2+6ln t+ -10.() 由()()()可得(x1-x2)f(x1)+f(x2)-2(f(x1)-f(x2)0. 所以,当k-3 时,对任意的x1,x21,+),且x1x2,有. 例 4(2021 浙江金华市 高三期末)设Ra,已知函数 ln xa f x x , x g xe (1)当1a 时,证明:当0 x 时, f xg x; (2)当1a 时,证明:函数 yf xg x有唯一零点 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【详解】 lnln x x xaxaxe f xg xe xx ,令 ln x h xxaxe, (1)证明:要证原不等式,只需证
10、:当0 x时, ln10 x h xxxe 则 2 11 10 11 x x x ex h xxe xxe 对任意的0 x恒成立. 所以,函数 h x在0,上单调递增,因此 00h xh,即原不等式成立; (2)(i)由()可得当0 x时, ln1 0 x x f xg xe x , 故函数 yf xg x在0,上没有零点; (ii)当 ,0 xa 时, 2 11 1 x x x exaxa h xxe xaxa e 令 2 1 x F xexaxa,,0 xa 则 21 x Fxexa递增,且2110 aa Faeaaea , 00Fa , Fx 在,0a上存在唯一零点,记为 0 x, 当
11、0 ,xa x , 0Fx,此时,函数 F x单调递减; 当 0,0 xx时, 0Fx,此时,函数 F x单调递增. 1aQ,0 a Fae, 010Fa , 0 010F xFa , F x在 0 , a x上存在唯一零点 1 x,当 0,0 xx时, 0F x 故当 1 ,xa x , 0F x ;当 1,0 xx时, 0F x h x在 1 , a x上递增, 在 1,0 x上递减, 且 0ln0ha 令 x y x e , 当,0 xa 时,则10 x yx e ,函数 x yxe在,0 xa 上递增, xa yxeae , ln a h xxaae,取 2 a ae xaea ,且
12、0 10 a ae eaeaa ,则 2 ,0 a ae xaea , 则有 2 0h x, 又 0l n0ha, 由零点存在定理可得, h x 在,0a上存在唯一的零点 综上可证:函数 yf xg x在0,上有唯一零点 例 5(2021 江苏南通市 高三期末)已知函数 e1 x f xx ,0 x. (1)若关于.x的不等式 2 e22 x xf xkxx对任意的0 x恒成立,求实数k的取值范 围; (2)设 2 2f x g x x ,0 x. 求证: 1g x ; 若数列 n a满足 1 3 0ln 2 a, 1 ln nn ag a ,求证: 1 e1 2 n a n . 【答案】(1
13、)k2;(2)证明见解析 证明见解析. 【详解】(1) 2 122 xx x exkexx ee2 xx xkx ,ee2 xx kxx , 2 ex x kx 令 2 ex x h xx , 2 ee2e1 10 ee xx x xx xx h x h x在( ) 0,+?上为增函数, 02kh. (2) 2 2 e1 x x g x x 要证 2 2 e1 1 x x x 证明: 2 e1 2 x x x 即证 2 e10 2 x x x 令 2 e1 2 x x F xx, e1 x Fxx , e10 x Fx Fx在( ) 0,+?上为增函数, 01FxF, F x在( ) 0,+?
14、上为增函数, 00F xF 可用数学归纳法证明.由知,0 x时, 1g x ,0 k a ,1 k g a 当1n 时, 1 1 311 e11 222 a ,显然成立 假设当nk时, 11 e10ln 1 22 k a k kk a 则当1nk时, 1 ln e1e11 k k g aa k g a . g x在( ) 0,+?上为增函数. 22 1111 2 1ln 112ln 1 22221 1ln 111 112 ln1ln1 22 kkkk k k kk g ag 下只需证 1 2 11 2ln 1 221 1 12 ln1 2 kk k k ,令 13 11 22 k mm 证明:
15、 2 21 ln1 11 ln2 mm m m 2 21 ln1 1 ln2 mm m m 2 41 lnln1mmmm 22 ln44lnln40mmmmm 2 2 ln2ln40mmmm 2 ln2ln2ln20mmmm ln2ln2ln20mmmm ,又 3 1 2 m ln2ln20mmm1 ln220mmm 3 1 ln22 ,1 2 h mmmmm, 13 ln1,1 2 h mmm m 22 111 0 m hm mmm , 13 ln1,1 2 h mmm m 为增函数 10h mh 故 3 1 ln22 ,1 2 h mmmmm为增函数,故 10h mh 故不等式1 ln22
16、0mmm 成立,故1nk时成立 例 6.(2020江苏高考T19)已知关于 x 的函数 y=f(x),y=g(x)与 h(x)=kx+b(k,bR)在区 间 D 上恒有 f(x)h(x)g(x). (1)若 f(x)=x 2+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-,+).求 h(x)的表达式; (2)若 f(x)=x 2-x+1,g(x)=kln x,h(x)=kx-k,D=(0,+).求 k 的取值范围; (3)若 f(x)=x 4-2x2,g(x)=4x2-8,h(x)=4(t3-t)x-3t4+2t2(0m(0)=1+k0,所以 k=-1. 当 x=0 时,0,即(k+1) 2-4(k+
17、1)0,(k+1)(k-3)0,-1k3. 综上,k0,3. (3)当 1t时,由 g(x)h(x),得 4x 2-84(t3-t)x-3t4+2t2, 整理得 x 2-(t3-t)x+ 0.(*)令 =(t 3-t)2-(3t4-2t2-8),则 =t6-5t4+3t2+8. 记 (t)=t 6-5t4+3t2+8(1t ),则 (t)=6t 5-20t3+6t=2t(3t2-1)(t2-3)0 恒成立, 所以 (t)在1,上是减函数,则 ()(t)(1),即 2(t)7 所以不等式(*)有解,设解集为,因此 n-mx2-x1=. 当 0t1 时,f(-1)-h(-1)=3t 4+4t3-2
18、t2-4t-1.设 v(t)=3t4+4t3-2t2-4t-1, v(t)=12t 3+12t2-4t-4=4(t+1)(3t2-1),令 v(t)=0,得 t= . 当 t时,v(t)0,v(t)是增函数; v(0)=-1,v(1)=0,则当 0t1 时,v(t)0,(或证:v(t)=(t+1) 2(3t+1)(t-1)0) 则 f(-1)-h(-1)0,因此-1(m,n).因为m,n-,所以 n-m+1. 当-t0,求使得Snan的n的取值范围 【答案】(1)210 n an ; (2)110()nnN. 【解析】(1)设等差数列 n a的首项为 1 a,公差为d,根据题意有 11 1 9
19、 8 9(4 ) 2 24 adad ad ,解答 1 8 2 a d ,所以8(1) ( 2)210 n ann , 所以等差数列 n a的通项公式为210 n an ; (2)由条件 95 Sa ,得 55 9aa ,即 5 0a ,因为 1 0a ,所以0d , 并且有 51 40aad,所以有 1 4ad , 由 nn Sa得 11 (1) (1) 2 n n nadand ,整理得 2 (9 )(210)nn dnd, 因为0d ,所以有 2 9210nnn,即 2 11100nn,解得110n, 所以n的取值范围是:110()nnN 例 8.(2019江苏高考真题)定义首项为 1
20、且公比为正数的等比数列为“M数列”. (1)已知等比数列an满足: 245132 ,440a aa aaa,求证:数列an为“M数列”; (2)已知数列bn满足: 1 1 122 1, nnn b Sbb ,其中Sn为数列bn的前n项和 求数列bn的通项公式; 设m为正整数, 若存在“M数列”cn, 对任意正整数k, 当km时, 都有 1kkk cbc 剟 成立,求m的最大值 【答案】(1)见解析;(2)bn=n * nN;5. 【解析】(1)设等比数列an的公比为q,所以a10,q0.由 245 321 440 a aa aaa ,得 244 11 2 111 440 a qa q a qa
21、 qa ,解得 1 1 2 a q 因此数列 n a为“M数列”. (2)因为 1 122 nnn Sbb ,所以 0 n b 由 111 1,bSb得 2 122 11b ,则 2 2b . 由 1 122 nnn Sbb ,得 1 1 2() nn n nn b b S bb , 当2n时,由 1nnn bSS ,得 11 11 22 n nnn n nnnn b bb b b bbbb , 整理得 11 2 nnn bbb 所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列. 因此,数列bn的通项公式为bn=n * nN .由知,bk=k, * kN. 因为数列cn为“M数列”,设公比为q,所
22、以c1=1,q0. 因为ckbkck+1,所以 1kk qkq ,其中k=1,2,3,m.,当k=1 时,有q1; 当k=2,3,m时,有 lnln ln 1 kk q kk 设f(x)= ln (1) x x x ,则 2 1 ln ( ) x f x x 令 ( )0f x ,得x=e.列表如下: x (1,e) e (e,+) ( )f x + 0 f(x) 极大值 因为 ln2ln8ln9ln3 2663 ,所以 max ln3 ( )(3) 3 f kf取 3 3q ,当k=1,2,3,4, 5 时, ln ln k q k ,即 k kq,经检验知 1k qk 也成立因此所求m的最
23、大值不小于 5 若m6,分别取k=3,6,得 3q 3,且 q 56,从而 q 15243,且 q 15216, 所以q不存在.因此所求m的最大值小于 6. 综上,所求m的最大值为 5 例 9.(2020湖南高考模拟)设函数( )ln(1)(0)f xxx, (1) ( )(0) 1 x xa g xx x . (1)证明: 2 ( )f xxx. (2)若( )( )f xxg x恒成立,求a的取值范围; (3)证明:当 * nN时, 2 2 121 ln(32) 49 n nn n . 【答案】(1)见解析;(2)(,1;(3)见解析. 【解析】(1)证明:令函数 2 h xln x 1x
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