2021届福建省福州闽侯县高三第一学期期中考试数学试题(教师版)
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1、20202021 学年第一学期高三数学半期考试卷学年第一学期高三数学半期考试卷 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项分在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 已知命题 2 :1,2log1 x pxx,则 p 为( ) A. 2 1,2log1 x xx B. 2 1,2log1 x xx C. 2 1,2log1 x xx D. 2 1,2log1 x xx 【答案】D 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题判断即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题
2、, 所以命题 :p 1x , 2 2log1 x x, :p 1x , 2 2log1 x x. 故选:D 【点睛】本题主要考查全称命题的否定,属于简单题. 2. 设复数z满足 1 1 3 2 z i z ,则|z A. 5 B. 5 C. 2 D. 2 【答案】B 【解析】 由 1 1 3 2 z i z ,得12 36zzzii ,即2zi,则5z ,故选 B. 3. 已知集合 2 log (3)1Pxx , 32 2 x Qx x ,则 RP Q ( ) A. 0,1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2 【答案】A 【解析】 【分析】 先解对数不等式和分式不等式分别化简集合,P Q
3、,求得 RP ,再进行交集运算即可. 【详解】 22 log (3)1l g 2ox ,032x , 即13x, 集合13Pxx, 则1 RP xx 或3x , 又由 32 2 x x , 得 2 0 x x 等价于20 x x且0 x, 即02x, 集合02Qxx, 故 RP Q 01xx. 故选:A. 4. 已知等差数列 n a的公差为5,前n项和为 n S,且 1 a、 2 a、 5 a成等比数列,则 6 S ( ) A. 80 B. 85 C. 90 D. 95 【答案】C 【解析】 由题意,得 2 111 (5)(4 5)aa a , 解得 1 5 2 a ,所以 6 56 5 65
4、90 22 S 故选C 5. 设函数 3 1 3 log,? 0, ( ) log (),? 0, xx f x xx 若( )()f afa,则实数a的取值范围是( ) A. ( 1,0)(0,1) B. (, 1)(1,) C. ( 1,0)(1,)-? D. ( , 1)(0,1) 【答案】C 【解析】 【分析】 由于a的范围不确定,故应分0a和0a 两种情况求解. 详解】当0a时,0a , 由( )()f afa得 21 2 loglogaa , 所以 2 2log0a ,可得:1a , 当0a 时,0a , 由( )()f afa得 12 2 loglogaa , 所以 2 2log
5、0a,即01a ,即10a , 综上可知:10a 或1a . 故选:C 6. 九章算术卷第五商功中,有问题“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈问 积几何?”,意思是:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,无宽,高 1丈(如图)问它的体积是多少? ”这个问题的答案是( ) A. 5立方丈 B. 6立方丈 C. 7立方丈 D. 9立方丈 【答案】A 【解析】 过点,E F分别作平面EGJ和平面FHI 垂直于底面,所以几何体的体积分为三部分中间是直三棱柱,两边 是两个一样的四棱锥,所以 11 3 1 221 3 15 23 V 立方丈,故选 A. 7. 设
6、 lnx ax, ln y by, ln y cx,其中x y ,则下列说法正确的是( ) A. acb B. bca C. 2 abc D. 2 cab 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数,利用函数的单调性可得答案. 【详解】令ln ,lnxmyn ,因为x y ,所以mn, 所以 2 m ae , 2 n be , nm ce,虽然 x ye是单调递增函数,而 22 ,m n无法比较大小, 所以, a b大小无法确定,排除 AB; 22nm ce 2222 +22mnmnnm abe eeec , 故选:D. 【点睛】本题考查比较大小,构造函数,利用函数的单调性是解答本题的关键点.
7、8. 已知函数 ee 2 xx f xa (aR, e为自然对数的底数),若 gf x与 yff x的值域 相同,则a的取值范围是 A. 0a B. 1a C. 04a D. 0a 或04a 【答案】A 【解析】 排除法:当1a 时,令 x et , 1 ( )24f xt t ,值域为4,),( ( )f f x在 4,)上为增函数,值域为 25 ,) 4 ,不合题意舍去; 当0a 时,( )2 a f xt t , 2 22 3 ( )120 ata fx tt , ( )f x 的值域为R ( ( )yf f x的值域也是R,不符合题意,排除 C 和 D. 当 1 2 a 时, 1 (
8、)2 2 f xt t , 2 1 ( )10 2 fx t ,函数在(0,)上单增,值域为R,( ( )f f x 的 值域也为R,符合题意,排除 B,选 A. 二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题分在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分分. 9. 已知 2 ( )2sin cos2 3cos3f xxxx,下列说法正确的有( ) A. ( ) f x的最小正周期是2 B. ( ) f x最
9、大值为2 C. ( ) f x的图象关于 3 x 对称 D. ( )f x的图象关于 2 ,0 3 对称 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用三角函数的性质,逐个判断选项即可求解 【详解】 2 ( )2sin cos2 3cos3f xxxxsin23cos22sin(2) 3 xxx ,明显可得, A 错,B对; 对于 C,因为()0 3 f ,所以,( )f x的图象不关于 3 x 对称,C 错; 对于 D,因为 2 ()0 3 f ,所以,( )f x的图象关于 2 ,0 3 对称,D 对; 故选:BD 10. 已知平面向量OA、OB、OC为三个单位向量,且0OA OB,若OCxOAy
10、OB (, x yR), 则x y 的可能取值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】 以向量OA、OB方向为 x,y 轴建立坐标系,则终点在单位圆上的向量cos ,sinOC,可计算 cossinxy 取值范围,即得结果. 【详解】依题意,OA、OB是一组垂直的单位向量,如图建立坐标系,向量OA、OB作为一组垂直的单 位基底可以表示单位圆上任一点Ccos ,sin(表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角)构成的向量 OC, 0,2, 因为1,0OA,0,1OB ,cos ,sinOC,OCxOAyOB, 所以cos ,sinxy,故cossin2s
11、in 4 xy , 0,2, 故2, 2xy ,故可以是选项中的 0,1, 2. 故选:ABC. 11. 如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为3,线段 11 B D上有两个动点,E F,且1EF ,以下结论正 确的有( ) A. ACBE B. 异面直线 ,AE BF所成的角为定值 C. 点A到平面BEF的距离为定值 D. 三棱锥ABEF的体积是定值 【答案】ACD 【解析】 【详解】 由ACBD, 1 ACDD可证AC 平面 11 D DBB,从而AC BE,故 A正确; 取特例, 当 E 与 1 D重合时, F是 F ,AE即 1 AD, 1 AD平行 1 BC, 异面直线,
12、AE BF所成的角是 1 C BF , 当 F 与 1 B重合时, E是 E ,BF即 1 BB, 异面直线,AE BF所成的角是 1 A AE , 可知 1 C BF 与 1 A AE 不相等,故异面直线,AE BF所成的角不是定值,故 B错误; 连结BD交AC于O,又AC 平面 11 D DBB,点A到平面 11 BDD B的距离是 2 = 2 AO,也即点A到平面 BEF的距离是 2 2 ,故 C正确; 2 = 2 AO为三棱锥ABEF的高,又 111 1 224 BEF S ,故三棱锥ABEF的体积为 1122 34224 为定值,D 正确. 故选:ACD 【点睛】求空间中点到平面的距
13、离常见方法为: (1)定义法:直接作平面的垂线,求垂线; (2)等体积法:不作垂线,通过等体积法间接求点到面的距离; (3)向量法:计算斜线在平面的法向量上的投影即可. 12. 在 nnn A B C(1,2,3,n )中,内角, nnn A B C的对边分别为, nnn a b c, nnn A B C的面积为 n S,若 5 n a , 1 4b , 1 3c ,且 22 2 1 2 4 nn n ac b , 22 2 1 2 4 nn n ab c ,则( ) A. nnn A B C一定是直角三角形 B. n S为递增数列 C. n S有最大值 D. n S有最小值 【答案】ABD
14、【解析】 【分析】 先结合已知条件得到 2222 11 1 25=25 2 nnnn bcbc ,进而得到 222 25= nnn bca,得 A 正确,再利用面 积公式得到递推关系 1 22 1875 = 6 4 4 nn SS ,通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】由 22 2 1 2 4 nn n ac b , 22 2 1 2 4 nn n ab c 得, 2222 22 11 22 44 nnnn nn acab bc 222 11 22 nnn abc 22 251 22 nn bc ,故 2222 11 1 25=25 2 nnnn bcbc , 又 22 11 25=
15、0bc, 22 250 nn bc, 222 25= nnn bca, 故 nnn ABC一定是直角三角形, A正确; nnn A B C的面积为 1 2 nnn Sb c,而 422222 2222 22 11 24 22 4416 nnnnnn nnnn nn abcab c acab bc , 故 422222 2 2222 111 24 1875 161875 = 16166 4 1 nnnn n nn nn nn abcab bSS c c S , 故 2 22 1 2 2 18751875 = 64464 3 4 nn nnn SS SSS , 又 22 125 = 244 nn
16、nnn bc b cS (当且仅当 5 2 = 2 nn bc时等号成立) 2 2 1 2 1875 =0 6 3 44 n nn S SS , 又由 1 4b , 1 3c 知 nn bc不是恒成立, 即 2 1 2 nn SS , 故 1nn SS , 故 n S为递增数列, n S有最小值 1 6S,无最大值,故 BD正确,C 错误. 故选:ABD 【点睛】 本题解题关键是利用递推关系得到 2222 11 1 25=25 2 nnnn bcbc , 进而得到 222 25= nnn bca, 再逐步突破.数列单调性常用作差法判定,也可以借助于函数单调性判断. 三、填空题:本题共三、填空题
17、:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13. 已知向量(1, 3)a r ,(3,)bm r ,且b在a上的投影为3,则m_ 【答案】3 【解析】 【分析】 利用数量积的定义得到投影 cos a b b a ,再利用数量积和模长的坐标运算代入计算即可. 【详解】设a与b的夹角是,利用投影定义,b在a上的投影为cosb,因为cosa bab r rrr , 33 ,1a bm a,所以 33 cos3 2 ma b a b ,解得3m . 故答案为:3. 14. 设变量x,y满足约束条件 1, 4, 2, xy xy y 则目标函数 2zxy 的最大值为_ 【答案
18、】6.5 【解析】 分析:由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得 最优解的坐标,代入目标函数得答案 详解:由题作出可行域如图, 联立 1 4 xy xy 3 5 (,) 2 2 A化目标函数 22 xz y 由图可知过 A 时截距最大,故 z 的最大值为 6.5,故答案为 6.5 点睛:本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题 15. 已知函数 sincosf xxax的图象关于直线 6 x 对称, 1 x是 f x的一个极大值点, 2 x是 f x 的一个极小值点,则 12 xx的最小值为_ 【答案】 2 3 【解析】 【
19、分析】 根据图象关于 6 x 对称,分析得到 6 f 为函数最值,由此分析计算出a的值并化简 f x,根据条件 表示出 12 ,x x,然后分析出 12 xx的最小值. 【详解】因为 f x的图象关于 6 x 对称,所以 2 13 1 622 faa , 所以解得3a ,所以 sin3cos2sin 3 f xxxx , 又因为 11 2sin2 3 f xx ,所以 111 2, 32 xkkZ ,所以 111 2, 6 xkkZ , 又因为 22 2sin2 3 f xx ,所以 222 2, 32 xkkZ 所以 222 5 2, 6 xkkZ , 所以 121212 5 22, 66
20、xxkkkZ kZ , 所以 121212 2 2, 3 xxkkkZ kZ ,显然当 12 0kk时有最小值, 所以 12min 22 33 xx , 故答案为: 2 3 . 【点睛】思路点睛:已知正、余弦型函数的一条对称轴求解参数的两种思路: (1)根据对称轴对应的是正、余弦型函数的最值,代入计算出函数值等于对应的最值,由此计算出参数值; (2)已知对称轴为xa,则根据 2faxf x,代入具体x的值求解出a的值. 16. 三棱锥ABCD中,60ABCCBDDBA ,2BCBD,面ACD的面积为 11,则此三 棱锥外接球的表面积为_ 【答案】16 【解析】 【分析】 利用三角形全等和三角形
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