2021届湖北省黄石市XX重点中学高三上学期10月测试数学试题(教师版)
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1、2021 届高三年级数学测试卷届高三年级数学测试卷 一、单项选择题一、单项选择题 1. 命题“0 x ,都有 2 30 xx”的否定是( ) A. 0 0 x,使得 2 00 30 xx B. 0 0 x,使得 2 00 30 xx C. 0 x ,都有 2 30 xx D. 0 x ,使得 2 30 xx 【答案】B 【解析】 【分析】 按照全称命题的否定是特称命题的原则来处理即可. 【详解】原命题为全称命题,由全称命题的否定为特称命题,可得命题“0 x 都有 2 30 xx ”的否定 是“ 0 0 x,使得 2 00 30 xx”. 故选:B. 【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题.
2、 2. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S,若 15 30S, 10 4a=,则 9 a等于() A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 15 30S,可算出 8 a,又 10 4a=,根据等差中项的性质求解即可 【详解】由 1588 15302Saa,又 10 4a=, 98109 263aaaa 答案选 B 【点睛】本题考查等差数列基本量的求法,常规思路为求解首项和公差,本通解题思路运用了 21 21 nn Sna 和等差中项的性质,简化了运算 3. 已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量 (,)mab bc ,(, )ncb
3、a,若 /m n,则C ( ) A. 5 6 B. 2 3 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 分析】 由 /m n,可得 0abacbbc .结合余弦定理,可求角C. 详解】(,),(, )mab bc ncb a,且 /m n, 0abacbbc , 整理得 222 cabab. 又 222 1 2cos,cos 2 cababCC . 2 0, 3 CC . 故选:B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理,属于基础题. 4. 一个样本容量为 10的样本数据,它们组成一个公差为 2 的等差数列 n a,若 1 a, 3 a, 7 a成等比数列, 则此样本的平均数和中位数分别
4、是( ) A. 12,13 B. 13,13 C. 13,12 D. 12,14 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据 1 a, 3 a, 7 a成等比数列求出数列的首项,然后即可求出样本的平均数和中位数. 【详解】解:依题意 2 2 317111 46 2aa aaaa ,解得 1 4a , 故 n a是首项 1 4a ,公差2d 的等差数列, 所以此样本的平均数为 10 13 10 S ,中位数为 56 13 2 aa 故选:B 【点睛】本题主要考查了等比中项的性质,中位数,平均数,属于基础题. 5. 设函数 e ax f x 与 lng xbx的图象关于直线0 xy对称,其中a,bR
5、且0a.则a,b满 足( ) A. 2ab B. 1ab C. 1ab D. 1 b a 【答案】C 【解析】 【分析】 由 题 意 可 知 函 数 eaxf x 图 象 上 任 意 一 点,e ax A x 关 于0 xy对 称 点 1 e , ax Ax在 函 数 lng xbx的图象上,代入利用对数的运算性质即可求解. 【详解】解:设,e ax A x 是函数 eaxf x 图象上任意一点, 则它关于直线0 xy对称的点 1 e , ax Ax在函数 lng xbx的图象上, 所以lneaxxbabx,即1ab , 故选:C. 【点睛】本题考查了互为反函数的性质,考查了基本知识的掌握情况
6、以及基本运算能力,属于基础题. 6. 在平面直角坐标系中, ,AB CD EF GH是圆 22 1xy上的四段弧(如图),点 P 在其中一段上,角 以 O为始边,OP 为终边,若tancossin,则 P所在的圆弧是 A. AB B. CD C. EF D. GH 【答案】C 【解析】 分析:逐个分析 A、B、C、D 四个选项,利用三角函数的三角函数线可得正确结论. 详解:由下图可得:有向线段OM为余弦线,有向线段MP为正弦线,有向线段AT为正切线. A选项:当点P在AB上时,cos ,sinxy, cossin,故 A选项错误; B选项:当点P在CD上时,cos ,sinxy,tan y x
7、 , tansincos,故 B选项错误; C选项:当点P在EF上时,cos ,sinxy,tan y x , sincostan,故 C选项正确; D选项:点P在GH上且GH在第三象限,tan 0,sin0,cos0,故 D 选项错误. 综上,故选 C. 点睛:此题考查三角函数的定义,解题的关键是能够利用数形结合思想,作出图形,找到 sin,cos,tan所对应的三角函数线进行比较. 7. 4 名大学生到三家企业应聘, 每名大学生至多被一家企业录用, 则每家企业至少录用一名大学生的情况有 ( ) A. 24 种 B. 36 种 C. 48 种 D. 60 种 【答案】D 【解析】 试题分析:
8、每家企业至少录用一名大学生的情况有两种:一种是一家企业录用一名, 33 43 24C A 种;一种 是其中有一家企业录用两名大学生, 23 43 36C A 种,一共有 3323 4343 60C AC A种,故选 D 考点:排列组合问题. 8. 如图, 在直角梯形ABCD中,22ABADDC,E为BC边上一点,BC3EC ,F为AE的中点, 则BF( ) A. 21 33 ABAD B. 12 33 ABAD C. 21 33 ABAD D. 12 33 ABAD 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案. 【详解】解: 111 222 BFBAAFBAA
9、EABADABCE 111 223 ABADABCB 111 246 ABADABCB 111 246 ABADABCDDAAB 1111 2462 ABADABABADAB 1111 24126 ABADABABAD 21 33 ABAD 故选:C. 【点睛】本题考查用基底表示向量,向量的线性运算,是中档题. 二、多选题二、多选题 9. 已知不等式2 x xea对任意的xR恒成立,则满足条件的整数a的可能值为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】AB 【解析】 【分析】 利用导数求得函数 2 x f xxe的最小值,可得出实数a的取值范围,由此可得出合适的选项. 【详解】令
10、 2 x f xxe,则 minaf x. 1 x fxxe,当1x时, 0fx;当1x 时, 0fx. 所以,函数 yf x的单调递减区间为,1,单调递增区间为1,, min 1f xfe,ae . 因此,满足条件的整数a的可能值为4、3. 故选:AB. 【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求解参数的可能取值,考查计算能力,属于中等题. 10. 甲罐中有 4 个红球,3个白球和 3 个黑球;乙罐中有 5 个红球,3个白球和 2个黑球先从甲罐中随机 取出一球放入乙罐,分别以 1 A, 2 A和 3 A表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机 取出一球,以M表示由乙罐取出的球是
11、红球的事件,下列的结论:其中正确结论的为( ) A. 1 2 P M B. 1 6 11 P M A C. 事件M与事件 1 A不相互独立 D. 1 A, 2 A, 3 A是两两互斥的事件 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念,逐一分析四个选项的真假,可得答案 【详解】解:甲罐中有 4个红球,3 个白球和 3个黑球;乙罐中有 5 个红球,3个白球和 2 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 1 A、 2 A和 3 A表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件; 再从乙罐中随机取出一球,以M表示由乙罐取出的球是红球的事件, 对 A, 463535
12、541 () 1011101110111102 P M ,故 A错误; 对 B, 1 1 1 46 ()6 1011 (|) 4 ()11 10 P MA P M A P A ,故 B 正确; 对 C,当 1 A发生时, 6 () 11 P M ,当 1 A不发生时, 5 () 11 P M ,事件M与事件 1 A不相互独立,故 C 正确; 对 D, 1 A, 2 A, 3 A不可能同时发生,故是两两互斥的事件,故 D正确; 故选:BCD 【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率,互斥事件概率加法公式,考查运算求解能力. 11. 已知定义在 R上的偶函数 f(x),满足 f(x+4)=f(x)
13、+f(2),且在区间0,2上是增函数,下列命题中正确的是 ( ) A. 函数 f(x)的一个周期为 4 B. 直线 x=-4 是函数 f(x)图象的一条对称轴 C. 函数 f(x)在-6,-5)上单调递增,在-5,-4)上单调递减 D. 函数 f(x)在0,100内有 25 个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和条件,得到 20f,即函数是周期为 4 的周期函数,结合的周期性,奇偶性以及对 称性的性质分别进行判断即可 【详解】偶函数 f x,满足 42f xf xf, 令 2x得 2422fff , 即 222fff,得 20f, 则 4f xf x, 即函数 f x是
14、周期为 4的周期函数,故 A正确; f x是偶函数, 图象关于 y 轴即 0 x对称,函数的周期是 4, 4x 是函数 f x图象的一条对称轴,故 B正确; 在区间0,2上是增函数, 在区间 2,0上是减函数,则在区间6, 4上是减函数,故 C 错误; 20fQ, f x在区间2,0上是减函数, f x在区间2,4上减函数, 即函数在一个周期0,4内只有一个零点, 则函数 f x在0,100内有 25个零点,故 D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,周期性,对称性以及单调性的应用,根据条件求出函数的周期是解 决本题的关键,为中档题 12. 设函数 2 sinsin 2c
15、os2f xxx,给出下列四个结论:则正确结论的序号为( ) A. 20f B. f x在 5 3 , 2 上单调递增 C. f x的值域为1 2cos2,32cos2 D. f x在0,2上的所有零点之和为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】 由 23sin22cos2f,结合 3 2 24 ,可判定 A 正确;作出函数2 sinsinyxx的图象,可得 函数 f x的值域及单调性,可判定 B 正确,C 不正确;结合函数的图象,可得 f x在0,2上的所有 零点之和,可判定 D正确. 【详解】由题意,函数 2 sinsin2cos2f xxx, 可得 22 sin2sin22cos23si
16、n22cos2f 因为 3 2 24 ,所以sin2cos20,所以 20f,所以 A正确; 由 3sin ,22 2 sinsin, sin ,222 xkxk yxxkZ xkxk , 作出函数2 sinsinyxx的图象,如图所示, 可得函数 f x是以2为周期的周期函数, 由函数2 sinsinyxx的图象可知,函数 f x在 3 ( ,) 2 上单调递增, 又由 f x是以2为周期的周期函数,可得函数 f x在 5 ( 3 ,) 2 上单调递增, 所以 B是正确的; 由由函数2 sinsinyxx的图象可知,函数 f x的值域为2cos2,32cos2, 所以 C不正确; 又由 2
17、2 23 ,所以 1 cos20 2 ,则02cos2 1, 令 0f x ,可得2 sinsin2cos2xx, 由图象可知,函数 f x在0,2上的所有零点之和为4,所以 D正确. 故选:ABD. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用,其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解 答的关键,着重考查转化思想,以及数形结合思想的应用,以及推理与运算能力,属于中档试题. 三、填空题三、填空题 13. 在 1 n x x 的展开式中,各项系数之和为64,则展开式中的常数项为_. 【答案】15 【解析】 【分析】 利用展开式各项系数之和求得n的值,由此写出展开式的通项,令指数为零求得参数
18、的值,代入通项计算 即可得解. 【详解】 1 n x x 的展开式各项系数和为264 n ,得6n, 所以, 6 1 x x 的展开式通项为 6 3 6 2 166 1 r r r rr r TCxCx x , 令 63 0 2 r ,得2r =,因此,展开式中的常数项为 2 6 15C . 故答案为:15. 【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算,涉及二项展开式中各项系数和的计算,考查计算能力,属 于基础题. 14. 某班甲、乙两位同学在高二第一学期的 5次物理考试成绩的茎叶图如图所示,则这两位同学中成绩比较 稳定的同学的方差是_ 【答案】10 【解析】 【分析】 由茎叶图中的数据判断甲组
19、数据方差较小,再计算它的平均数和方差 【详解】解:由茎叶图中的数据知,甲组数据分布在81 90之间,乙组数据分布在79 91之间, 所以甲组数据较为稳定,计算 1 818283849084 5 x 甲 , 方差是 222222 1 (8184)(8284)(8384)(8484)9084)10 5 s 甲 故答案为:10 【点睛】本题考查了利用茎叶图中的数据计算平均数和方差的问题,属于基础题 15. 设由复数组成的数列 n a满足: 对任意的 * nN, 都有 1n n a i a (i是虚数单位), 则数列 n a的前 2020 项和的值为_. 【答案】0 【解析】 【分析】 根据等比数列的
20、定义和通项公式得前 n 项和公式,可求得 22019 20201 1+ + +Si iia ,再运用 32019504 4+332 1+ + +0i iiiii ,可得答案. 【详解】设数列 n a的首项为 1 a,数列 n a的前 n项和为 n S,则由已知得 1 1 n n aa i ,所以 2019 202012320 2 201 +1+ + +Saaaaai ii ,而 32019504 4+332 1+ + +0i iiiii , 所以 23 20201 5041+ + +=0Si iai , 故答案为:0. 【点睛】本题考查等比数列的定义,等比数列的前 n 项和,复数的运算,关键在
21、于运用等比数列的前 n项公 式求和, 2 1i , 23 1+ + +0i ii ,属于中档题. 16. 已知函数 2 2 x a f xxae e ,若存在 x0,使得 0 2 4 1 f x e ,则实数 a的值为_. 【答案】 2 2 1 1 e e 【解析】 【分析】 函数 ( )f x可以看作是动点 , x M x e 与动点, a Na e 之间距离的平方, 问题转化为求直线上的动点到曲 线的最小距离,由 x ye得 1 x ye e ,曲线上点 1 1,M e 到直线 1 yx e 的距离最小,要使 0 2 4 1 fx e ,则 0 2 4 1 f x e ,然后求解 a即可
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