2021届重庆市沙坪坝区高三上学期第二次质量检测数学试题(教师版)
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1、2021 级高三第二次质量检测数学试题级高三第二次质量检测数学试题 一、单项选择题:本题共一、单项选择题:本题共 8 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合 2 log (1)0Axx,22Bxx,则AB ( ) A. (1,2) B. (1,2 C. 2,2) D. (2,2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据对数函数的单调性化简集合A,再根据集合的交集运算可的结果. 【详解】由 2 log (1)0 x得01 1x ,即12x,所以 |12Axx, 又22Bxx,所以AB |12xx. 故选:A.
2、【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式,考查了集合的交集运算,属于基础题. 2. 设i为虚数单位,如图,网格纸上小正方形的边长为 1,图中复平面内点Z 表示复数z,则表示复数 (1) iz 的点是( ) A. M B. N C. P D. Q 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据题意得到2zi,从而得到(1)3izi,即可得到答案. 【详解】由图知:2zi,(1)(1) (2)3iziii, 在复平面内对应的点为3,1,为P点. 故选:C 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算,同时考查复数的几何意义,属于简单题. 3. 为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况,现从全年级 1
3、004人中抽取 50人参加测试首 先由简单随机抽样剔除 4名学生,然后剩余的 1000名学生再用系统抽样的方法抽取,则( ) A. 每个学生入选的概率均不相等 B. 每个学生入选的概率可能为 0 C. 每个学生入选的概率都相等,且为 25 502 D. 每个学生入选的概率都相等,且为 1 20 【答案】C 【解析】 【分析】 根据简单随机抽和系统抽样都是等可能抽样以及概率公式计算可得结果. 【详解】因为简单随机抽和系统抽样都是等可能抽样,所以每个学生入选的概率都相等,且入选的概率等 于 5025 1004502 . 故选:C 点睛】本题考查了简单随机抽和系统抽样,考查了概率公式,属于基础题.
4、4. 已知tan2,则 2 22 1 sin2cos sin2cos ( ) A. 3 2 B. 5 2 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 巧用“1”,化弦为切,由已知可得解. 【详解】 222 2222 1 sin2cossin2sincos2cos sin2cossin2cos 2 2 tan2tan2 5 tan2 故选:D 【点睛】本题关键在于化弦为切,属于基础题. 5. 函数 cos ( ) x xa f x e 在 2 x 处取得极值,则( ) A. 1a ,且 2 为极大值点 B. 1a ,且 2 为极小值点 C. 1a,且 2 为极大值点 D. 1a,且 2
5、为极小值点 【答案】B 【解析】 【分析】 先求导,再根据题意得()0 2 f ,由此求得1a ,再根据导数研究函数的极值 【详解】解: cos ( ) x xa f x e , sincos ( ) x xxa fx e 2sin 4 x xa e , 又 ( )f x在 2 x 处取得极值, 2 1 ()0 2 a f e ,得1a , 2sin1 4 ( ) x x fx e , 由( )0fx 得,2sin10 4 x ,即 2 sin 42 x , 3 22, 444 kxkkZ ,即22, 2 kxkkZ , 同理,由( )0fx 得,22, 2 kxkkZ , ( ) fx在 2
6、 x 处附近的左侧为负,右侧为正, 函数 ( )f x在 2 x 处取得极小值, 故选:B 【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值,属于基础题 6. 设 0.3 0 2a ., 2 log 3b , 3 log 4c ,则( ) A. abc B. acb C. cab D. bac 【答案】B 【解析】 【分析】 利用指数函数的性质可判断出a的范围,再利用对数函数的性质判断, b c的范围,从而可得结论 【详解】解:因0.2xy 在R上为减函数,且0.30, 所以 . . 0 30 00 20 21 ,即01a, 因为 2 logyx在(0,)上为增函数,且 3 2 234
7、 , 所以 3 2 222 log 2log 3log 4 ,得 2 3 log 32 2 ,即 3 2 2 b, 因为 3 logyx在(0,)上为增函数,且 3 2 343 , 所以 3 2 333 log 3log 4log 3 ,得 3 3 1log 4 2 ,即 3 1 2 c, 所以acb, 故选:B 【点睛】此题考查对数式、指数式比较大小,利用了指数函数和对数函数的单调性,属于基础题 7. 函数 ( )sin()(0,0,0)f xAxA 的部分图象如图所示,则( ) A. ( )3sin 23 x f x B. 2 ( )3sin 23 x f x C. 3 ( )sin 23
8、 f xx D. 3 ( )sin 23 f xx 【答案】B 【解析】 【分析】 由图像可知3A,因为 3 (0)3sin 2 f,所以 3 或 2 3 ,然后分 3 和 2 3 两种情况结 合函数图像求解的值即可 【详解】解:由图像可知 3A , 因为 3 (0)3sin 2 f,所以 3 或 2 3 , 当 3 时, 55 ()3sin()3 333 f ,即 5 sin()1 33 , 解得 53 2, 332 kkZ ,即 76 , 105 k kZ,没有选项满足题意; 当 2 3 时, 552 ()3sin()3 333 f ,即 52 sin()1 33 , 解得 523 2,
9、332 kkZ ,即 16 , 25 k kZ, 当0k 时, 1 2 ,此时 2 ( )3sin 23 x f x , 故选:B 【点睛】此题考查三角函数的图像和性质的应用,考查数形结合的思想,属于基础题 8. 设( ) fx是函数 ( )f x的导函数, 若对任意实数x, 都有 ( )( )( )0 x fxf xf x , 且( 1 )2020fe, 则不等式( )20200 x xf xe的解集为( ) A. 1,) B. (,1 C. (0,2020 D. (1,2020 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数 ( ) ( ) x xf x g x e ,利用导数可得( )g x为
10、单调递增函数,将原不等式化为( )(1)g xg,根据单调性 可解得结果. 【详解】构造 ( ) ( ) x xf x g x e , 则 2 ( )( )( ) ( ) xx x xfxf xexf x e g x e ( )( )( ) x xfxf xxf x e ( )( )( ) x x fxf xf x e 0, 所以( )g x为单调递增函数, 又 (1) (1)2020 f g e ,所以不等式( )20200 x xf xe等价于 ( ) 2020 x xf x e 等价于( )(1)g xg,所以 1x,故原不等式的解集为1,), 故选:A 【点睛】本题考查了构造函数并利用
11、导数得到函数的单调性,考查了利用单调性解不等式,考查了转化化 归思想,属于中档题. 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求 9. 下列函数中,既是奇函数,又是增函数的为( ) A. 22 xx y B. 1 yx x C. 2 2 0 0 xx y xx D. 2 ln1yxx 【答案】ACD 【解析】 【分析】 对各选项对应的函数逐个研究判断,即可求解 【详解】对于 A,设 22 xx f x ,定义域为R, fxf x,而函数2xy 在R上递增,函数 1 2 2 x x y 在R上递减,
12、所以函数22 xx y 在R上递增,满足题意,正确; 对于 B,设 1 f xx x ,定义域为,00,, fxf x,而函数y x 在R上递增, 函数 1 y x 在,0和0,上递减,所以函数 1 yx x 在,0和0,上递增, 在整个定义域上 不是增函数,不符合题意,不正确; 对于 C,作出函数的图象,如图所示: 根据图象可知,满足题意,正确; 对于 D,设 2 ln1xfxx ,定义域为R, ln10f xfx,即 fxf x,根据 复合函数的单调性易知函数 2 ln1xfxx 在0,上递增,而函数 f x为奇函数,所以函数 f x在,0上递增,故函数 2 ln1yxx 在R上递增,满足
13、题意,正确 故选:ACD 【点睛】本题主要考查函数的性质的判断,涉及幂函数,指数函数,对数函数的性质应用,单调性的运算, 奇偶性的判断,属于中档题 10. 某中学高一年级半期考试后将进行新高考首选科目的选择,每位同学必须在“物理”、“历史”中二选 一学校采用分层抽样的方法,抽取了该年级部分男、女学生选科意愿的一份样本,并根据统计结果绘制 如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息,下列统计结论正确的是( ) A. 该年级男生数量多于女生数量 B. 样本中对物理有意愿的学生数量多于对历史有意愿的学生数量 C. 样本中对物理有意愿的男生人数多于对历史有意愿的男生人数 D. 样本中对历史有意愿的女生
14、人数多于对物理有意愿的女生人数 【答案】BC 【解析】 【分析】 由图 1 可知选项A错误;由图 2可知选项B,C正确, 选项D不正确. 【详解】由图 1 可知女生数量多于男生数量,故选项A错误; 由图 2 可知样本中对物理有意愿的学生数量多于对历史有意愿的学生数量,故选项B正确; 由图 2 可知样本中对物理有意愿的男生人数多于对历史有意愿的男生人数,故选项C正确; 由图 2 样本中对历史有意愿的女生人数少于对物理有意愿的女生人数,故选项D不正确. 故选:BC. 【点睛】本题考查了等高条形图的应用,属于基础题. 11. 下列说法正确的有( ) A. ,使sin()sinsin B. ,有 22
15、 sin()sin()sinsin C. ,使cos()coscos D. , 有 22 cos()cos()coscos 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据取特值法,易知 A, C正确,D 错误;根据两角和与差的正弦公式展开可知 B正确 【详解】取0,易知 A正确 D错误;取 3 , 3 ,C正确; 因为sin()sin()(sincoscossin)(sincoscossin) 22222222 sincoscossinsin1 sin1 sinsin 22 sinsin,故 B正确, 故选:ABC 【点睛】本题主要考查两角和与差的正弦公式,余弦公式的理解和应用,属于基础题 12.
16、已知函数 ( )sinf xxx ,xR,则下列说法正确的有( ) A. ( )f x是偶函数 B. ( )f x是周期函数 C. 在区间, 2 上, ( )f x有且只有一个极值点 D. 过(0,0)作( )yf x的切线,有且仅有 3条 【答案】ACD 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性的定义易知函数( )sinf xxx为偶函数, 所以A正确; 根据周期性的定义可判断B错误; 根据导数判断其单调性,易知 ( )f x有且只有一个极值点,C 正确;根据导数的几何意义求曲线过某点的切 线方程可知 D 正确 【详解】对于 A,因为函数的定义域为R,显然 f xfx,所以函数 ( )f x是偶
17、函数,正确; 对于 B,若存在非零常数T,使得 ()( ) f x Tf x+=,令 2 x ,则sin 222 TT ,即 cos 22 TT , 令0 x, 则s in0TT , 因为0T , 所以sin0T , 即c o s1T 或cos1T 若 c o s1T ,则 22 T ,解得0T ,舍去;若cos1T ,则 22 T ,解得T,所以若 存在非零常数T,使得 ()( ) f x Tf x+=,则T 即 f xf x, 令 3 2 x , 则 3 22 ff , 而 22 f , 33 22 f , 不符合题意 故 不存在非零常数T,使得 ()( ) f x Tf x+=,B错误;
18、 对于 C ,( )sinf xxx,xR,( )sincosfxxxx ,( )2cossinfxxxx , 当, 2 x ,( )2cossin0fxxxx ,故( ) fx单减, 又10 2 f ,( )0f ,故( )0fx 在, 2 上有且仅有一个解, ( )f x有且只有一个极值 点,故 C 正确; 对于 D,设切点横坐标为t,则切线方程为sin(sincos )()ytttttxt, 将 (0,0) 代入,得 2 cos0tt ,解得0t 或 2 tk ,kZ 若0t ,则切线方程为0y ;若 2 tk ,则y x ,D正确 故选:ACD 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断,周
19、期性的定义的应用,利用导数的几何意义求曲线过某点的切 线方程,以及利用导数研究函数的极值点,属于中档题 三、填空题三、填空题 13. 已知函数 1 sin 2 ( ) 1 (1) 2 xx f x fxx ,则 2 3 f _ 【答案】 3 2 【解析】 【分析】 根据函数解析式,由自变量的范围代入相应的解析式即可求出 【详解】因为 2553 sinsin 33332 ff 故答案为: 3 2 【点睛】本题主要考查分段函数求值,涉及诱导公式的应用,属于基础题 14. 已知实数a,b满足|ln | |ln|ab ,ab,则 14 ab 的最小值为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 先根据已知条件
20、可得1,0,0abab,再根据基本不等式可求得结果. 【详解】因|ln| |ln|ab且ab,所以lnlnab,即lnln0ab, 所以ln()0ab , 所以1,0,0abab, 所以 14 ab 4 24 ab ,当且仅当 1 ,2 2 ab时,等号成立, 故答案为:4. 【点睛】本题考查了对数的性质,考查了利用基本不等式求最值,属于基础题. 15. 2020年国庆档上映的影片有夺冠 , 我和我的家乡 , 一点就到家 , 急先锋 , 木兰横空出世 , 姜子牙 ,其中后两部为动画片甲、乙两位同学都跟随家人观影,甲观看了六部中的两部,乙观看了六 部中的一部,则甲、乙两人观看了同一部动画片的概率
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