2021届重庆市渝北区高三上学期阶段性测试数学试题(教师版)
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1、2021 级高三阶段性检测数学试题级高三阶段性检测数学试题 一、单选题:本大题共一、单选题:本大题共 8 小题,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的小题,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的 1. 与角2021终边相同的角是( ) A. 221 B. 2021 C. 221 D. 139 【答案】A 【解析】 【分析】 根据终边相同的角相差360的整数倍,逐个判断即可. 【详解】2021360 =5 o 余221,故 A 正确,B、 C、 D中的角均不与角2021终边相同. 故选:A. 【点睛】本题考查了终边相同角的概念,考查了简单的计算,属于概念题,本题属于基
2、础题. 2. 已知 i为虚数单位,若 2 1 mi i 是纯虚数,则实数 m的值为( ) A. 1 2 B. 2 C. 2 D. 1 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为 0且虚部不为 0列式求解 【详解】解: 2(2 )(1)22 1(1)(1)22 mimiimm i iii 是纯虚数, 2 0 2 2 0 2 m m ,即2m 故选:C 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,属于基础题 3. 我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求音量大小的单位是分贝(dB), 对于一个强度为I的声波,其音量的大小可由
3、如下公式计算: 0 10lg I I (其中 0 I是人耳能听到的声音 的最低声波强度),则60dB的声音强度 1 I是50dB的声音强度 2 I的( ) A. 7 6 倍 B. 7 6 10 倍 C. 10 倍 D. 7 ln 6 倍 【答案】C 【解析】 【分析】 由题设中的定义,将音量值代入 0 10 I lg I ,计算出声音强度 1 I与声音强度 2 I的值,再计算出即可求出倍 数 【详解】解:由题意,令 1 0 6010 I lg I ,解得, 6 10 10II,令 2 0 5010 I lg I ,解得, 5 20 10II, 所以 1 2 10 I I 故选:C 【点睛】本题
4、考查对数的计算与对数性质在实际中的应用,熟练掌握对数运算性质是解答的关键,属于基 础题. 4. 小涛、小江、小玉与本校另外 2名同学一同参加中国诗词大会的决赛,5人坐成一排,若小涛与小 江、小玉都相邻,则不同坐法的总数为( ) A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】 首先将小涛与小江、小玉捆绑在一起,其中小涛在小江与小玉之间,再与其他两个人全排列,按照分步乘 法计算原理计算可得; 【详解】解:将小涛与小江、小玉捆绑在一起,与其他两个人全排列,其中小涛位于小江、小玉之间,按 照分步乘法计算原理可得 32 32 12AA 故选:B 【点睛】本题考查捆绑法解决排
5、列组合问题,属于基础题. 5. 德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一, 他从几何问题出发, 引进微积分概念.在研究切线时认识到, 求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值,以及当此差值变成无限小时它们的比值,这也 正是导数的几何意义设 fx 是函数 f x的导函数,若 0fx ,且对 1 x, 2 xR,且 12 xx总有 12 12 22 f xf xxx f ,则下列选项正确的是( ) A. 2ff ef B. 2ffef C. 1212ffff D. 2211ffff 【答案】D 【解析】 【分析】 由 0fx ,得 f x在R上单调递增,并且由 f x的图象是向上凸,进而判
6、断选项. 【详解】由 0fx ,得 f x在R上单调递增,因为2e,所以 2ff ef, 故 A 不正确; 对 1 x, 2 xR,且 12 xx,总有 12 12 22 f xf xxx f ,可得函数的图象是向上凸,可用如图的 图象来表示, 由 fx 表示函数图象上各点处的切线的斜率,由函数图象可知, 随着x的增大, f x的图象越来越平缓,即切线的斜率越来越小, 所以 2ffef ,故 B不正确; 21 21 2 1 AB ff ffk ,表示点 1,1f与点 22f , ,连线的斜率, 由图可知 21 AB fkf,所以 D 正确,C不正确. 故选:D. 【点睛】本题考查以数学文化为背
7、景,导数的几何意义,根据函数的单调性比较函数值的大小,属于中档 题型. 6. 函数 2 ln1f xxkx 的图象不可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 假设函数为奇函数和偶函数时,分别根据图象求得k的值,即可得答案; 【详解】因为 A、B选项中,图像关于原点对称, 所以 f x为奇函数, 0f xfx, 即 22 ln1ln10,xkxxkx 22222 ln1ln1,10 xk xkx , 所以1k 当 1,kf x的图像为选项 A; 当 1,kf x的图像为选项 B 而 C、D选项中,图像关于y轴对称, 所以 f x为偶函数, f xfx, 即 22 ln
8、1ln1,0 xkxxkxkx ,所以0k 当 0,0kf x,故 f x的图像为选项 D, 故 f x的图像不可能为 C 故选:C 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象,考查函数与方程思想、数形结合思想,考查逻辑推 理能力、运算求解能力. 7. 已知函数 3 lnf xxmx在区间2,3上不是单调函数,则m的取值范围是( ) A. , 81 B. 24, C. 81, 24 D. 81, 【答案】C 【解析】 【分析】 求得 3 2 3 30 mxm fxxx xx ,然后分0m ,0m两种情况讨论,得到 f x的单调性,然后 可建立不等式求解. 【详解】由 3 lnf xxmx可
9、得 3 2 3 30 mxm fxxx xx , 当0m 时, 0fx , f x在0,上单调递增,不满足题意; 当0m时,由 0fx 得 3 3 m x ,由 0fx得3 0 3 m x 所以 f x在 3 0, 3 m 上单调递减,在 3 , 3 m 上单调递增, 要使得函数 3 lnf xxmx在区间2,3上不是单调函数, 则有 3 23 3 m ,解得:8124m . 故选:C 【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性,考查了分类讨论的思想. 8. 已知函数 f x对任意xR都有 422f xf xf,1yf x的图象关于点1,0对称, 则20201f ( ) A. 0 B. 2
10、C. 1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 由1yf x的图象关于点1,0对称有 f x关于点(0,0)对称: f x是奇函数;函数 f x对任意 xR都有 422f xf xf, 即 ( 0 ) 0f 且(2)0f可证 f x是周期函数, 进而利用奇函数、 周期性即可求20201f的值 【详解】1yf x的图象关于点1,0对称,知: f x关于点(0,0)对称 即 f x在xR上是奇函数,故有()( )fxf x 且(0)0f 由 422f xf xf,有: (0)( 4)2 (2) (4)(0)2 (2) fff fff 可得(2)0f (4)( )(4)4)(4)( )f xf
11、xfxf xf x ( )(8)f xf x,即 f x是周期为 8的函数 而(2020)(8 2524)(4)fff,又(4)0f 20201 1f 故选:D 【点睛】本题考查了判断抽象函数的奇偶性、周期性,利用奇偶性和周期性求函数值,注意1yf x的 图象关于点1,0对称即是 f x关于点(0,0)对称,奇函数 f x在xR上都有意义即有(0)0f等奇 函数的性质应用 二、多选题:本大题共二、多选题:本大题共 4 小题,分在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的小题,分在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的 9. 下列函数中,既是偶函数又是区间(0, )上增函数的有( ) A.
12、| | 2 x y B. 2 3 yx C. 2 1yx D. 3 yx 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据偶函数的定义,f(x)f(x)进行判断,再根据解析式判断单调性; 【详解】A、令 | | ( )2 x yf x ,则 f(x) | 2 x | | 2 x f(x),为偶函数,但在(0,+)上,2 x y 是 减函数,故错误; B、令 2 3 ( )yf xx ,f(x) 22 33 () xx ,是偶函数,且在区间(0,)上是增函数,故 B正确; C、令 2 ( )1yf xx,f(x)(x)2+1x2+1f(x),且在区间(0, )上是增函数,故 C正确; D、令 3 ( )y
13、f xx,f(x) 3 ()xx3f(x),是奇函数,故 D错误; 故选 BC 【点睛】此题主要考查函数的奇偶性,偶函数的性质,关键是对基本初等函数的性质要熟悉,是基础题; 10. 若 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx,则下列结论中正确的是( ) A. 0 1a B. 12345 2aaaaa C. 5 012345 3aaaaaa D. 012345 1aaaaaa-+-+-= - 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据赋值法,分别令0 x,1x ,1x,可判断 ABC;根据二项展开式的通项公式,判断出对应项系 数的正负,即可判断 D 选项. 【详解】因为
14、 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx, 令0 x,则 5 0 11a ,故 A 正确; 令1x 代入 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx, 得 012345 1aaaaaa,所以 123450 12aaaaaa ,故 B错; 令1x代入 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx, 得 012 5 345 3aaaaaa,故 C 正确; 因为二项式 5 1 2x的展开式的第1r 项为 15( 2) rrr r TCx , 所以当r为奇数时, 5( 2) rr C为负数;即0 i a (其中i为奇数), 所以
15、 012345012345 1aaaaaaaaaaaa;故 D正确. 故选:ACD. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,熟记二项式定理,灵活运用赋值法求解即可,属于常考题型. 11. 若方程 22 1 31 xy tt 所表示的曲线为C,则下面四个选项中正确的是( ) A. 若13t ,则C为椭圆 B. 若C为椭圆,且长轴在 y轴上,则1 2t C. 若C为双曲线,则3t 或1t D. 若C是双曲线,则其离心率有12e 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据选项逐个分析可得答案, 选项A中2t 时, 曲线C为圆; 选项B可得23t ; 选项C可得3t 或1t ; 选项 D可得1 2e .
16、【详解】对于选项 A,当2t 时,曲线C化为 22 1xy,此时C为圆,故 A 不正确; 对于选项 B,若C为椭圆,且长轴在y轴上,则130tt ,解得23t ,故 B 不正确; 对于选项 C,若C为双曲线,则310tt,解得3t 或1t ,故 C 正确; 对于选项 D,若C是双曲线,则3t 或1t , 当3t 时, 2 242 21,2 11 t e tt ,此时离心率1 2e . 当1t 时, 2 422 21,2 33 t e tt ,此时离心率1 2e ;故 D 正确. 故选:CD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的识别,明确各类曲线方程的特点是求解本题的关键,侧重考查数学运算 的核心素
17、养. 12. 已知logxa y,logybx, y cx , x dy,其中x、y为正数且1x , 1y ,则( ) A. 对任意的x和y,都有cd B. 存在x和y,使得ab C. a,b,c,d中大于 1的数有奇数个 D. 存在x和y,使得a bcd 【答案】BD 【解析】 【分析】 应用特殊值法:2xy有cd、ab且a,b,c,d中大于 1 的数有偶数个;2,3xy有 bacd, 4,3xy 由此即可判断选项正误 【详解】由x、y为正数且1x ,1y ,若令2xy,则1ab,4cd 根据选项中描述,知:A、C 错误,B 正确 当x y 时,分类讨论如下 若x y :2,3xy,有 32
18、 2839cd ,而 32 log 21log 32ba ,即bacd 若x y : 取4 ,3xy, 4 log 3(0,1)a , 3 log 41b , 3 644c , 4 813d 满足a bcd, 故 D 正确 故选:BD 【点睛】本题考查了对数、指数比较大小,利用特殊值法排除错误选项即可 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,把答案填写在答题卡相应位置上小题,把答案填写在答题卡相应位置上 13. 已知,2, 3 tan 4 ,则cos_ 【答案】 4 5 【解析】 【分析】 根据同角三角函数的关系,直接计算即可. 【详解】由,2,且 3 tan 4 , 可知在第四象
19、限, 可取在终边上一点为(4, 3), 由任意角三角函数公式 22 44 cos= 5 4( 3) x r , 故答案为: 4 5 . 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系以及计算,在计算正余弦和正切函数互化时,可以利用任意角三 角函数终边上的点进行计算,属于简单题. 14. 已知一个扇形的周长为8cm,则当该扇形的半径r _cm时,面积最大. 【答案】2 【解析】 【分析】 首先设出扇形的半径和弧长,建立关系式,结合二次函数的图象与性质求解最值即可. 【详解】设扇形的半径为r,弧长为l,则28rl+ =, 扇形的面积为 2 11 82 22 rlr rr 2 4(2)4rr , 所以当2r
20、=时,面积最大为4. 故答案为 2 【点睛】该题考查的是有关扇形的面积的最值的问题,涉及到的知识点有扇形的周长,扇形的面积,二次 函数的最值,属于简单题目. 15. 已知点P是抛物线 2 4yx上动点,且点P在第一象限,F是抛物线的焦点,点A的坐标为1,0, 当 PF PA 取最小值时,直线AP的方程为_ 【答案】10 xy 【解析】 【分析】 由1,0A 在准线上,过抛物线上点P作PD垂直与准线,得到cos PD PAF PA ,得出 PAF最大时即过点A的直线与抛物线相切,设出切线方程为 (1)yk x ,结合判别式,即可求解. 【详解】由题意,抛物线的方程 2 4yx可得焦点 (1,0)
21、F ,1,0A 在准线上, 过抛物线上的点P作PD垂直与准线交于D点, 由抛物线的定义,可得PFPD, 在 PAD 中,coscos PD DPAPAF PA , 所以 PD PA 最小时,则cosPAF最小,此时PAF最大, 而PAF最大时即过点A的直线与抛物线相切, 设过1,0A 与抛物线相切的直线方程为(1)yk x, 联立方程组 2 (1) 4 yk x yx ,整理得 2 4 40yy k , 则 2 4 ()4 40 k ,解得1k , 又由点P在第一象限,所以1k , 所以直线AP的方程为 1yx ,即10 xy . 故答案为:10 xy . 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及
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