2021年江苏省中考一轮复习数学训练: 二次函数综合题(含答案)
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1、二次函数综合题 类型一 线段问题 1. (2020 丹东)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y1 2x 2bxc 与 x 轴交于 A,B 两点,A 点坐标 为(2,0),与 y 轴交于点 C(0,4),直线 y1 2xm 与抛物线交于 B,D 两点 (1)求抛物线的函数表达式; (2)求 m 的值和 D 点坐标; (3)点 P 是直线 BD 上方抛物线上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 H,交直线 BD 于点 F,过点 D 作 x 轴的平行线,交 PH 于点 N,当 N 是线段 PF 的三等分点时,求 P 点坐标 第 1 题图 2. (2020 云南省卷)抛物线 yx2 bxc 与
2、x 轴交于 A、 B 两点, 与 y 轴交于点 C, 点 A 的坐标为(1, 0),点 C 的坐标为(0,3)点 P 为抛物线 yx2bxc 上的一个动点,过点 P 作 PDx 轴于点 D,交直 线 BC 于点 E. (1)求 b、c 的值; (2)设点 F 在抛物线 yx2bxc 的对称轴上,当ACF 的周长最小时,直接写出点 F 的坐标; (3)在第一象限, 是否存在点 P,使点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 的距离的 5 倍?若存在, 求出点 P 所有的坐标;若不存在,请说明理由 类型二 面积问题 3. 如图, 二次函数 yx2bx8 的图象与 x 轴交于点 A、 B,
3、 与 y 轴交于点 C, 点 B 的坐标为(2, 0), 点 D(0,2)在 y 轴上,连接 AD. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 是 x 轴上方抛物线上一点,且点 P 的横坐标大于4,过点 P 作 PHAD,垂足为 H,直线 PH 与 x 轴交于点 K,且 SHKA1 2SPHA,求点 P 的坐标 第 3 题图 4. (2020 宿迁)二次函数 yax2bx3 的图象与 x 轴交于 A(2,0)、B(6,0)两点,与 y 轴交于点 C,顶 点为 E. (1)求这个二次函数的表达式,并写出点 E 的坐标; (2)如图,D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点,当 BD 的垂直平分线恰
4、好经过点 C 时,求点 D 的坐标; (3)如图,P 是该二次函数图象上的一个动点,连接 OP,取 OP 中点 Q,连接 QC、QE、CE.当CEQ 的面积为 12 时,求点 P 的坐标 图 图 第 4 题图 类型三 特殊三角形的存在探究问题(含菱形) 5. 已知二次函数 yax2(3a1)x3(a0) (1)该函数的图象与 y 轴交点坐标为_; (2)当二次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数,且 a 为负整数 求 a 的值及二次函数的表达式; 画出二次函数的大致图象(不列表,只用其与 x 轴的两个交点 A、B,且点 A 在点 B 的左侧,与 y 轴 的交点 C 及其顶点 D,并标
5、出点 A,B,C,D 的位置); (3)在(2)的条件下,二次函数的图象上是否存在一点 P,使PCA 为直角三角形,如果存在,求出点 P 的坐标;如果不存在,请说明理由 第 5 题图 6. 如图, 抛物线 y1 3x 21 3x4 与 x 轴交于 A, B 两点(点 A 在点 B 的左侧), 与 y 轴交于点 C, 连接 AC, BC.点 P 是第四象限内抛物线上的一个动点,点 P 的横坐标为 m,过点 P 作 PMx 轴,垂足为点 M,PM 交 BC 于点 Q,过点 P 作 PEAC 交 x 轴于点 E,交 BC 于点 F. (1)求 A,B,C 三点的坐标; (2)试探究在点 P 运动的过
6、程中, 是否存在这样的点 Q, 使得以 A, C, Q 为顶点的三角形是等腰三角形 若 存在,请直接写出此时点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)请用含 m 的代数式表示线段 QF 的长,并求出 m 为何值时 QF 有最大值 第 6 题图 类型四 平行四边形的存在探究问题 7. (2020 广西北部湾经济区卷)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,已知 B(3,0),C(0,3),连接 BC,点 P 是抛物线上的一个动点,点 N 是对称轴 上的一个动点 (1)求该抛物线的解析式; (2)若PAB 的面积为 8,求点 P 的坐
7、标; (3)若点 P 在直线 BC 的下方, 当点 P 到直线 BC 的距离最大时, 在抛物线上是否存在点 Q, 使得以点 P, C,N,Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 第 7 题图 8. (2020 常德)如图,已知抛物线 yax2过点 A(3,9 4) (1)求抛物线的解析式; (2)已知直线 l 过点 A、M(3 2,0)且与抛物线交于另一点 B,与 y 轴交于点 C,求证:MC 2MA MB; (3)若点 P、D 分别是抛物线与直线 l 上的动点,以 OC 为一边且顶点为 O、C、P、D 的四边形是平行四 边形,求所有符合条件的 P 点坐
8、标 第 8 题图 类型五 角度问题 9. (2020 贵港)如图,已知抛物线 y1 2x 2bxc 与 x 轴相交于 A(6,0),B(1,0)两点,与 y 轴相交于 点 C,直线 lAC,垂足为 C. (1)求该抛物线的表达式; (2)若直线 l 与该抛物线的另一个交点为 D,求点 D 的坐标; (3)设动点 P(m,n)在该抛物线上,当PAC45 时,求 m 的值 第 9 题图 10. (2020 内江)如图,抛物线 yax2bxc 经过 A(1,0),B(4,0),C(0,2)三点,点 D(x,y)为抛 物线上第一象限内的一个动点 (1)求抛物线所对应的函数表达式; (2)当BCD 的面
9、积为 3 时,求点 D 的坐标; (3)过点 D 作 DEBC,垂足为点 E,是否存在点 D,使得CDE 中的某个角等于ABC 的 2 倍?若存 在,求点 D 的横坐标;若不存在,请说明理由 第 10 题图 类型六 与圆有关的问题 11. (2020 宜宾)如图,已知二次函数的图象顶点在原点,且点(2,1)在二次函数的图象上,过点 F(0, 1)作 x 轴的平行线交二次函数的图象于 M、N 两点 (1)求二次函数的表达式; (2)P 为平面内一点,当PMN 是等边三角形时,求点 P 的坐标; (3)在二次函数的图象上是否存在一点E, 使得以点E为圆心的圆过点F和点N, 且与直线y1相切 若 存
10、在,求出点 E 的坐标,并求E 的半径;若不存在,说明理由 第 11 题图 12. 如图,抛物线 yax2bxc(a0),与 x 轴交于 A(4,0)、O 两点,点 D(2,2)为抛物线的顶点 (1)求该抛物线的解析式; (2)点 E 为 AO 的中点,以点 E 为圆心、以 1 为半径作E,交 x 轴于 B、C 两点,点 M 为E 上一点 如图,射线 BM 交抛物线于点 P,设点 P 的横坐标为 m,当 tanMBC2 时,求 m 的值; 如图,连接 OM,取 OM 的中点 N,连接 DN,则线段 DN 的长度是否存在最大值或最小值?若存 在,请求出 DN 的最值;若不存在,请说明理由 第 1
11、2 题图 参考答案 1. 解:(1)将点 A(2,0),C(0,4)代入抛物线解析式, 得 1 242bc0 c4 , 解得 b1 c4, 抛物线的函数表达式为 y1 2x 2x4; (2)令 y1 2x 2x40,解得 x4 或 x2, B(4,0), 将 B(4,0)代入直线 y1 2xm 中, 得 01 24m,解得 m2. 联立 y 1 2x 2x4, y1 2x2, 解得 x4, y0,或 x1, y5 2, 点 D 的坐标为(1,5 2); (3)设 H(n,0),则 P(n,1 2n 2n4),N(n,5 2),F(n, 1 2n2), PNx 轴,PF1 2n 2n41 2n2
12、 1 2n 23 2n2,NF 5 2( 1 2n2) 1 2 1 2n. 当 NF1 3PF 时, 1 2 1 2n 1 3( 1 2n 23 2n2),解得 n1 或 n1, 当 n1 时,点 N,F,P 重合,不符合题意,舍去, 点 P(1,9 2); 当 PN1 3PF 时, 1 2n 2n45 2 1 3( 1 2n 23 2n2),解得 n1(舍去)或 n 5 2, 点 P(5 2, 27 8 ) 综上,当 N 为线段 PF 的三等分点时,点 P 的坐标为(1,9 2)或( 5 2, 27 8 ) 2. 解:(1)把 A(1,0),C(0,3)的坐标分别代入 yx2bxc, 得 1
13、bc0 c3 , 解得 b2 c3, b2,c3; (2)F(1,2); 【解法提示】由(1)可知 yx22x3,当 y0 时,x22x30.解得 x11,x23,A(1,0),B(3, 0)如解图,在ACF 中,A、C 固定,三角形周长最小时,AFCF 最小由题意可知,点 A 关于 对称轴直线 x1 的对称点为点 B,AFBF,AFCFBFCFBC,点 F 与 B,C 共线,即点 F 为抛物线对称轴直线 x1 与 BC 的交点时, AFCF 最小 设直线 BC 的解析式为 ykx3.把 B(3, 0)代入, 得 3k30,解得 k1,yBCx3.把抛物线对称轴 x1 代入,得 y132,F(
14、1,2) (3)存在满足要求的点 P.如解图, 由(1)(2)知, 抛物线解析式为 yx22x3, 与 x 轴交点 A(1, 0), B(3, 0) 直线 BC 对应的函数解析式为 yx3. 设 P(n,n22n3),根据题意得 n3,E(n,n3),D(n,0),PEn23n,DEn3. 点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 的距离的 5 倍, 以 BE 为底的BEP 的面积是以 BE 为底的BED 面积的 5 倍,即 SBEP5SBED. SBEP1 2PEBD,SBED 1 2DEBD, 1 2PEBD5 1 2DEBD, PE5DE, n23n5(n3),即(n3)(n5
15、)0,解得 n3 或 n5. n3, n5,y5225312. 点 P 的坐标为(5,12) 第 2 题解图 【一题多解】存在满足要求的点 P, 设点 P(m,m22m3)(m3), 则 D(m,0),E(m,m3) PEm22m3(m3)m23m,DEm3. 如解图, 过点 P 作直线 CB 的垂线, 垂足为 M, 过点 D 作直线 CB 的垂线, 垂足为 N, 易得DNEPME. 点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到 BC 的距离的 5 倍, PM DN PE DE5,即 m23m m3 5. m3,m30, m5. 把 m5 代入,得 m22m35225312, 点 P 的坐标为(5
16、,12) 第 2 题解图 3. 解:(1)二次函数 yx2bx8 的图象与 x 轴交于点 B(2,0), 42b80, 解得 b2, 抛物线的解析式为 yx22x8; (2)如解图,延长 AD 交抛物线于点 T,过点 P 作 PFx 轴于点 F,交 AD 于点 E, 第 3 题解图 令 y0, x22x80, 解得 x4 或 x2, A(4,0) 若点 P 在直线 AT 上方, 设直线 AT 的解析式为 ykxs, 将 A、D 代入得 04ks, s2, 解得 k1 2, s2, 直线 AT 的解析式为 y1 2x2. OA4,OD2,AOD90 , AD OA2OD22 5. AHPH, F
17、ADAEF90 ,EPHPEH90 ,AEFPEH, FADEPH, cosFADOA AD 4 2 5 2 5 5 , cosEPHcosFADPH PE 2 5 5 , PH2 5 5 PE, cosFPKPF PK 2 5 5 , PK 5 2 PF. SHKA1 2SPHA,即 1 2AHKH 1 4AHPH, KH1 2PH, PKPHKH3 2PH, 5 2 PF3 2PH 3 2 2 5 5 PE, PE PF 5 6, 设 P(t,t22t8),则 E(t,1 2t2), PFt22t8, PEt22t8(1 2t2) t25 2t6. 5(t22t8)6(t25 2t6),
18、解得 t1 或 t4(舍去), P(1,9); 若点 P 在直线 AT 的下方,且在 x 轴上方,此时 SHKASPHA,不合题意,舍去 综上所述,满足条件的点 P 的坐标为(1,9) 4. 解:(1)二次函数 yax2bx3 的图象与 x 轴交于 A(2,0),B(6,0)两点, 4a2b30, 36a6b30,解得 a1 4, b2, 二次函数的表达式为 y1 4x 22x3. y1 4x 22x31 4(x4) 21, 顶点 E 的坐标为(4,1); (2)如解图,连接 BC,以点 C 为圆心,CB 长为半径作C,交抛物线对称轴于 D1、D2,作 CFDE,垂 足为 F, CD1CD2C
19、B, B(6,0),由(1)得 y1 4x 22x3,令 x0,得 y3, C(0,3), OB6,OC3, BC3 5. CF4, DF CD2CF2 29, D1(4,3 29),D2(4,3 29); 第 4 题解图 (3)如解图,作 QHx 轴交直线 CE 于点 H, 设 P(m,1 4m 22m3), 则 Q(m 2, 1 8m 2m3 2), E(4,1),C(0,3), 直线 CE 的函数表达式为 yx3, H(1 2m, 1 2m3), SCEQ1 2|QH|xCxE| 1 2| 1 8m 2m3 2 1 2m3|412, 当1 8m 21 2m 3 26 时,解得 m110,
20、m26, P1(10,8),P2(6,24) 当1 8m 21 2m 3 26 时,此方程无实数根 综上所述,点 P 的坐标为(10,8)或(6,24) 第 4 题解图 5. 解:(1)(0,3); 【解法提示】令 x0 时,y3,函数的图象与 y 轴交点坐标为(0,3) (2)令 y0,则 ax2(3a1)x30, (ax1)(x3)0, x11 a,x23. 二次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数,且 a 为负整数 a1, 二次函数的表达式为 yx22x3; 图象如解图所示: 第 5 题解图 (3)设点 P(m,m22m3), 当点 P 为直角顶点时,如解图,过点 P 作 PF
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