2021年江苏省徐州市县区中考数学第一次质检试卷（含答案解析）

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1、2021 年江苏省徐州市县区中考数学第一次质检试卷年江苏省徐州市县区中考数学第一次质检试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 15 的倒数是（ ） A5 B5 C D 2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 32020 年徐州市接待国内外旅游人数约为 24 800 000 人次，该数据用科学记数法表示为（ ） A2.48107 B2.48106 C0.248108 D248105 4下列运算中，正确的是（ ） Ax3+x3x6 Bx3x9x27 C （x2）3x5 Dxx2x 1 5如图，

2、点 A，B，C 在O 上，AOB72，则ACB 等于（ ） A54 B36 C28 D18 6某市 6 月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A21，21 B21，21.5 C21，22 D22，22 7如图，E 是直线 CA 上一点，FEA40，射线 EB 平分CEF，GEEF则GEB（ ） A10 B20 C30 D40 8如图，菱形 ABCD 的两个顶点 B、D 在反比例函数 y的图象上，对角线 AC 与 BD 的交点恰好是坐标 原点 O，已知点 A（1，1） ，ABC60，则 k 的值是（ ） A5 B4 C3 D2 二、填空题（本大题共二、填

3、空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 94 是 的算术平方根 10一个不透明的盒子中装有 3 个红球，2 个黄球和 1 个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸 出一个小球，恰好是黄球的概率为 11使有意义的 x 的取值范围是 12若正多边形的一个内角等于 140，则这个正多边形的边数是 13已知关于 x 的一元二次方程 x22xa0 有两个相等的实数根，则 a 的值是 14如图，在ABC 中，BC9，AC4，分别以点 A、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于 点 M、N，作直线 MN，交 BC 边于点 D，连接 AD，则ACD 的

4、周长为 15如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，连接 AC若CAB22.5，CD8cm，则O 的 半径为 cm 16 如图， 直线 yx+4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点， 把AOB 绕点 B 逆时针旋转 90后得到A1O1B， 则点 A1的坐标是 17下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第 n 个图形中白色正方形 的个数为 18如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A、B，顶点为 C，对称轴为直线 x1，给出下列结 论：abc0；若点 C 的坐标为（1，4） ，则ABC 的面积可以等于 4；M（x1，y1） ，

5、N（x2，y2） 是抛物线上两点（x1x2） ，若 x1+x22，则 y1y2；若抛物线经过点（3，1） ，则方程 ax2+bx+c+1 0 的两根为1，3其中正确结论的序号为 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 86 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤）过程或演算步骤） 19 （10 分）计算： （1） （1）2020； （2） 20 （10 分） （1）解方程：x22x30； （2）解不等式组： 21 （7 分）为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的

6、课外活动小组”为主题的调查活动， 围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类） ”的问题，在 全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查， 将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图， 其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的 30%请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若冬威中学共有 800 名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名 22 （7 分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列 问题： （1）甲家庭已有一

7、个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ； （2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率 23 （8 分） 如图， 在平行四边形 ABCD 中， 点 O 是边 BC 的中点， 连接 DO 并延长， 交 AB 的延长线于点 E， 连接 BD，EC （1）求证：BOECOD； （2）当BOD 时，四边形 BECD 是菱形 24 （8 分）徐州至上海的铁路里程为 650km从徐州乘“C”字头列车 A， “D”字头列车 B 都可到达上海， 已知 A 车的平均速度为 B 车的 2 倍，且行驶时间比 B 车少 2.5h （1）设 A 车的平均速度是 xkm/h，根据题意

8、，可列分式方程： ； （2）求 A 车的平均速度及行驶时间 25 （8 分）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为 O）的墙上当梯子位于 AB 位置时，它与地面所成的 角ABO60，当梯子底端向右滑动 0.5m（即 BD0.5m）到达 CD 位置时，它与地面所成的角CDO 5118，求梯子的长 （参考数据：sin51180.780，cos51180.625，tan51181.248） 26 （8 分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发， 沿同一条公路匀速前进图中的折线表示两人之间的距离 y（km）与小王的行驶时间 x（h）之间的函数 关系请你根据图象

9、进行探究： （1）小王的速度是 km/h，小李的速度是 km/h； （2）求线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围 （3）求当两人相距 18 千米时，小王行驶多少小时？ 27 （10 分）如图 1，一副直角三角板满足 ABBC，ACDE，ABCDEF90，EDF30将 三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕点 E 旋转，并使边 DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q （1）如图 2，当1 时， ； （2）如图 3，当2 时， EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由；

10、在旋转过程中，连接 PQ，若 AC30cm，设 EQ 的长为 xcm，EPQ 的面积为 S（cm2） 求 S 关于 x 的函数表达式，并求出 x 的取值范围 28 （10 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+3 的图象与 x 轴交于点 A（1，0） 、B（4，0） ，与 y 轴交于 点 C （1）二次函数的表达式为 ； （2）点 M 在直线 BC 上，当ABM 为等腰三角形时，求点 M 的坐标； （3）若点 E 在二次函数的图象上，以 E 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 F，且 EF，请直接写出点 E 的坐标 2021 年江苏省徐州市县区中考数学第一次质检试卷年江苏省徐州市县区中考数学第

11、一次质检试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 15 的倒数是（ ） A5 B5 C D 【分析】根据倒数的定义可直接解答 【解答】解：5 的倒数是； 故选：D 2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可 【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心

12、对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 32020 年徐州市接待国内外旅游人数约为 24 800 000 人次，该数据用科学记数法表示为（ ） A2.48107 B2.48106 C0.248108 D248105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是 正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：24 800 0002.48107， 故选：A 4下列运算中，正确的是（ ） Ax3+x3x6 Bx3x9x

13、27 C （x2）3x5 Dxx2x 1 【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘； 同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解 【解答】解：A、应为 x3+x32x3，故本选项错误； B、应为 x3x9x12，故本选项错误； C、应为（x2）3x6，故本选项错误； D、xx2x1 2x1，正确 故选：D 5如图，点 A，B，C 在O 上，AOB72，则ACB 等于（ ） A54 B36 C28 D18 【分析】利用圆周角定理求出所求即可 【解答】解：AOB 与ACB 都对弧 AB，AOB72， ACBAOB36， 故选：B 6

14、某市 6 月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A21，21 B21，21.5 C21，22 D22，22 【分析】根据条形统计图得到各数据的权，然后根据众数和中位数的定义求解 【解答】解：这组数据中，21 出现了 10 次，出现次数最多，所以众数为 21， 第 15 个数和第 16 个数都是 22，所以中位数是 22 故选：C 7如图，E 是直线 CA 上一点，FEA40，射线 EB 平分CEF，GEEF则GEB（ ） A10 B20 C30 D40 【分析】根据平角的定义得到CEF180FEA18040140，由角平分线的定义可得 ，由 GEEF

15、可得GEF90，可得CEG180AEF GEF180409050，由GEBCEBCEG 可得结果 【解答】解：FEA40，GEEF， CEF180FEA18040140，CEG180AEFGEF1804090 50， 射线 EB 平分CEF， ， GEBCEBCEG705020， 故选：B 8如图，菱形 ABCD 的两个顶点 B、D 在反比例函数 y的图象上，对角线 AC 与 BD 的交点恰好是坐标 原点 O，已知点 A（1，1） ，ABC60，则 k 的值是（ ） A5 B4 C3 D2 【分析】根据题意可以求得点 B 的坐标，从而可以求得 k 的值 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，

16、BABC，ACBD， ABC60， ABC 是等边三角形， 点 A（1，1） ， OA， BO， 直线 AC 的解析式为 yx， 直线 BD 的解析式为 yx， OB， 点 B 的坐标为（，） ， 点 B 在反比例函数 y的图象上， ， 解得，k3， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 94 是 16 的算术平方根 【分析】如果一个非负数 x 的平方等于 a，那么 x 是 a 的算术平方根，由此即可求出结果 【解答】解：4216， 4 是 16 的算术平方根 故答案为：16 10一个不透明的盒子中装有 3 个红球

17、，2 个黄球和 1 个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸 出一个小球，恰好是黄球的概率为 【分析】由一个不透明的盒子中装有 3 个红球，2 个黄球和 1 个绿球，直接利用概率公式求解即可求得 答案 【解答】解：一个不透明的盒子中装有 3 个红球，2 个黄球和 1 个绿球，这些球除了颜色外无其他差 别， 从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为： 故答案为： 11使有意义的 x 的取值范围是 x6 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案 【解答】解：有意义， x 的取值范围是：x6 故答案为：x6 12若正多边形的一个内角等于 140，则这个正多边形的边数是 9 【分析】首先根据求

18、出外角度数，再利用外角和定理求出边数 【解答】解：正多边形的一个内角是 140， 它的外角是：18014040， 360409 故答案为：9 13已知关于 x 的一元二次方程 x22xa0 有两个相等的实数根，则 a 的值是 1 【分析】利用判别式的意义得到（2）24（a）0，然后解关于 a 的方程即可 【解答】解：根据题意得（2）24（a）0，解得 a1 故答案为：1 14如图，在ABC 中，BC9，AC4，分别以点 A、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于 点 M、N，作直线 MN，交 BC 边于点 D，连接 AD，则ACD 的周长为 13 【分析】根据作图过程可得，MN 是

19、AB 的垂直平分线，所以得 ADBD，进而可得ACD 的周长 【解答】解：根据作图过程可知：MN 是 AB 的垂直平分线， ADBD， ACD 的周长AD+DC+ACBD+DC+ACBC+AC9+413 故答案为：13 15如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，连接 AC若CAB22.5，CD8cm，则O 的 半径为 4 cm 【分析】连接 OC，如图所示，由直径 AB 垂直于 CD，利用垂径定理得到 E 为 CD 的中点，即 CEDE， 由 OAOC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形 COE 为等腰直角三角形，求出 OC 的长， 即为圆的半径 【解答】解：连接 OC，

20、如图所示： AB 是O 的直径，弦 CDAB， CEDECD4cm， OAOC， AOCA22.5， COE 为AOC 的外角， COE45， COE 为等腰直角三角形， OCCE4cm， 故答案为：4 16 如图， 直线 yx+4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点， 把AOB 绕点 B 逆时针旋转 90后得到A1O1B， 则点 A1的坐标是 （4，） 【分析】首先根据直线 AB 来求出点 A 和点 B 的坐标，A1的横坐标等于 OB，而纵坐标等于 OBOA， 即可得出答案 【解答】解：在中，令 x0 得，y4， 令 y0，得，解得 x， A（，0） ，B（0，4） ， 由旋转可得

21、AOBA1O1B，ABA190， ABOA1BO1，BO1A1AOB90，OAO1A1，OBO1B4， OBO190， O1Bx 轴， 点 A1的纵坐标为 OBOA 的长，即为 4； 横坐标为 O1BOB4， 故点 A1的坐标是（4，） ， 故答案为： （4，） 17下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第 n 个图形中白色正方形 的个数为 3n+2 【分析】根据题目中图形，可以发现白色正方形的个数的变化规律，从而可以求得第 n 个图形中白色正 方形的个数 【解答】解：图（1）中白色正方形的个数为：2+315， 图（2）中白色正方形的个数为：2+328， 图（3）中

22、白色正方形的个数为：2+3311， ， 则第 n 个图形中白色正方形的个数为：2+3n， 故答案为：3n+2 18如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A、B，顶点为 C，对称轴为直线 x1，给出下列结 论：abc0；若点 C 的坐标为（1，4） ，则ABC 的面积可以等于 4；M（x1，y1） ，N（x2，y2） 是抛物线上两点（x1x2） ，若 x1+x22，则 y1y2；若抛物线经过点（3，1） ，则方程 ax2+bx+c+1 0 的两根为1，3其中正确结论的序号为 【分析】根据函数的图象和性质即可求解 【解答】解：抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 ab0，而 c0，

23、故 abc0，故正确； ABC 的面积AByCAB44，解得：AB2，则点 A（0，0） ，即 c0 与图象不符，故 错误； 函数的对称轴为 x1，若 x1+x22，则（x1+x2）1，则点 N 离函数对称轴远，故 y1y2，故错 误； 抛物线经过点（3，1） ，则 yax2+bx+c+1 过点（3，0） ， 根据函数的对称轴该抛物线也过点（1，0） ，故方程 ax2+bx+c+10 的两根为1，3，故正确； 故答案为： 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 86 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

24、文字说明、证明 过程或演算步骤）过程或演算步骤） 19 （10 分）计算： （1） （1）2020； （2） 【分析】 （1）利用乘方、负整式指数幂的法则及立方根的性质分别求解，再进行加减运算即可； （2）将除法变乘法，再对分子、分母进行因式分解，最后约分即可 【解答】解： （1）原式13+20； （2）原式 x 20 （10 分） （1）解方程：x22x30； （2）解不等式组： 【分析】 （1）利用因式分解法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解 了确定不等式组的解集 【解答】解： （1）x22x30， （x3） （x+1）

25、0， 则 x30 或 x+10， 解得 x13，x21； （2）解不等式 2x1x，得：x， 解不等式 2（2x+1）x+4，得：x， 则不等式组的解集为x 21 （7 分）为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动， 围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类） ”的问题，在 全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查， 将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图， 其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的 30%请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算

26、补全条形统计图； （3）若冬威中学共有 800 名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名 【分析】 （1）最喜欢绘画小组的学生人数 15 人，占所调查人数的 30%可求出调查人数； （2）求出“舞蹈”的人数，即可补全条形统计图； （3） 样本估计总体， 样本中 “喜欢剪纸” 占调查人数的， 因此估计总体 800 名的是最喜欢 “剪纸” 的人数 【解答】解： （1）1530%50（名） ， 答：在这次调查中，一共抽取了 50 名学生； （2）501520510（名） ，补全条形统计图如图所示： （3）800320（名） ， 答：冬威中学 800 名学生中最喜欢剪纸小组的学生有 320

27、名 22 （7 分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列 问题： （1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ； （2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有 4 种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公 式求解 【解答】解： （1）第二个孩子是女孩的概率； 故答案为； （2）画树状图为： 共有 4 种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为 3， 所以至少有一个孩子是女孩的概率 23 （8 分）

28、如图， 在平行四边形 ABCD 中， 点 O 是边 BC 的中点， 连接 DO 并延长， 交 AB 的延长线于点 E， 连接 BD，EC （1）求证：BOECOD； （2）当BOD 90 时，四边形 BECD 是菱形 【分析】 （1）由 AAS 证明BOECOD，得出 OEOD，即可得出结论； （2）对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 为平行四边形， ABDC，ABCD， OEBODC， 又O 为 BC 的中点， BOCO， 在BOE 和COD 中， ， BOECOD（AAS） ； OEOD， 四边形 BECD 是平行四边形； （2）当BOD90时，四

29、边形 BECD 是菱形； 理由：四边形 BECD 是平行四边形， 当BOD90时，四边形 BECD 是菱形 故答案为：90 24 （8 分）徐州至上海的铁路里程为 650km从徐州乘“C”字头列车 A， “D”字头列车 B 都可到达上海， 已知 A 车的平均速度为 B 车的 2 倍，且行驶时间比 B 车少 2.5h （1）设 A 车的平均速度是 xkm/h，根据题意，可列分式方程： 2.5 ； （2）求 A 车的平均速度及行驶时间 【分析】设 A 车的平均速度是 xkm/h，根据徐州至上海的铁路里程为 650km从徐州乘“C”字头列车 A， “D”字头列车 B 都可到达上海，已知 A 车的平均

30、速度为 B 车的 2 倍，且行驶时间比 B 车少 2.5h 可列出 方程求出解 【解答】解： （1）设 A 车的平均速度是 xkm/h， 2.5； （2）2.5， 解得 x260， 经检验，x260 是分式方程的根， 2.5 小时， 故 A 车的平均速度是 260 千米每小时，行驶的时间 2.5 小时 故答案为：2.5 25 （8 分）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为 O）的墙上当梯子位于 AB 位置时，它与地面所成的 角ABO60，当梯子底端向右滑动 0.5m（即 BD0.5m）到达 CD 位置时，它与地面所成的角CDO 5118，求梯子的长 （参考数据：sin51180.780，cos5

31、1180.625，tan51181.248） 【分析】设梯子的长为 xm，在 RtABO 中，根据三角函数得到 OD，在 RtCDOR 中，用含 x 的式子 表示出 OD，再根据 BDODOB，得到关于 x 的方程，解方程即可 【解答】解：设梯子的长为 xm， 在 RtABO 中，cosABO OBAB cosABOx cos60 x 在 RtCDO 中， cosCDO ODCD cosCDOx cos51180.625x BDODOB，BD0.5m 0.625xx0.5， 解得 x4 故梯子的长是 4 米 26 （8 分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，

32、两人同时出发， 沿同一条公路匀速前进图中的折线表示两人之间的距离 y（km）与小王的行驶时间 x（h）之间的函数 关系请你根据图象进行探究： （1）小王的速度是 10 km/h，小李的速度是 20 km/h； （2）求线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围 （3）求当两人相距 18 千米时，小王行驶多少小时？ 【分析】 （1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度； （2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点 C 的坐标，从而可以解答本题； （3）根据题意列式计算即可解答 【解答】解： （1）由图可得， 小王的速度为：30310（k

33、m/h） ， 小李的速度为： （30101）120（km/h） ， 答：小王和小李的速度分别是 10km/h、20km/h， 故答案为：10，20； （2）小李从乙地到甲地用的时间为：30201.5（h） ， 当小李到达甲地时，两人之间的距离为：101.515km， 点 C 的坐标为（1.5，15） ， 设线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式为 ykx+b， ，解得， 即线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式是 y30 x30（1x1.5） ； （3）（3018）（20+10）0.4（小时） ； 18101.8（小时） 答：当两人相距 18 千米时，小王行驶 0.4

34、小时或 1.8 小时 27 （10 分）如图 1，一副直角三角板满足 ABBC，ACDE，ABCDEF90，EDF30将 三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕点 E 旋转，并使边 DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q （1）如图 2，当1 时， 1 ； （2）如图 3，当2 时， EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由； 在旋转过程中，连接 PQ，若 AC30cm，设 EQ 的长为 xcm，EPQ 的面积为 S（cm2） 求 S 关于 x 的函数表达式，并求出 x 的取值范围 【分析】 （1）连接 BE，

35、根据已知条件得到 E 是 AC 的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明 DE CE，PBEC，根据等角的余角相等可以证明BEPCEQ，即可得到全等三角形，从而证明结 论； （2）作 EMAB 于点 M，ENBC 于点 N，证明MEPNEQ，发现 EP：EQMENEAE： CE，继而得出结果； 设 EQx，根据上述结论，可用 x 表示出 S，确定 EQ 的最大值，及最小值后，可得出 x 的取值范围 【解答】解： （1）连接 BE，如图 2： 证明：点 E 是 AC 的中点，ABC 是等腰直角三角形， BEECAE，PBEC45， PEB+BEQQEC+BEQ90， PEBQEC， 在BEP 和

36、CEQ 中， ， BEPCEQ（ASA） ， EPEQ， ， 故答案为：1 （2）作 EMAB 于点 M，ENBC 于点 N，如图 3： AC45， EMAM，ENCN， MEP+PENNEQ+PEN90， MEPNEQ， 又EMPENQ90， MEPNEQ， EP：EQME：NEME：CNAE：CE1：2， 故 EQ2EP 设 EQx，由得，EPx， SEPQEPEQx2， 当 EQEF 时，EQ 取得最大，此时 EQDEtan303010； 当 EQBC 时，EQ 取得最小，此时 EQECsin452010； 即， 综上可得：Sx2（） 28 （10 分）如图，已知二次函数 yax2+bx

37、+3 的图象与 x 轴交于点 A（1，0） 、B（4，0） ，与 y 轴交于 点 C （1）二次函数的表达式为 yx2+x+3 ； （2）点 M 在直线 BC 上，当ABM 为等腰三角形时，求点 M 的坐标； （3）若点 E 在二次函数的图象上，以 E 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 F，且 EF，请直接写出点 E 的坐标 【分析】 （1）根据 AB 两点的坐标，应用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）首先通过 BC 两点坐标，求出直线 BC 的解析式，再根据三角形ABM 是等腰三角形，分 3 种情况 考虑，得到关于 M 点横坐标 x 的方程，解之即可得到 x 的值，进而得到 M 点

38、坐标； （3）利用面积法求出 O 到直线 BC 的距离，结合 EF 的长度可知 P1为线段 OC 中点，可得 P1的坐标， 进而可得 P2坐标，结合直线 BC 的表达式，可求出直线 EP 的表达式，联立直线 EP 和抛物线的函数表 达式，组成方程组，即可解得点 E 的坐标 【解答】解： （1）将 A（1，0） ，B（4，0）代入 yax2+bx+3 得： ， a，b， yx2+x+3， 故二次函数表达式为：yx2+x+3； （2）当 x0 时，y3， 点 C 的坐标是（0，3） ， 设直线 BC 的表达式为：ykx+c（k0） ， 将 B（4，0） ，C（0，3）代入 ykx+c 得： ， ，

39、 直线 BC 的解析式为：yx+3， 使得ABM 为等腰三角形，存在如图所示的三种情况： 过点 M1作 M1DAB， A（1，0） ，B（4，0） ， ADAB， OD， 设 M1（x，x+3） ， M1（，） ， ABM 为等腰三角形， ABBM25 或 ABBM35， 设 M2（x1，x1+3） ， BM25， 解得 x18 或 0， 当 x10 时，y3， 当 x18 时，y3， 点 M 为（0，3）或（8，3）或（，） ； （3）过点 E 作 EPBC，交 y 轴于点 P，这样的点有两个，分别记为 P1，P2如图所示： OB4，OC3， BC5， 点 O 到直线 BC 的距离为：， 以 E 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 F，且 EF， 点 E 到直线 BC 的距离是， 点 P1为线段 OC 的中点， CP1CP2， P2（0，） ， 直线 BC 的函数表达式为 yx+3， 直线 EP 的函数表达式为 yx+或 yx+， 联立直线 EP 和抛物线的表达式方程组，得： 或， 得或或或， 点 E 的坐标为（2，）或（2+，）或（2，3+）或（2+，3）