2021年河南省重点名校中考数学内部摸底试卷（五）含答案解析

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1、2021 年河南省重点名校中考数学内部摸底试卷（五）年河南省重点名校中考数学内部摸底试卷（五） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 22020 年 1 月 24 日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为 80 纳米（1 纳米0.000001 毫米） ，数据“80 纳米”用科学记数法表示为（ ） A0.810 7 毫米 B810 6 毫米 C810 5 毫米 D8010 6 毫米 3如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，

2、它的左视图是（ ） A B C D 4墨迹覆盖了等式“x3xx2（x0） ”中的运算符号，则覆盖的是（ ） A+ B C D 5如图所示，l1l2，三角板 ABC 如图放置，其中B90，若140，则2 的度数是（ ） A40 B50 C60 D30 6在九章算术中记载一道这样的题： “今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太 半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一 半，那么甲共有钱 50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱 50甲、乙两人各需带多少钱？设甲 需带钱 x，乙带钱 y，根据题意可列方程组为（ ） A B C D 7

3、若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+4x+10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak5 Bk5，且 k1 Ck5，且 k1 Dk5 8如图，在ABC 中，ABAC6，BC4，AD 是 BC 边上的高，AM 是ABC 外角CAE 的平分线，以 点 D 为圆心，适当长为半径画弧，交 DA 于点 G，交 DC 于点 H再分别以点 G、H 为圆心，大于GH 的长为半径画弧， 两弧在ADC 内部交于点 Q， 连接 DQ 并延长与 AM 交于点 F， 则 DF 的长度为 （ ） A6 B6 C4 D8 9某快递公司每天上午 7：008：00 为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，

4、乙仓库用来派发快 件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量 y（件）与时间 x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法正确 的个数为： （ ） 15 分钟后，甲仓库内快件数量为 180 件； 乙仓库每分钟派送快件数量为 4 件； 8：00 时，甲仓库内快件数为 400 件； 7：20 时，两仓库快递件数相同 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过（4，0）与（2，0）两点，关于 x 的方程 ax2+bx+c+m0（m 0）有两个根，其中一个根是 4若关于 x 的方程 ax2+bx+c+n0（0nm）也有两个整数根，则这两 个整数根是（ ） A2 和 0

5、 B4 和 2 C5 和 3 D6 和 4 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，满分小题，满分 15 分，每小题分，每小题 3 分）分） 112 的相反数是 12已知反比例函数 y的图象具有下列特征：在所在的象限内，y 随 x 的增大而增大，那么 m 的取值 范围是 13如图，点 A 的坐标为（1，3） ，点 B 在 x 轴上，把OAB 沿 x 轴向右平移到ECD，若四边形 ABDC 的面积为 9，则点 C 的坐标为 14 如图， 已知半圆的直径 AB4， 点 C 在半圆上， 以点 A 为圆心， AC 为半径画弧交 AB 于点 D， 连接 BC 若 ABC60，则图中阴影部分的面积为 （结

6、果不取近似值） 15如图，在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4，CDAB，垂足为 D，E 为 BC 的中点，AE 与 CD 交于点 F，则 DF 的长为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （），其中 x 17 （9 分） 为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求， 某学校开设了四门校本课程供学生选择： A 趣 味数学；B博乐阅读；C快乐英语；D硬笔书法某年级共有 100 名学生选择了 A 课程，为了解本 年级选择 A 课程学生的学习情况，从这 100 名学生中随机抽取了 30 名学生进行测试，将他们的成绩（百

7、分制）分成六组，绘制成频数分布直方图 （1）已知 70 x80 这组的数据为：72，73，74，75，76，76，79则这组数据的中位数是 ； 众数是 ； （2）根据题中信息，估计该年级选择 A 课程学生成绩在 80 x90 的总人数； （3）该年级学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程 D 的概率是 ； （4）该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程 C，那么 他俩第二次同时选择课程 A 或课程 B 的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明 18 （9 分）如图，AB 与O 相切于点 B，AO 交O 于点 C，AO 的延长线交O 于点 D，E

8、是上不与 B，D 重合的点，sinA （1）求BED 的大小； （2）若O 的半径为 3，点 F 在 AB 的延长线上，且 BF3，求证：DF 与O 相切 19 （9 分）如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图，图 2 是其示意图汽车的车厢采用液压机构、车厢的 支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方，AB 与水平线 AD 之间的夹角是 5，卸货时，车厢 与水平线 AD 成 60，此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45，若 AC2 米，求 BC 的长度 （结果保留 一位小数） （参考数据：sin650.91，cos650.42，tan652.14，sin700.94，co

9、s700.34，tan70 2.75，1.41） 20 （9 分）一次数学课上，某同学根据学习函数的经验，对函数 y的图象及其性质进行了探 究下面是其探究过程，请补充完整，并利用图象解决问题 （1）列表如下： x 1 0 1 2 3 4 5 y m 0.6 1.5 n 1.5 0.6 0.3 其中 m ，n （2）在表中各对 x 与 y 的对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并画出该函数的大致图象 （3）结合函数图象，求 y 的最大值为 （4）若关于 x 的方程3a2 无解，请写出 a 的取值范围 21 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在

10、点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，且 OBOC3OA （1）求抛物线的解析式及对称轴 （2）在抛物线上任取一点 M，过点 M 作 MNx 轴，且四边形 ABMN 为平行四边形，在线段 MN 上任取 一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 Q，记点 Q 的纵坐标为 yQ.当点 M 到抛物线对称轴的距离不 超过 1 个单位长度时，求 yQ的取值范围 22 （10 分）小刚去超市购买画笔，第一次花 60 元买了若干支 A 型画笔，第二次超市推荐了 B 型画笔，但 B 型画笔比 A 型画笔的单价贵 2 元，他又花 100 元买了相同支数的 B 型画笔 （1）超市 B 型画笔单价多少元

11、？ （2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用 B 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以 下优惠方案：一次购买不超过 20 支，则每支 B 型画笔打九折；若一次购买超过 20 支，则前 20 支打九 折，超过的部分打八折 设小刚购买的 B 型画笔 x 支，购买费用为 y 元， 请写出 y 关于 x 的函数关系式 （3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔，则能购买多少支 B 型画笔？ 23 （11 分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图 1 所示的位置摆放（点 E、A、D 在 同一条直线上） ，小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

12、（1）如图 2，将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转，则 BE 与 DG 的数量关系为 ，位置关系 为 .（直接写出答案） （2）如图 3，把背景中的正方形分别改写成矩形 AEFG 和矩形 ABCD，且，AE4，AB8， 将矩形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，求 BE 与 DG 的数量关系和位置关系； （3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值 （直接写 出答案） 2021 年河南省重点名校中考数学内部摸底试卷（五）年河南省重点名校中考数学内部摸底试卷（五） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10

13、 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意 故选：D 22020 年 1 月 24 日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为 80 纳米（1 纳米0.000001 毫米） ，数据“80 纳米”用科学记数法表示为（ ） A0.810 7 毫米 B810 6 毫米

14、C810 5 毫米 D8010 6 毫米 【分析】绝对值小于 1 的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：1 纳米0.000001 毫米， 80 纳米0.00008 毫米810 5 毫米 故选：C 3如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：从左边看外边是一个矩形，矩形中间有一条纵向的虚线， 故选：C 4墨迹覆盖了等式“x3xx2（x0）

15、 ”中的运算符号，则覆盖的是（ ） A+ B C D 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案 【解答】解：x3xx2（x0） ， 覆盖的是： 故选：D 5如图所示，l1l2，三角板 ABC 如图放置，其中B90，若140，则2 的度数是（ ） A40 B50 C60 D30 【分析】作 BDl1，根据平行线的性质得1ABD40，CBD2，利用角的和差即可求解 【解答】解：作 BDl1，如图所示： BDl1，140， 1ABD40， 又l1l2， BDl2， CBD2， 又CBACBD+ABD90， CBD50， 250 故选：B 6在九章算术中记载一道这样的题： “今有甲、乙二人持

16、钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太 半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一 半，那么甲共有钱 50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱 50甲、乙两人各需带多少钱？设甲 需带钱 x，乙带钱 y，根据题意可列方程组为（ ） A B C D 【分析】设甲需带钱 x，乙带钱 y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半50，乙的钱+甲所有钱的 50，据此列方程组可得 【解答】解：设甲需带钱 x，乙带钱 y， 根据题意，得：， 故选：D 7若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+4x+10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak5 B

17、k5，且 k1 Ck5，且 k1 Dk5 【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式 即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（k1）x2+4x+10 有两个不相等的实数根， ，即， 解得：k5 且 k1 故选：B 8如图，在ABC 中，ABAC6，BC4，AD 是 BC 边上的高，AM 是ABC 外角CAE 的平分线，以 点 D 为圆心，适当长为半径画弧，交 DA 于点 G，交 DC 于点 H再分别以点 G、H 为圆心，大于GH 的长为半径画弧， 两弧在ADC 内部交于点 Q， 连接 D

18、Q 并延长与 AM 交于点 F， 则 DF 的长度为 （ ） A6 B6 C4 D8 【分析】在ABC 中，ABAC6，BC4，AD 是 BC 边上的高，可得ADBADC90，BD CDBC2，根据勾股定理得，AD4，再根据三角形外角定义可得EAMB， 由作图过程可以证明 AFAD，进而可求 DF 的长 【解答】解：在ABC 中，ABAC6，BC4，AD 是 BC 边上的高， ADBADC90，BDCDBC2， AD4， EACB+C， AM 是ABC 外角CAE 的平分线， EAMMAC， BC， EAMB， AMBC， MADADC90 由作图过程可知： DF 平分ADC， ADF45，

19、AFD45， AFAD4， DF8 故选：D 9某快递公司每天上午 7：008：00 为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快 件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量 y（件）与时间 x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法正确 的个数为： （ ） 15 分钟后，甲仓库内快件数量为 180 件； 乙仓库每分钟派送快件数量为 4 件； 8：00 时，甲仓库内快件数为 400 件； 7：20 时，两仓库快递件数相同 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据图象可知 15 分钟后，甲仓库内快件数量为 130 件，据此可得甲仓库揽收快件的速度，进而 得出 8：00 时，甲仓库

20、内快件数；由图象可知 45 分钟，乙仓库派送快件数量为 180 件，可得乙仓库每分 钟派送快件的数量，进而得出乙仓库快件的总数量，然后根据题意列方程即可求出两仓库快递件数相同 是时间 【解答】解：由题意结合图象可知： 15 分钟后，甲仓库内快件数量为 130 件，故说法错误； 甲仓库揽收快件的速度为： （13040）156（件/分） ， 所以 8：00 时，甲仓库内快件数为：40+660400（件） ，故说法正确； 601545（分） ， 即 45 分钟乙仓库派送快件数量为 180 件， 所以乙仓库每分钟派送快件的数量为：180454（件） ，故说法正确； 所以乙仓库快件的总数量为：60424

21、0（件） ， 设 x 分钟后，两仓库快递件数相同，根据题意得： 2404x40+6x， 解得 x20， 即 7：20 时，两仓库快递件数相同，故说法正确 所以说法正确的有共 3 个 故选：C 10已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过（4，0）与（2，0）两点，关于 x 的方程 ax2+bx+c+m0（m 0）有两个根，其中一个根是 4若关于 x 的方程 ax2+bx+c+n0（0nm）也有两个整数根，则这两 个整数根是（ ） A2 和 0 B4 和 2 C5 和 3 D6 和 4 【分析】 根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系， 可以得到关于 x 的方程 ax2+bx+

22、c+n 0 （0nm）的两个整数根，从而可以解答本题 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c 的图象经过（4，0）与（2，0）两点， 当 y0 时，0ax2+bx+c 的两个根为4 和 2，函数 yax2+bx+c 的对称轴是直线 x1， 又关于 x 的方程 ax2+bx+c+m0（m0）有两个根，其中一个根是 4 方程 ax2+bx+c+m0（m0）的另一个根为6，函数 yax2+bx+c 的图象开口向下， 关于 x 的方程 ax2+bx+c+n0 （0nm）有两个整数根， 这两个整数根是5 和 3， 故选：C 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，满分小题，满分 15 分，每小题分，每

23、小题 3 分）分） 112 的相反数是 2 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可 【解答】解：2 的相反数是：（2）2， 故答案为：2 12已知反比例函数 y的图象具有下列特征：在所在的象限内，y 随 x 的增大而增大，那么 m 的取值 范围是 m3 【分析】根据题意，由反比例函数的性质，可得：m30，据此求出 m 的取值范围即可 【解答】解：反比例函数 y的图象具有下列特征：在所在的象限内，y 随 x 的增大而增大， m30， m3 故答案为：m3 13如图，点 A 的坐标为（1，3） ，点 B 在 x 轴上，把OAB 沿 x 轴向右平移到ECD，若四边形 ABDC

24、 的面积为 9，则点 C 的坐标为 （4，3） 【分析】根据平移的性质得出四边形 ABDC 是平行四边形，从而得 A 和 C 的纵坐标相同，根据四边形 ABDC 的面积求得 AC 的长，即可求得 C 的坐标 【解答】解：把OAB 沿 x 轴向右平移到ECD， 四边形 ABDC 是平行四边形， ACBD，A 和 C 的纵坐标相同， 四边形 ABDC 的面积为 9，点 A 的坐标为（1，3） ， 3AC9， AC3， C（4，3） ， 故答案为（4，3） 14 如图， 已知半圆的直径 AB4， 点 C 在半圆上， 以点 A 为圆心， AC 为半径画弧交 AB 于点 D， 连接 BC 若 ABC60

25、，则图中阴影部分的面积为 2 （结果不取近似值） 【分析】根据 60特殊角求出 AC 和 BC，再算出ABC 的面积，根据扇形面积公式求出扇形 CAD 的面 积，再用三角形的面积减去扇形面积即可 【解答】解：AB 是直径， ACB90， ABC60， CAB30， BC，AC， ， CAB30， 扇形 ACD 的面积， 阴影部分的面积为 故答案为： 15如图，在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4，CDAB，垂足为 D，E 为 BC 的中点，AE 与 CD 交于点 F，则 DF 的长为 【分析】如图，过点 F 作 FHAC 于 H首先证明 FH：AH2：3，设 FH2k，AH3k，根据

26、 tanFCH ，构建方程求解即可 【解答】解：如图，过点 F 作 FHAC 于 H 在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4， AB5， CDAB， SABCACBCABCD， CD，AD， FHEC， ， ECEB2， ，设 FH2k，AH3k，CH33k， tanFCH， ， k， FH，CH3， CF， DF， 故答案为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （），其中 x 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解答】解：原式 ， 当 x时， 原式 17 （9 分） 为

27、落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求， 某学校开设了四门校本课程供学生选择： A 趣 味数学；B博乐阅读；C快乐英语；D硬笔书法某年级共有 100 名学生选择了 A 课程，为了解本 年级选择 A 课程学生的学习情况，从这 100 名学生中随机抽取了 30 名学生进行测试，将他们的成绩（百 分制）分成六组，绘制成频数分布直方图 （1）已知 70 x80 这组的数据为：72，73，74，75，76，76，79则这组数据的中位数是 75 ；众 数是 76 ； （2）根据题中信息，估计该年级选择 A 课程学生成绩在 80 x90 的总人数； （3）该年级学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程

28、D 的概率是 ； （4）该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程 C，那么 他俩第二次同时选择课程 A 或课程 B 的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明 【分析】 （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体的方法即可估计该年级选择 A 课程学生成绩在 80 x90 的总人数； （3）直接利用概率公式计算； （4）画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，找出他俩第二次选课相同的结果数，然后根据概率公式计 算 【解答】解： （1）在 72，73，74，75，76，76，79 这组已经按从小到大排列好的数据中，中位数为 75， 众数

29、为 76； 故答案为：75，76； （2）观察直方图，抽取的 30 名学生成绩在 80 x90 范围内的有 9 人，所占比为， 那么估计该年级100名学生， 学生成绩在80 x90范围内， 选取A课程的总人数为（人） ； （3）因为学校开设了四门校本课程供学生选择，小乔随机选取一门课程，则他选中课程 D 的概率为； 故答案为：； （4）因该年级每名学生选两门不同的课程，第一次都选了课程 C，列树状图如下： 等可能结果共有 9 种，他俩第二次同时选择课程 A 或课程 B 的有 2 种， 所以，他俩第二次同时选择课程 A 或课程 B 的概率是 18 （9 分）如图，AB 与O 相切于点 B，AO

30、交O 于点 C，AO 的延长线交O 于点 D，E 是上不与 B，D 重合的点，sinA （1）求BED 的大小； （2）若O 的半径为 3，点 F 在 AB 的延长线上，且 BF3，求证：DF 与O 相切 【分析】 （1）连接 OB，由切线求出ABO 的度数，再由三角函数求出A，由三角形的外角性质求得 BOD，最后由圆周解与圆心角的关系求得结果； （2）连接 OF，OB，证明BOFDOF，得ODFOBF90，便可得结论 【解答】解： （1）连接 OB，如图 1， AB 与O 相切于点 B， ABO90， sinA， A30， BODABO+A120， BEDBOD60； （2）证明：连接 OF

31、，OB，如图 2， AB 是切线， OBF90， BF3，OB3， ， BOF60， BOD120， BOFDOF60， 在BOF 和DOF 中， ， BOFDOF（SAS） ， OBFODF90， DF 与O 相切 19 （9 分）如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图，图 2 是其示意图汽车的车厢采用液压机构、车厢的 支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方，AB 与水平线 AD 之间的夹角是 5，卸货时，车厢 与水平线 AD 成 60，此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45，若 AC2 米，求 BC 的长度 （结果保留 一位小数） （参考数据：sin650.91，c

32、os650.42，tan652.14，sin700.94，cos700.34，tan70 2.75，1.41） 【分析】直接过点 C 作 CFAB 于点 F，利用锐角三角函数关系得出 CF 的长，进而得出 BC 的长 【解答】方法一：解：如图 1，过点 C 作 CFAB 于点 F， 在 RtACF 中， sinCABsin（60+5）sin65， CFACsin6520.911.82， 在 RtBCF 中， ABC45， CFBF， BCCF1.411.822.56622.6， 答：所求 BC 的长度约为 2.6 米 方法二：解：如图 2，过点 A 作 AEBC 于点 E， 在 RtACE 中

33、，C180654570， cosCcos70， 即 CEACcos7020.340.68， sinCsin70， 即 AEACsin7020.941.88， 又在 RtAEB 中，ABC45， AEBE， BCBE+CE0.68+1.882.562.6， 答：所求 BC 的长度约为 2.6 米 20 （9 分）一次数学课上，某同学根据学习函数的经验，对函数 y的图象及其性质进行了探 究下面是其探究过程，请补充完整，并利用图象解决问题 （1）列表如下： x 1 0 1 2 3 4 5 y m 0.6 1.5 n 1.5 0.6 0.3 其中 m 0.3 ，n 3 （2）在表中各对 x 与 y 的

34、对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并画出该函数的大致图象 （3）结合函数图象，求 y 的最大值为 3 （4）若关于 x 的方程3a2 无解，请写出 a 的取值范围 【分析】 （1）把 x2、x3 分别代入解析式即可求得 m、n 的值； （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）根据函数的图象即可得到结论 【解答】解： （1）把 x1 代入 y得，y0.3， 把 x2 分别代入 y的得，y3， m0.3，n3， 故答案为 m0.3，n3 （2）如图所示； （3）由图象可知，y 的最大值为 3， 故答案为 3 （4）由图象可知，当 y3 或 y0 时，直线 y3a2 与函数 y的图象无交

35、点， 3a23 或 3a20， 解得，或 21 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，且 OBOC3OA （1）求抛物线的解析式及对称轴 （2）在抛物线上任取一点 M，过点 M 作 MNx 轴，且四边形 ABMN 为平行四边形，在线段 MN 上任取 一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 Q，记点 Q 的纵坐标为 yQ.当点 M 到抛物线对称轴的距离不 超过 1 个单位长度时，求 yQ的取值范围 【分析】 （1）先根据点 C 为抛物线 yax2+bx+3 与 y 轴的交点，得出点 C 的坐标及 OC

36、 的长，再根据 OB OC3OA，得出点 A 和点 B 的坐标，然后用待定系数法求解即可求得解析式，最后根据 x求 得对称轴 （2）作平行四边形 ABMN，由平行四边形的性质可得 MNAB4；由点 M 到抛物线对称轴的距离不超 过 1 个单位长度，得出 xM的取值范围，从而可得 xN的范围；根据点 P 在线段 MN 上，PQMN，xP和 xQ的范围，结合点 Q 在抛物线 yx2+2x+3 上，可得点 Q 的纵坐标 yQ的取值范围 【解答】解： （1）点 C 为抛物线 yax2+bx+3 与 y 轴的交点， C（0，3） ， OC3， 又OBOC3OA， OB3，OA1， A（1，0） ，B（3

37、，0） ， 将点 A，B 的坐标代入抛物线 yax2+bx+3 中， 得，解得， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3， 抛物线的对称轴为 （2）作平行四边形 ABMN，如图所示： MNAB4，点 N 在点 M 的左侧， 又点 M 到抛物线对称轴的距离不超过 1 个单位长度，抛物线的对称轴为 x1， 0 xM2， 4xN2， 又点 P 在线段 MN 上，PQMN， 4xP2，xPxQ， 4xQ2， 又点 Q 在抛物线 yx2+2x+3 上， 当 xQ1 时，yQ取最大值 4；当 xQ4 时，yQ取最小值21； 21yQ4 22 （10 分）小刚去超市购买画笔，第一次花 60 元买了若干支 A 型

38、画笔，第二次超市推荐了 B 型画笔，但 B 型画笔比 A 型画笔的单价贵 2 元，他又花 100 元买了相同支数的 B 型画笔 （1）超市 B 型画笔单价多少元？ （2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用 B 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以 下优惠方案：一次购买不超过 20 支，则每支 B 型画笔打九折；若一次购买超过 20 支，则前 20 支打九 折，超过的部分打八折 设小刚购买的 B 型画笔 x 支，购买费用为 y 元， 请写出 y 关于 x 的函数关系式 （3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔，则能购买多少支 B 型画笔？ 【分析】 （1）

39、设超市 B 型画笔单价为 a 元，则 A 型画笔单价为（a2）元根据等量关系：第一次花 60 元买 A 型画笔的支数第二次花 100 元买 B 型画笔的支数列出方程，求解即可； （2）根据超市给出的优惠方案，分 x20 与 x20 两种情况进行讨论，利用售价单价数量分别列出 y 关于 x 的函数关系式； （3）将 y270 分别代入（2）中所求的函数解析式，根据 x 的范围确定答案 【解答】解： （1）设超市 B 型画笔单价为 a 元，则 A 型画笔单价为（a2）元 根据题意得， 解得 a5 经检验，a5 是原方程的解 答：超市 B 型画笔单价为 5 元； （2）由题意知， 当小刚购买的 B

40、型画笔支数 x20 时，费用为 y0.95x4.5x， 当小刚购买的 B 型画笔支数 x20 时，费用为 y0.9520+0.85（x20）4x+10 所以，y 关于 x 的函数关系式为 y（其中 x 是正整数） ； （3）当 4.5x270 时，解得 x60， 6020， x60 不合题意，舍去； 当 4x+10270 时，解得 x65，符合题意 答：若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔，则能购买 65 支 B 型画笔 23 （11 分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图 1 所示的位置摆放（点 E、A、D 在 同一条直线上） ，小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解

41、答： （1）如图 2，将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转，则 BE 与 DG 的数量关系为 BEDG ，位 置关系为 BEDG .（直接写出答案） （2）如图 3，把背景中的正方形分别改写成矩形 AEFG 和矩形 ABCD，且，AE4，AB8， 将矩形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，求 BE 与 DG 的数量关系和位置关系； （3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值 （直接写 出答案） 【分析】 （1） 延长 DG 交 BE 于 M， 交 AB 于 N， 证明DAGBAE， 根据全等三角形的性质解答即可； （2）连接 BD、E

42、G，根据勾股定理求出 EG2+BD2，证明EABGAD，根据相似三角形的性质得到 BEDG； （3）根据勾股定理计算，得到答案 【解答】解： （1）如图 2，延长 DG 交 BE 于 M，交 AB 于 N， 四边形 ABCD、四边形 EFGA 为正方形， ABAD，AEAG，GADEAB90， BHGGAD 在DAG 和BAE 中， ， DAGBAE（SAS） ， BEDG，ADGABE， ANDBNM， BMNNAD90，即 BEDG； 故答案是：BEDG；BEDG； （2）BEDG，BEDG，理由如下： 如图 3，设 BE 与 DG 交于 Q，BE 与 AG 交于点 P， ，AE4，AB8， AG6，AD12 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 为矩形， EAGBAD， EABGAD， ， EABGAD， ，BEAAGD， APEGPQ， EAPGQP90， BEDG （3）如图 3，由（2）知，AE4，AG6，AD12 EG2AE2+AG242+6252，BD2AD2+AB2122+82208， 又由（2）知 BEDG， 则 DE2+BG2DP2+PE2+PG2+PB2EG2+BD252+208260