备战2021高考 专题15 三角函数与解三角形综合(教师版含解析)
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1、专题专题 15 三角函数与解三角形综合三角函数与解三角形综合 1(2020 届山西省太原市高三模拟)已知ABC中,, , a b c分别是内角, ,A B C的对边, 21 2cossincos 362 CC ()求C ; ()若3c ,ABC的面积为 3 3 2 ,求 11 ab 的值 【答案】() 3 C ;() 3 2 【解析】 ()因为 21 2cossincos 362 CC ,所以 1 sincos 62 CC , 所以 131 cossincos 222 CCC,所以 311 sincos 222 CC, 所以 1 sin 62 C ,而 C 为三角形的内角,所以 3 C . (
2、)ABC的面积为 3 3 2 及 3 C ,得 13 3 sin 232 ab , 化简得6ab,又3c ,由余弦定理,得 22 2cos9ababC,化简得 22 ab15 , 所以 22 2273 3ababab ,所以 113 2 ab abab . 2(2020 届湖南省衡阳市高三一模)已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且 sin()sin 3 aACbA . (1)求角A的大小; (2)若三边b,a,c的长成等比数列,ABC的面积为3,求 , ,a b c的长. 【答案】(1) 3 A (2)2a,2bc 【解析】 (1)sin( )sinsinsinsinsin
3、 333 aACbAaBbAAA sin3costan3AAA 0A, 3 A (2)由ABC的面积为3得 4bc ,又 2 4abc ,2a 由余弦定理知: 222 2cos 3 abcbc 22 8bc 222 ()20bcbcbcbc 所以2bc. 3(2020 届湖北省宜昌市高三调研)在ABC中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 3(cos)sinabCcB. (1)求角 B 的大小; (2)若ABC的面积为2 3,2 6b ,求ABC的周长. 【答案】(1) 3 B ;(2)2 6 4 3 . 【解析】 (1)由3(cos)sinabCc B,可得3sin3sincoss
4、insinABCBC, 即3sin()sinsin3sincosBCBCBC, 展开化简得3cossinsinsinBCBC, 又在ABC中,sin0C ,所以tan3B , 又0B,所以 3 B . (2)因为ABC的面积 1 sin2 3 2 SacB,所以8ac , 由余弦定理得 22222 2cos()2()3bacacBacacacacac, 因为2 6b ,可得 2 ()48ac,所以4 3ac, 所以2 64 3abc ,即ABC的周长为2 64 3. 4(2020 届广东省湛江市模拟)如图,在ABC中,BD是AC边上的高,E为AB边上一点,CE与BD 交于点O,135BOC ,
5、1CD,5DE (1)求BDE的正弦值; (2)若 2BOOD uuu ruuu r ,求ADE的面积 【答案】(1) 5 5 ;(2)3. 【解析】 (1)135BOC ,BDAC,1CD, 45DOC ,1OD 又5DE , 在DOE中,由余弦定理,可得 2 2 5121 2 OEOE , 解得 2OE ,或 2 2OE (舍) 再由正弦定理,得 sin135sin DEOE BDE , 得 2 2 5 2 sin 55 BDE (2)如图过点E作EFBD,垂足为F,则EF/AC 在直角EOF中, 2OE ,45EOF , 1OFEF 又 2BOOD uuu ruuu r , 2BO 1B
6、F 由 EFBF ADBD ,得3AD 由(1)知, 5 cossin 5 ADEBDE 2 5 sin 5 ADE ADE的面积 112 5 sin353 225 SADDEADE 5(2020 届广东省汕头市高三第一次模拟)设ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a、b、c,已知 tan2tanbAcbB (1)求角 A 的大小; (2)若ABC的面积为3 3,5 2bc ,求 a 的值 【答案】(1) 3 A(2) 14a 【解析】 (1)由正弦定理得, sinsin sin2sinsin coscos AB BCB AB 因为sin0B,所以sincos2sincoscossinA
7、BCAAB sincoscossin2sincosABABCA sin2sincosABCA sin2sincosCCA 因为0,C,所以sin0C ,所以 1 cos 2 A, 因为0,A,所以 3 A (2)因为 13 sin3 3 24 ABC SbcAbc , 所以12bc , 因为 5 2bc ,所以 22 250bbcc, 所以 22 26bc, 根据余弦定理得, 222 2cos26 1214abcbcA 所以 14a 6(2020 届安徽省皖南八校高三第三次联考)在ABC中,内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c,满足 2 coscoscosaAbCcB. (1)求
8、A ; (2)若ABC的面积为6 3,2 7a ,求ABC的周长. 【答案】(1) 3 ;(2)10 2 7 . 【解析】 (1)由2 coscos cosaAbCcB知,2sincossincossincosAABCCB, 2sincossinsinAABCA.0A, 1 cos 2 A,则 3 A . (2) 1 6 3 2 sin ABC bcSA,24bc.由余弦定理知, 222 2cos28abcbcA,即 2 22 283bcbcbcbc, 2 283100bcbc,解得10bc ,ABC的周长为102 7. 7(2020 届安徽省合肥市高三第二次质检)ABC的内角, ,A B C
9、的对边分别为, ,a b c,已知 tan(2cossin)cos2sinACAAC. (1)求角B的大小; (2)若角B为锐角, 1,bABC的面积为 3 4 ,求ABC的周长. 【答案】(1) 6 B 或 5 6 B (2)2 3 【解析】 (1)tanA(2cosCsinA)cosA2sinC, 2sinAcosCsin2Acos2A2cosAsinC 化简得 1 2 sinAcosCcosAsinC,即 1 2 sin AC, 1 2 sinB,即 1 2 sinB 6 B 或 5 6 B (2)B 是锐角, 6 B , 由 13 24 ABC SacsinB,得,3ac 在ABC 中
10、,由余弦定理得 2222 2()23bacaccosBacacac, 22 ()12 33(13)ac , 13ac , ABC 的周长为23 8(2020 届湖南省湘潭市高三第三次模拟)ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c,已知 222 sinsinsinsinsinABABC (1)求角C (2)设D为边AB的中点,ABC的面积为 2,求 2 CD的最小值 【答案】(1) 3 C ;(2)2 3 【解析】 (1)由已知可得 222 sinsinsinsinsinABABC , 得 222 ababc, 所以 222 cos 1 22 abc C ab , 又因为(0,
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