备战2021高考 专题20 不等式选讲(教师版含解析)
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1、 专题专题 20 不等式选讲不等式选讲 1(2020 届湖南省怀化市高三第一次模拟)已知函数( ) |3|f xxax. (1)若3a,且不等式 ( )5f x 的解集为 37 | 22 xx ,求a的值; (2)如果对任意xR, ( )4f x ,求a的取值范围. 【答案】(1) 1a;(2) 7a或1a 【解析】 (1)若3a,则 23,3 ( )33,3 23, xax f xxaxa ax xaxa , 因为不等式( )5f x 的解集为 37 | 22 xx , 所以当 7 2 x 时,( )2345f xxaa, 解得:1a; (2)当3a时,则 23,3 ( )33,3 23,
2、xax f xxaxa ax xaxa , 如果对任意xR,( )4f x 即 ( )f x的最小值为34a , 解得:1a; 当3a 时,( ) |3| 2|3|f xxaxx, 则 ( )f x的最小值为 0,不符合条件,舍去; 当3a 时, 23, ( )33, 3 23,3 xaxa f xxaxaxa xax , 如果对任意xR,( )4f x 即 ( )f x的最小值为 34a , 解得:7a, 综上:a的取值范围7a或1a 2(2020 届陕西省汉中市高三质检)已知函数( ) |2 |f xxaa. (1)当 a=2 时,求不等式( )6f x 的解集; (2)设函数( ) |2
3、 1|g xx.当xR时,( )( )3f xg x ,求a的取值范围. 【答案】(1) | 13xx ;(2)2,) 【解析】 (1)当2a时, ( ) |22| 2f xx. 解不等式|22| 26x ,得13x . 因此,( )6f x 的解集为. (2)当xR时, ( )( ) |2|12 |f xg xxaax |212 |xaxa |1|aa , 当 1 2 x 时等号成立, 所以当xR时,( )( )3f xg x等价于|1|3aa . 当1a 时,等价于13aa ,无解. 当1a 时,等价于13aa ,解得2a. 所以a的取值范围是2,). 3(2020 届四川省泸州市高三二诊
4、)已知 13f xxx. (1)解不等式 6f x ; (2)若, ,a b c均为正数,且 10f af bc ,求 222 abc的最小值. 【答案】(1)5,1;(2) 4 9 【解析】 (1) 24,1 2, 31 24,3 xx f xx xx , 由 6f x 得 1 246 x x 或 31 26 x 或 3 246 x x , 解得5,1x . (2) 242410f af bcabc , 所以222ab c , 由柯西不等式 2 222222 1231231 12 23 3 aaabbbaba ba b得: 2 222222 22122abcabc 所以 2 222 9224
5、abcabc, 即 222 4 9 abc (当且仅当 4 2 9 abc时取“=”). 所以 222 abc的最小值为 4 9 . 4(2020 届山西省太原市高三模拟)已知函数( ) |2 |f xxa ,( ) |1|g xx. ()若 ( )2 ( )f xg x 的最小值为 1,求实数a的值; ()若关于x的不等式( ) ( )1f xg x的解集包含 1 ,1 2 ,求实数a的取值范围. 【答案】()1a或3;() 3 , 1 2 【解析】 () 22222222f xg xxaxxaxa 21a,解得:1a或3 ()由 1f xg x得:211xax 当 1 ,1 2 x 时,2
6、1211xaxxax ,即:2xax 2xxax ,即: 3 a xa 1f xg x的解集包含 1 ,1 2 1 32 1 a a ,解得: 3 1 2 a 即a的取值范围为: 3 , 1 2 5(2020 届江西省九江市高三第二次模拟)已知函数 12 ( ) 21 xx f x x 的最大值为 m. (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c 为正数,且a b cm ,求证:1. bcacab abc 【答案】(1)1m(2)证明见解析 【解析】 (1)( )f x的定义域为 1 2 xR x , 12(1)(2)21xxxxx 当且仅当 (1)(2)0 1 2 xx x ,即 1 1 2
7、 x 或 1 2 2 x时取等号 21 ( )1 21 x f x x ,1m (2)由(1)知1abc 22 bcacbc ac c abab ,22 bcabbc ab b acac ,22 acabac ab a bcbc 相加得22() bcacab abc abc ,当且仅当 1 3 abc时取等号. 1 bcacab abc 6(2020 届湖南省衡阳市高三一模)已知函数( )|6|f xxxm的定义域为R. (1)求实数m的取值范围; (2)设t为m的最大值,实数 , ,a b c满足 222 abct ,试证明 222 111 1 111abc . 【答案】(1)6m(2)证明
8、见解析 【解析】 (1)由题意知,|6| |xxm恒成立, 又|6| |(6)| 6xxxx, 所以实数m的取值范围是6m. (2)由(1)可知, 222 6abc,所以 222 1119abc 从而 222 222222 1111111 111 1119111 abc abcabc 222222 222222 11111111 3(36)1 91111119 bacacb abacbc , 当且仅当 222 1113abc ,即 222 2abc 时等号成立,证毕. 7(2020 届湖南省常德市高三模拟)设函数 214f xxx . (1)解不等式 0f x ; (2)若 342f xxm对
9、一切实数x均成立,求实数m的取值范围. 【答案】(1) 解集为1x x或5x;(2) m的取值范围为7,11. 【解析】 (1)当4x时, 2145f xxxx ,原不等式即为50 x , 解得5xx,4x; 当 1 4 2 x时, 21433f xxxx ,原不等式即为330 x , 解得1x ,14x; 当 1 2 x 时, 2145f xxxx ,原不等式即为50 x , 解得5x,5x; 综上,原不等式的解集为1x x或5x. (2) 34212421289f xxxxxx . 当 1 4 2 x时,等号成立. 34f xx的最小值为9,要使 342f xxm成立, 29m,解得711
10、m ,m的取值范围为7,11. 8(2020 届湖北省高三模拟)已知实数 a、b 满足 a2+b2-ab3 (1)求 a-b 的取值范围; (2)若 ab0,求证: 22 1134 4abab 【答案】(1)2ab2;(2)证明见解析 【解析】 (1)因为 a2+b2ab3,所以 a2+b23+ab2|ab| 当 ab0 时,3+ab2ab,解得 ab3,即 0ab3; 当 ab0 时,3+ab2ab,解得 ab1,即1ab0, 所以1ab3,则 03ab4, 而(ab)2a2+b22ab3+ab2ab3ab, 所以 0(ab)24,即2ab2; (2)由(1)知 0ab3, 因为 22 22
11、22 113443 44 ab ababa bab 2 222222 34333311111 33()0 4442 ab a baba baba babab 当且仅当 ab2 时取等号, 所以 22 1134 4abab 9 (2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测) 已知函数( )11f xxa x (1)当2a 时,解不等式 ( )5f x ; (2)若( ) 3f xa x,求a的最小值 【答案】(1) 4 (,)(2,) 3 . (2) 1 2 . 【解析】 (1)当2a 时, 1 3 ,1 3, 11 31,1 x x f xxx xx 5f x 的解集为: 4 ,2, 3 (2
12、)由 3f xa x得: 1 13 x a xx 由1321xxx ,得: 11 132 x xx 得 1 2 a (当且仅当1x或3x时等号成立), 故a的最小值为 1 2 . 10(2020 届广西柳州市高三第一次模拟)已知函数 212f xxx ,不等式 2f x 的解集为M. (1)求M ; (2)记集合M的最大元素为m,若a、b、c都是正实数,且 111 23 m abc .求证:239abc. 【答案】(1)51xx ;(2)证明见解析. 【解析】 (1) 2122f xxx . 当 2 1 x 时, 21232f xxxx ,解得5x,此时 1 5 2 x ; 当 1 2 2 x
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