第1讲有理数的概念同步培优（教师版）

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1、第一讲第一讲一一、正数和负数正数和负数在数学发展历史上，从发现自然数开始，随着人类文明进步，我们又逐渐定义了分数和小数等.在生活和学习中，我们会需要记录一些具有相反意义的量，比如：零下4C和零上6C，收入 20 元和支出 30 元，向东 30 米和向西 100 米等等这些数据不仅意义相反，而且表示一定的量，为了表示它们，我们定义了正负数： 1用正负数表示相反意义的量：用正负数表示相反意义的量：我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数【例例】以上几个例子分别记为：4 C和6 C，20元和

2、20元，30米和100米. 2正数正数：像 30、+6、 1 2 、这样的数叫做正数，正数都大于零； 3负数负数：在正数前面加上“”号的数叫做负数，比如：20、3.14、0.001、 17 2 【注注】表示正数时， “+”号可以省略，但表示负数时， “”号一定不能省略；数 0 既不是正数也不是负数二二、有理数的概念及分类有理数的概念及分类 1有理数：有理数：整数与分数统称为有理数 2有理数的分类：有理数的分类：（1）有理数按性质性质分类：正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数（2）有理数按符号符号分类正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数

3、）负整数负有理数负分数（3）小数的分类【注注】注意以下几个概念的区分：非负数：非负数：正数和零；非正数：非正数：负数和零；非负整数：非负整数：正整数和零；非正整数：非正整数：负整数和零；非负有理数：非负有理数：正有理数和零；非正有理数：非正有理数：负有理数和零有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数不可化成分数，是无理数可化成分数，是有理数三三、数轴数轴 1数轴数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线【注注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素数轴的三要素；原点：原点：表示数 0 的点；正方向：正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正

4、方向；单位长度：单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2数轴的画法数轴的画法（1）画一条水平直线；（2）在这条直线上取一点作为原点；（3）一般用箭头表示正方向；（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方【例】例】一个标准的数轴：【注注】画数轴的常见错误：三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度；单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样；方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱一些错误的数轴示例：错误类型错误示例三要素缺失单位长度不统一方向不统一 3数轴与有理数的关系数轴与有理数的关系任何一个有理数

5、均可用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点不一定代表有理数，比如数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数 4数轴与数学思想数轴与数学思想数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系；分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零四、四、相反数相反数&倒数倒数 1相反数相反数：如果两个数只有符号不同只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数特别地，0 的相反数是 0 【例例】5与5互为相反数；5是5的相反数；【注注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“5是

6、相反数”是错误的. 2相反数的相反数的性质性质：（1）代数性质：若 a 与 b 互为相反数，则0ab；反之，若0ab，则 a 与 b 互为相反数（2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的 3倒数倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数【例例】2 与 1 2 ，3与 1 3 ， 3 8 与 8 3 4负倒数负倒数：乘积为1的两个有理数互为负倒数 2 1 0 12 02 101 0 12 201 1 23 101 2 01 1 01 1 01 【例例】2 与 1 2 ，3与 1 3 ， 3 8 与 8 3 【注【注】0 没有倒数，也

7、没有负倒数；倒数是它的本身的数 1 或五五、绝对值绝对值 1绝对值绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作a 2绝对值运算绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0 (0) 0(0) (0) aa aa aa 3绝对值的性质绝对值的性质：（1）非负性：| 0a ；（2）双解性：若| |ab，则ab或ab 【注注】如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0 例如，若| |abc，则a ，b ，c （1）仔细思考以下各对量：胜二局与负三局；气温为3 C 与气温升高30 C；盈利 5 万元与亏损 5

8、万元；增加 10%与减少 20% 其中具有相反意义的量有（） A1 对 B2 对 C3 对 D4 对（2）我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元 2017 年记作+2017 年，那么，处于公元前 500 年的春秋战国时期可表示为_ 如果 80m 表示向东走 80m，那么60m表示_ A，B 两地海拔高度分别是 120 米，10米，则 B 地比 A 地低_米（3）学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)”字样，请问“60030(ml)”是什么含义？质检局对该产品抽查 5 瓶，容量分别为 603ml，611ml，589ml，573ml，627ml，问抽查

9、产品的容量是否合格？【解析】【解析】（1）C；具有相反意义；（2）500年，向西走60m，130；（3） “(ml)”表示每瓶饮料容量最小可以是()ml，最大可以是()ml，抽出的 5 瓶容量均在()ml与()ml之间，因此合格【提示】【提示】通过这道例题反复强调，正数和负数可以表示相反意义的量模块一正数和负数例题1 模块二有理数的概念及分类（1）下列说法错误的是（） A0 既不是正数也不是负数 B正整数和负整数统称整数 C整数和分数统称有理数 D正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里： 5，0，3.14，32，2.4， 22 7 ， 3 2 7

10、，5.5， 3 11 ，3.14159， 3 4 ，2003 正数：；负数：；非负整数：；分数：；非正有理数：；（3）在下表适当的空格里打上“”号整数分数正数负整数正分数非负数非负整数无理数 0 . . . & 9 8 【解析】【解析】（1）B；（2）正数：32， 22 7 ， 3 2 7 ，3.14159，2003；负数：5， 3 4 ，3.14，2.4，5.5， 3 11 ；非负整数：0，32，2003；分数：3.14，2.4， 22 7 ， 3 2 7 ，5.5， 3 11 ，3.14159， 3 4 ；非正有理数：5，0，3.14，2.4，

11、5.5， 3 11 ， 3 4 ；（2）整数分数正数负整数正分数非负数非负整数无理数 . . 例题2 . & 9 8 【提示】【提示】能化成分数的小数一律视作分数。有理数的分类和“六非”是常考题，学生们容易出错，需要反复强调（1）下面图形是数轴的是（） A B C D （2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_ （3）已知：点 A 在数轴上的位置如图所示，点 B 也在数轴上，且 A、B 两点之间的距离是 2，则点 B 表示的数是_ （4）在数轴上标出下列各数：0，4.2-， 1 3 2 ，2-，+7， 1 13，并用“”连接【解析】【解析

12、】（1）C；（2），0，1，2；（3）1或5；（4）图略， 11 4.220137 32 【提示】【提示】主要考查数轴的基础：（1）数轴三要素：原点，单位长度和正方向；（2）在数轴上表示数，右边的数大于左边的数另外，第一次接触分类讨论，需要仔细引导（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动 2 个单位长度后，又向反方向移动 6 个单位长度，则这个点表示的数是_ 模块三数轴例题3 例题4 1232013 122 10 123 21012 1.32.6 A 3O 765432 10 123 45 67 a b0 （2）一个小虫在数轴上先向右爬 2 个单位，再向左爬 6 个单位，所

13、在位置正好距离数轴原点 2 个单位，则小虫的起始位置所表示的数是_ （3）数轴上的点 A 对应的数是1，一只蚂蚁从 A 点出发沿着数轴向右以每秒 3 个单位长度的速度爬行至 B 点后，用 2 秒的时间吃光了 B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回 A 点，共用去 6 秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与 A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？【解析】【解析】（1） 4 （2）6 或 2；（3）蚂蚁 6s 共爬行() 个单位长度； B 点到 A 点的距离为个单位长度；所以 B 点对应的数是 5 【提示】【提示】总结：数轴上点的移动，点代表的数左减右加（1）20

14、17的相反数是_，2017 与_互为相反数（2）已知有理数 a、b 在数轴上表示如图，则 a、b、a、b的大小，正确的是（） Aabab Babba Cbaab Dabba （3）下列说法正确的是（） A一个数的相反数一定是负数 B和. 互为相反数 C所有的有理数都有相反数 D13 和 31 互为相反数【解析】【解析】（1）2017，2017；（2）C；（3）C 【提示】【提示】主要考查相反数的基本性质，建立数形结合的思想我们可以用字母表示数，比如 a、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“”号，就得到这个数的相反数（1）5 的相反数是_； 1 3 的相反数是_，0 的相反数

15、是_，数 a 的相反数是_；（2）5的相反数是_， 1 2 的相反数是_，4的相反数是_；数a的相反数是_；（3）( 2) 的相反数是_；( 5) 的相反数是_，数()a 的相反数是_，数()a 的相反数是_；()ab 与_互为相反数【解析】【解析】（1）5， 1 3 ，0，a；（2）5， 1 2 ，4，a；（3）2，5，a，a，ab 【提示】【提示】总结相反数的求法，可以结合数轴：先化简，再求相反数模块四相反数&倒数例题5 例题6 54 BA 1230-1 如果a ，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ()a ； ()a ； ()a ； ()a ； ()a ； ()

16、a 【解析】【解析】()aa ，正数；()aa ，负数； ()aa ，负数；a，正数； ()aa ，正数； ()aa =，正数【提示】【提示】总结：字母前面的符号“奇负偶正” （1）2017的倒数是_，2017 与_互为负倒数（2）一个数的倒数等于它本身，这个数是_；一个数的倒数等于它的相反数，则这个数_ （3）已知 a、b 为有理数，在数轴上如图所示，则（） A ab B ab C ba D ba 【解析】【解析】（1） 1 2017 ； 1 2017 ；（2）1 或，不存在；（2）B （1）2017的绝对值是_，| 2017| 的相反数是_，| 2017|与_互为倒数（2）绝对

18、ab A0 个 B1 个 C2 个 D3 个（2）若 x 表示有理数，则|x 一定是（） A正数 B负数 C非正数 D非负数（3）下列说法正确的是（） A若 a 表示有理数，则a表示非正数 B和为零的两数互为相反数 C一个数的绝对值必是正数 D若| |ab，则ab 【解析】【解析】（1）A；（2）C；（3）B 【提示】【提示】综合考查相反数，绝对值和倒数的概念，主要是代数感的建立（1）如果节约 16 吨水记作+16 吨，则浪费 6 吨水记作_ （2）在体育课的跳远比赛中，以 4.00 米为标准，若小东跳出了 4.22 米，可记做+0.22，那么小东跳出了 3.85 米，记作_ （

19、3）把下列各数填入表示它所在的大括号： . ，3，2.008，，，0，() ，3.14，| 正有理数：非负整数：负分数：【解析】【解析】（1）吨；（2）. ；（3）正有理数：3，2.008，，() ，3.14；非负整数：3，0，() ；负分数：. ，例题10 复习巩固演练1 （1）下列说法正确的是（） A在有理数中，零的意义仅仅表示没有 B正有理数和负有理数组成全体有理数 C0.5 既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数 D零既不是正数，也不是负数（2）下列说法不正确的是（） A绝对值等于本身的数是非负数 B倒数等于本身的数有 2 个 C有理数可分为整数和分数

20、D两个负数比较大小，绝对值越大的数越大【解析】【解析】（1）D；（2）D （1）如图，表示数轴正确的是（） A B C D （2）已知点 A，点 B 在数轴上，点 A 表示数为，A、B 两点的距离为 5，则点 B 表示的数是_ （3）在数轴上标出下列各数，并用“”比较它们的大小：，，. ，5 （4）已知，ab为有理数，在数轴上的位置如图所示，则 a ， b ，0，1 的大小关系为_ 【解析】【解析】（1）C；（2）3 或；（3）大小关系如下： 1 31.5125 2 ；（4） 11 01 ab 021-1-2 3-2-1120 -2 -112023-2-110 演练2 演练 3

21、演练 4 10ba （1）点 A 在数轴上距原点为 3 个单位，且位于原点左侧，若将 A 向右移动 4 个单位，再向左移动 2 个单位，这时 A 点表示的数是_ （2）一只小虫在数轴上先向右爬 3 个单位，再向左爬 7 个单位，正好停在的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（） A B4 C2 D0 【解析】【解析】（1）1；（2）C （1）与_互为相反数；a 是_的相反数（2）() 的相反数是_；b 是_的相反数（3） () _； () 与_互为相反数【解析】【解析】（1），a ；（2），b ；（3）；（1）|xy ，求xy _ （2）的倒数是_，3.75 的负倒数是_ （3）给出下面说法：互为相反数的两数的绝对值相等；一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；若 |mm，则0m ；若| |ab，则ab，其中正确的有_ 【解析】【解析】（1）6；（2）；；（3）演练 5 演练 6