第3讲 绝对值的化简和几何意义 同步培优（教师版）

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1、第第 3 讲讲 绝对值的化简和几何意义绝对值的化简和几何意义 模块一模块一 绝对值的基本概念绝对值的基本概念 （1）非负性：）非负性：| | 0a （补充： 2 0a ） 对应题型：对应题型：绝对值的化简 方法：方法：判断“| |”里面整体的正负性 易错点：易错点：求一个多项式的相反数 对应策略：对应策略： 求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项 式的相反数 ab的相反数是ab ； abc的相反数是abc ； 1 3 2 ab的相反数 1 3 2 ab （2）双解性：）双解性：| |(0)ab b ，则ab （3）绝对值的代数意义：）绝对值的代数意义： (0) |0(0) (0) aa aa

2、 aa （常用） (0) | (0) aa a aa 或 (0) | (0) aa a aa 变式结论：变式结论：若| |aa ，则0a ； 若| |aa ，则0a 模块二模块二 零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型）零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型） 零点：零点：使绝对值为 0 的未知数值即为零点 方法：方法： 寻找所有零点，并在数轴上表示； 依据零点将数轴进行分段； 分别根据每段未知数的范围去绝对值 易错点：易错点：分类不明确，不会去绝对值 化简：|1|2|xx 零点为 1， 2， 故将数轴分为 3 个部分， 即1x ，12x， 2x 当1x 时，原式23x ； 当12x时

3、，原式(1)(2)1xx； 当2x 时，原式23x 模块三模块三 几何意义几何意义 |x的 的几何意义：几何意义：数轴上表示数x的点与原点的 距离； |xa 的的几何意义：几何意义： 数轴上表示数 x 的点与数 a 的点之间的距离； |xaxb 的的几何意义：几何意义：数轴上表示数 x 的 点与数 a、b 两点的距离之和 举例： | 1|=|( 1)|xx 表示 x 到1的距离 | 1|2|xx 表示 x 到1和 x 到2的距离之和 | 1|2|xx 表示 x 到1和 x 到2的距离之差 基本结论：基本结论：令 123n aaaa ， 123 |+| n xaxaxaxa 方法：方法：直接套用

4、几何意义画数轴 当 n 为奇数时，当 1 2 n xa 时取最小值； 当 n 为偶数时，当 1 22 nn axa 时取最小值 常见变形： | 1| 2|3| 3|4|xxx 在34x时取得最小值 111 113|2| 2|3| 236 xxxx 在2x 时取得最 小值 | 1|2|xx 既有最小值也有最大值 （1）已知 2 (3)|2|=0 xy，则 y x _ （2）若|3|xy与|1999|xy互为相反数，求 xy xy 的值是 （3）已知 2 ()|5|5abbb，且|21| 0ab，那么ab _ （1） 2 (3)|2| 0 xy，3x ，2y 原式 1 9 （2）原式 1999 3

5、 （3） 2 ()|5|5abbb，50b ，0ab 又|21| 0ab，210ab ，解得 1 3 a ， 1 3 b ， 1 9 ab 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要讲解回顾绝对值的非负性和平方的非负性 （1）若| 3x ，| 2y ，且xy，求xy的值是 （2）已知| 5a ，| 3b ，且|abba，求ab的值是_ （3）若 a，b，c 为整数，且 20162016 |1abca，则|caabbc的值是_ （1）5 或 1； （2）8或2； （3）a、b、c均为整数，|ab，|ac均为非负整数， 只能有|0ab，|1ac或者|1ab，|0ac 当|0ab，|1ac时，ab，|1

6、bcac， 此时，|0 1 12abbcca 当|1ab，|0ac时，ac，|1bcba， 此时，|1 102abbcca 故总有|2abbcca 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查绝对值的双解性 模块一 绝对值的基本概念 例1 例2 （1）化简： 111111 200420032003200210031002 _ （2）若 2015 2 2016 x ，则|1|2|3|4|5|xxxxxx （3）a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简：| |abcbacabc （4）已知数 a，b，c 的大小关系如图所示，则下列各式： ()0bac ；()0abc； | | 1 | abc abc

7、 ；0bca； |2abcbacb 其中正确的有 （1）原式= 111111 200320042002200310021003 111 100220042004 （2）由于23x，故原式123459xxxxxx （3）原式33abc （4） 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查绝对值的化简，去绝对值 化简： （1）|1|2|xx （2）|5|23|xx （3）|1|2|3|xxx （4）|1| 2|1|xx （1）零点为 1，2，故将数轴分为 3 个部分，即1x ，12x，2x 当1x 时，原式(1)(2)23xxx ； 当12x时，原式(1)(2)1xx； 当2x 时，原式(1)(2)

8、23xxx 即原式 231 = 112 232 xx x xx ， ， ， 例3 模块二 零点分段法 例4 b0 ca b0 ca （2）零点为5， 3 2 ，故将数轴分为 3 个部分，即5x ， 3 5 2 x ， 3 2 x 当5x 时，原式(5)(23)8xxx ； 当 3 5 2 x 时，原式(5)(23)32xxx； 当 3 2 x 时，原式(5)(23)8xxx （3）零点为 1，2，3 当1x 时，原式(1)(2)(3)36xxxx ； 当12x时，原式(1)(2)(3)4xxxx ； 当23x时，原式(1)(2)(3)xxxx； 当3x 时，原式(1)(2)(3)36xxxx

9、（4）先找零点由10 x 得1x ； 由|1| 20 x 得1x 或3x ； 由10 x 得1x 所以零点共有1，1，3三个，故将数轴分为 4 个部分 当1x 时，原式| (1)2| (1)1122xxxxx ； 当11x 时，原式| (1)2| (1)1122xxxxx ； 当13x时，原式|(1)2| (1)314xxxx ； 当3x 时，原式|(1)2| (1)3122xxxxx 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查零点分段法去绝对值 求|1|5|yxx的最大值和最小值 零点为5，1 当5x 时，(1)(5)6yxx ； 当51x 时，(1)(5)24yxxx ，有66y ； 当1

10、x 时，(1)(5)6yxx 故最大值为 6，最小值为6 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查零点分段法去绝对值的作用，求最值 规律探究和应用： （1）数轴上表示 4 和 1 的两点之间的距离是 ；表示3和 2 两点之间的距离是 ；一般 地，数轴上表示数 m 和数 n 的两点之间的距离等于 ；如果表示数 a 和2的之间的距离是 3，那 么a 例5 模块三 绝对值的几何意义 例 6 （2）若数轴上表示数 a 的点位于4与 2 之间，求|4|2|aa的值 （3）当 a 取何值时，|5|1|4|aaa的值最小，最小值是多少？ （4）求|1|2|100|aaa+|的最小值，并求出此时 a 的取值

11、范围 （1）3；5；|mn；5或 1 （2）|4|2| 6aa （3）|5|1|4|aaa最小值为 9，在1a 时取得最小值 （4）当5051a时，原式有最小值，代数式的值为 2500 已知 7 5 9 x ，求 x 取何值时|1|3|xx取最大值与最小值 |1|3|xx表示 x 到点 1 和3的距离差， 画出数轴，可得当 7 9 x 时两者的距离差最小为 32 9 ，即 min 32 (|1|3|) 9 xx ； 当53x 时，两者的距离差最大为 4，即 max (|1|3|)4xx （1）求2|1|2|xx的最小值及此时x的取值 （2）求3|1| 2|4|2|xxx的最小值及此时x的取值

12、（3）求|1|23|34|xxx的最小值及此时x的取值 （4）求 111 |1|2|3| 234 xxx的最小值及此时x的取值 （1）中位项为|1|x ，故1x ，最小值为 1 （2）中位项为|1|x 和|2|x，故12x ，最小值为 13 （3）原式 34 |1| 2| 3| 23 xxx，中位项为 4 3 x ，故 4 3 x ，最小值为 2 3 例 7 例 8 （4）原式 111 |2|6|12| 234 xxx 1 (6|2| 4|6| 3|12|) 12 xxx， 括号里的中位项为|6|x，故6x ，最小值为 7 2 【教师备课提示】【教师备课提示】例 6例 8 主要考查绝对值的几何

13、意义，数形结合的思想 （1）已知|( 2)|3| 0 xyz ，则xyz . （2）|1|2| 0ab，求 201620152 ()()()abababab （3）已知 222 123420152016 |1| (2)|3| (4).|2015| (2016) =0 xxxxxx，求 12233420152016 1111 . x xx xx xxx 的值 （1）1 （2）|1|2| 0ab，1a ，2b ，1ab ，则原式0 （3）由| 0a ， 2 0a 可知， 1 1x ， 22016 22016xx， 则 1223 11 x xx x 20152016 1111 1 223201520

14、16xx 12015 1 20162016 . （1）已知|4x ，|6y ，则|xy的值为 （2）已知| 1a ，| 2b ，| 3c ，abc，则 2 ()abc （1）2 或 10 （2）由abc知只能有1a ，2b ，3c ，故原式0或4 （1） （树德半期）a，b，c 在数轴上的位置如图 3-1 所示， 模块一模块一 绝对值的基本概念绝对值的基本概念 演练1 演练2 演练3 复 习 巩 固 化简：| |1|2|abcbacabc （2）已知 a、b、c 在数轴上的对应点如图 3-2 所示，化简：|aabcabc 图 3-1 图 3-2 （1）331abc； （2）32ac 化简： （

15、1）|5|23|xx （2）|1| 3|x （1）先找零点. 50 x ，5x ；230 x ， 3 2 x ，零点可以将数轴分成三段 当 3 2 x，50 x ，230 x ，|5|23| 32xxx； 当 3 5 2 x，50 x ，230 x ，|5|23| 8xxx； 当5x ，50 x ，230 x ，|5|23|32xxx （2）先找零点由10 x 得1x ；由|1| 30 x 得4x 或2x 所以零点共有4，1，2三个，故将数轴分为 4 个部分 当4x 时，原式| (1)3|4|4xxx ； 当41x 时，原式| (1)3|4|4xxx ； 当12x 时，原式|(1)3|2|2x

16、xx； 当2x 时，原式|(1)3|2|2xxx 试求|1|2|1996|xxx的最小值 |1|2|1996|xxx表示 x 到 1，2，1996 的距离和.中间的两点代表的数是 998、999，所以 当998999x 时，原式有最小值； 我们可以取998x ，原式9979961012998996004 cb a0 模块三模块三 绝对值的几何意义绝对值的几何意义 模块二模块二 零点分段法零点分段法 演练4 演练5 求|1| 2|2| 3|3|xxx的最小值及此时 x 的取值 中位项为|2|x和|3|x，故当23x时，最小值为 4 已知2x，求|3|2|xx的最大值与最小值 解法一： 根据几何意义可以得到，当2x时，取最大值为 5；当2x 时，取最小值为3 解法二： 找到零点 3，2，结合2x可以分为以下两段进行分析： 当22x 时，|3|2| 3212xxxxx ，有最值3和 5； 当2x 时，|3|2| 325xxxx；综上可得最小值为3，最大值为 5 演练7 演练6