第2讲有理数的运算同步培优（教师版）

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1、第第二二讲讲一一、有理数的加法运算有理数的加法运算 1有理数的加法运算法则有理数的加法运算法则（1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加：绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数同 0 相加，仍得这个数【例例】( 3)( 5)(35)8 ( 3)( 5)(35)8 2( 2)0 3( 2)(32)1 2( 5)(52)3 303 符号数值正数+正数正绝对值相加负数+负数负绝对值相加正数+负数取绝大绝大减绝小【注注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立 2加法运算

2、技巧加法运算技巧（1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式；（2）符号相同的数可以先结合在一起；（3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相加得零；（4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起【例例】 113 ( 0.75)1 444 11313111 0 82888222 3.7( 7)6.33.76.3( 7)10( 7)3 2.452.4( 2.42.4)5055 二二、有理数的减法运算有理数的减法运算 1有理数的减法运算法则有理数的减法运算法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：()abab 【例例

3、】3( 2)325 8( 7)871 2有理数的减法运算步骤有理数的减法运算步骤（1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数；（2）按照加法运算进行计算【例例】计算：86 解：原式8( 6) Step1：减号变加号，减数变相反 (86) Step2：按照加法的运算步骤计算 14 3有理数加减法混合运算技巧有理数加减法混合运算技巧（1）把算式中的减法转化为加法；（2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉；（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算三三、有理数的乘法运算有理数的乘法运算 1有理数的乘法运算法则有理数的乘法运算法则两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘任何数与 0 相乘

4、，积仍为 0 【例例】3 ( 5)(3 5)15 2 8(28)16 12 11132 201700 2有理数的乘法运算律有理数的乘法运算律（1）乘法交换律：abba；（2）乘法结合律：()()ab ca bc；（3）乘法分配律：()a bcabac 【例例】() ()() 3有理数乘法有理数乘法运算运算技巧技巧：（1）几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为 0，则积为 0；（3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于约分简记为：化小为分，化带为假【例】【例】()(.)

5、的结果为负数 () 的结果为 0 . 四四、有理数的除法运算有理数的除法运算 1有理数除法运算法则有理数除法运算法则一个数除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数aba b ，()b 2有理数除法的运算步骤：有理数除法的运算步骤：（1）把除号变为乘号；（2）把除数变为它的倒数；（3）把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算【例例】()() 五五、乘方乘方乘方乘方：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂幂在 n a中， n a读作“a 的 n 次幂”或者 “a 的 n 次方” ，a 叫做底数，n 叫做指数【例例】 n a表示有 n 个 a 连续相乘：表

6、示，表示() ， ()表示()()()()() 【注】【注】当 n 为奇数时，()n n aa ；当 n 为偶数时，()n n aa 六六、混合运算技巧混合运算技巧 1有理数运算规则有理数运算规则加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号） 2 “奇负偶正奇负偶正” （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“ ”号号的个数，正、负指的是化简结果的符号；（2）有理数乘法：当多个非

7、零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号；（3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正【例例】() () ()()() ； ()()() () () 七七、绝对值初步绝对值初步（1）若|aa，则a ；若|aa ，则a （2）| |aa （3） |aa aa ，，（1）()() （2）(. ) （3）()() （4） 21 43 33 （5）() （6）（7）（8）模块一有理数的加减法例题1 【解析】【解析】（1）()() （2）(. ) （3）()() （4） 21 43 33

8、 () ( . ) . () （5）() （6）（7）（8） () () （1）()() （2）() 【解析】【解析】（1）解：原式()() （2）解：原式() (23 7)()() =+ () 30+()= +()= （1）(.75). （2）（3）.(.) （4）. 【解析】【解析】（1）原式 + （2）原式 + () （3）原式（4）原式 () ()() 例题2 例题3 （1）() （2）(.). （3）() （4）| 【解析】【解析】（1）原式() 910113 39 59211 ；（2）原式；（3）原式() ；（4）原式（1）() （2）(.). 【解析】【解析】（

9、1）原式()()() ()() . （2）原式(.). （1）() （2）（3）（4）（5）| 模块二有理数的乘除法例题4 例题5 模块三乘方例题6 【解析】【解析】（1）81；（2）；（3）；（4）；（5）原式（1）() （2）()() （3）() （4）() 【解析】【解析】（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式【提示】【提示】有理数乘方常考学生的易错点，即“奇负偶正”在乘方运算中的应用（1）若1a ，则化简|aa 的结果为_ （2）若x ，化简 | | xx xx （3）已知数 a、b、c 在数轴上的位置如图，化简|ababbc的结果是（） Aa

12、零，若 m、n 两个数都是正数，则 mn 也是正数，故原式值为 3；例题9 例题10 若 m、n 两个数一正一负，则 mn 是负数，故原式值为；若 m、n 两个数都是负数，则 mn 是正数，故原式值为；综上所述， | | mnmn mnmn ，（3）abc ，a、b、c 三个数都不为零，若 a、b、c 三个数都是正数，则 ab、ac、bc 也都是正数，故原式值为 3；若 a、b、c 中两正、一负，则 ab、ac、bc 中一正、两负，故原式值为；若 a、b、c 中一正、两负，则 ab、ac、bc 中一正、两负，故原式值为；若 a、b、c 中三负，则 ab、ac、bc 中三正，故

14、所得 | | | | a bb cc a a bb cc a ；（2）考虑abc ，bca ，acb ，代入原式可得【提示】【提示】例 9、 10、 11 均是关于 |a a 的问题，例 9 是最基本的 |a a 的考查形式，需要带着学生分类讨论找到规律；例 10 是例 9 的变形，考查形式多样化，但基本思路依然是分类讨论正负数的个数即可；例 11 则加入了一些限制性的条件，限制了正负数的个数（1） (.) () 例题11 非常挑战 cba 10 （2） ()() () 【解析】【解析】（1）6035；（2）25.6 计算：（1）(. ). （2）.(. )(. )(. )