第8讲 角度的动态问题 同步培优（教师版）

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1、 模块一：钟表问题模块一：钟表问题 基础数据基础数据 做法做法 整个钟面为 360 度，上面有 12 个大格，每个大格为 30 度；60 个小格，每个小格为 6 度； 法一：画图法 法二：方程法 整个分针速度： 每分钟走一小格， 每分钟走 6 度， 1 小时转360 时针速度：每分钟走 小格，每分钟走 0.5 度，1 小时转30 注意：相邻两次重合之间，一次平角，两次直角 模块二：角度的旋转模块二：角度的旋转 解题三大步骤解题三大步骤 1设未知数，表示所有小角. 2固定图形，寻找角度关系，建立关系式. 3求解. （1）9 点 20 分，钟表上时针与分针所成的钝角是_度 （2）某时刻，钟表上的时

2、针和分针所成的夹角是，那么这一时刻可能是（ ） A8 点 30 分 B9 点 30 分 C10 点 30 分 D1 点 30 分 （1）160； （2）B 【教师备课提示】【教师备课提示】通过这道题给大家讲解下画图的方法，对应到某时刻时钟表时针和分针之间的夹角的度 数或者倒过来，已知时针和分针之间的夹角度数，求对应的某时刻 模块一 钟表问题 例1 第第 8 讲讲 角度的动态问题角度的动态问题 （1）小明出门吃饭时时间为 10 点多，时针刚好和分针重合，回来时 2 点多，时针与分针又刚好重合，出 门时间和回家时间分别为几点几分？ （2）4 点到 5 点之间，时针和分针成直角的时间为_ （1）设出

3、门的时间为 10 点 x 分，回家的时间是 2 点 y 分. 则由题意得，.xx ，解得x .yy ，解得y 出门时间为 10 点 分，回家时间为 2 点 分. （2）设时间为 4 点x分， 时针在分针前面时，由题意得，.xx ，解得x 时针在分针后面时，由题意得，.xx ，解得x 在 4 点 分或者 4 点 分时，时针与分针成直角 故答案为 4 点 分或 4 点 分 【教师备课提示】【教师备课提示】通过这道题给同学们讲解下方程的方法，而在相邻两次重合之间的话，有一次平角，两 次直角 如图，AOB为直角，AOC为锐角，且 OM 平分BOC，ON 平分AOC （1）如果AOC，求MON的度数 （

4、2）如果AOC为任意一个锐角，你能求出MON的度数吗？若能，请求出来，若不能，请说明理由 （1）； （2）能，设AOMx， 则BOMx ，COMBOMx ， 例2 模块二 角度的旋转 例3 B O M A N C AOC AONCONx ， MONAOMAON . 【教师备课提示】【教师备课提示】通过这道题给同学们讲解下设小角，进行求解，设小角是可以解决问题的，而且同时遇 到这种问题的时候，设小角给我们提供了解题的思路 已知：O 为直线 AB 上的一点，射线 OA 表示正北方向，射线 OC 在北偏东m的方向，射线 OE 在南偏东n 的方向，射线 OF 平分AOE，且mn （1）如图 4-1，C

5、OE_，COF和BOE之间的数量关系为_ （2）若将COE绕点 O 旋转至图 4-2 的位置，射线 OF 仍然平分AOE时，试问（1）中COF和BOE 之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明，若发生变化，请你说明理由 （3） 若将COE绕点O旋转至图4-3的位置， 射线OF仍然平分AOE时， 则COFBOE _ B O A C F E B O A CF E 北 西 F E C B O 东 南 A 图 4-1 图 4-2 图 4-3 （1），BOECOF （2） 不发生变化 证明如下： 设AOCx， 则A O Ex ，BOEx ， AOEx AOF ， x COFAOCAOF ，

6、 BOECOF . （3）（一样的设小角，同样可以得到结论）. （石室联中）已知AOB，COE ，OF 平分AOE， （1）如图 5-1，若COF，则BOE_；若COFn ，则BOE与BOE的数量关系为 _ （2） 当射线 OE 绕点 O 逆时针旋转到如图 5-2 的位置是，（1） 中BOE与COF的数量关系是否仍然成立？ 请说明理由 （3）在（2）的条件下，如图 5-3，在BOE的内部是否存在一条射线 OD，使得BOD 为直角，且 DOFDOE . 若存在，请求出COF的度数；若不存在，请说明理由 例4 例5 A C F E B O BC O A F E C B O A F ED 图 5-1

7、 图 5-2 图 5-3 （1）28，BOECOF （2）仍然成立，设AOF为 x，则EOFAOFx , COFx ，BOEx，BOECOF （3）设DOEx，则由题DOFDOEx ， EOFx ，AOFx ，AODx ，COFx 由题意得，x ，解得x ，COF 如图 6-1， 射线 OC、 OD 在AOB的内部， 且150AOB，30COD， 射线 OM、 ON 分别平分AOD、 BOC， （1）设NOD为 x，COM为 y，完成下表，并求MON的大小，并说明理由 角 NOC DOM BON AOM MON 度数 （2）如图 6-2，若15AOC，将COD绕点 O 以每秒m的速度逆时针旋转

8、 10 秒钟，此时 :7:11AOMBON，如图 6-3 所示，求 m 的值 B N D C M OA N B O D M C A B O ND C M A 图 6-1 图 6-2 图 6-3 （1）x ，y ，x ，y ，xy 由题意得，xy ，解得xy ，MONxy （2）由题意得，()()AOMAODmm ()()BONBOCmm () () m AOM BON m ，解得.m 例6 如图 7-1，两个形状、大小完全相同的含有30、60的三角板如图放置，PA、PB 与直线 MN 重合，且三角 板 PAC，三角板 PBD 均可以绕点 P 逆时针旋转 （1）试说明：DPC ； （2） 若三角

9、板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度到图7-2， PF平分APD， PE平分CPD， 求EPF； （3）如图 7-3，若三角板 PAC 的边 PA 从 PN 处开始绕点 P 逆时针旋转，转速为3/秒，同时三角板 PBD 的 边 PB 从 PM 处开始绕点 P 逆时针旋转，转速为2/秒，在两个三角板旋转过程中（PC 转到 PM 重合时，两 三角板都停止转动） ，问 CPD BPN 的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由. D C MBPAN C F E D MBPN A C M D B PN A 图 7-1 图 7-2 图 7-3 （1）DPCCPADPB，CP

10、A ，DPB ， DPC ； （2）设CPEDPEx ，CPFy，则APFDPFxy ， CPA Q，yxy ，xy ，EPFxy （3） CPD BPN 的值是定值.设运动时间为 t 秒， 1 当 PD 在 PM 上方时，则BPMt ， BPNt，DPMt ，APNt CPDt ， CPDt BPNt 2 当 PD 转到在 PM 下方时，则BPMt BPNt，DPMt ，APNt CPDt ， CPDt BPNt ， 是定值 例7 模块一模块一 钟表问题钟表问题 复 习 巩 固 （1）6 点 20 分，钟表上时针与分针所成的钝角是_度 （2）在上午 10 时 30 分到 11 点 30 分之

11、间，时针与分针成直角的时刻是_ （1）70； （2）设 10 点 30 分以后，过 x 分钟，时针与分钟的夹角为， .xx x .xx x 综上，时间为 10 点 分或 11 点 已知AOB是一个直角，作射线 OC，再分别作AOC和BOC的平分线 OD、OE （1）如图 2-1，当BOC 时，请完成下表； 角 COE AOC AOD DOB DOE 度数 （2） 如图 2-2， 当射线 OC 在AOB内绕点 O 旋转时，DOE的大小是否发生变化， 若变化， 请说明理由； 若不变求DOE的度数 O A D C E B O A D C E B 图 2-1 图 2-2 演练1 模块二模块二 角度的旋

12、转角度的旋转 演练2 （1）35，20，10，80，45 （2）DOE的大小不变等于45 DOEDOCCOECOBAOCAOB 已知，O 是直线 AB 上的一点，COD是直角，OE 平分BOC （1）在图 3-1 中，若AOC，直接写出DOE的度数（用含的代数式表示） ； （2）将图 3-1 中的DOC绕顶点 O 顺时针旋转至图 3-2 的位置 探究AOC和DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； 在AOC的内部有一条射线 OF，满足：AOCAOFBOEAOF ，试确定AOF与DOE的 度数之间的关系，说明理由 AB E C D O D A O C E B 图 3-1 图 3-2 （

13、1）DOE （2）设COEEOBx 则AOCx，DOEx ， AOCDOE 设COEEOBx AOFy则 由题意可得：xyxy 即yx AOFyQ，DOEx ，AOFDOE 已知：如图，OB、OC 分别为定角AOD内的两条动射线 （1）当 OB、OC 运动到如图的位置时，AOCBOD，AOBCOD ，求AOD的度数； （2）在（1）的条件下，射线 OM、ON 分别为AOB、COD的平分线，当COB绕着点 O 旋转时，下 列结论：AOMDON的值不变；MON的度数不变可以证明，只有一个是正确的，请你作出正 确的选择并求值 演练3 演练4 O D C B A （1）AOCBODAOBCODBOC

14、， AOCBOD，AOBCOD BOC ，BOC ， AODBOCAOBCOD （2）正确，MON OM、ON 分别为AOB、COD的平分线 ()CONBOMAOBCOD MONCONBOMBOC （七初期末）如图 5-1，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，使:AOCBOC ，将一直角三 角板的直角顶点放在点 O 处，一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方 （）将图 5-1 中的三角板绕点 O 按逆时针方向旋转至图 5-2 的位置，使得 ON 落在射线 OB 上，此时三角 板旋转的角度为_度； （）继续将图 5-2 中的三角板绕点 O 按逆时针方向

15、旋转至图 5-3 的位置，使得 ON 在AOC的内部.试探 究AOM与NOC之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）在上述直角三角板从图 5-1 逆时针旋转到图 5-3 的位置的过程中，若三角板绕点 O 按每秒的速度 旋转，当直角三角板的直角边 ON 所在直线恰好平分AOC时，求此时三角板绕点 O 的运动时间 t 的值 C A N B M O C M A ONB C A N B O M C AOB 图 5-1 图 5-2 图 5-3 备用图 （1）90； （2）NOCNOA A O MN O A AOMNOC （3）当 ON 在AOC角平分线的反向延长线上时： / ts s 当 ON 在AOC的角平分线上时： / ts s 演练5