第6讲 线与角 同步培优（教师版）

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1、第六讲第六讲 一一、线线 1基本概念：基本概念： （1）直线直线：能够向两端无限延伸的线叫做直线 表示方法：表示方法：直线可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序； 直线也可以用一个小写字母来表示 【例】【例】如图 1：可以记为直线 AB 或直线 BA； 如图 2：记为直线 l 图 1 图 2 （2）射线射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点 表示方法：表示方法：射线可以用两个大写字母来表示，第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射 线上的点； 射线也可以用一个小写字母来表示 【例】【例】如图 3：记为射线 OA，但不能记为射线 A

2、O； 如图 4：记为射线 l 图 3 图 4 （3）线段线段：直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫做线段的端点连接两点间的线段的长度，叫做 这两点的距离 表示方法：表示方法：线段可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，不分先后顺序； 线段也可以用一个小写字母来表示 【例】【例】如图 5：可以记为线段 AB 或线段 BA； 如图 6：记为线段 l 图 5 图 6 （4）中点中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点 【例】【例】如图 7：点 O 是线段 AB 的中点，此时AOBOAB 图 7 2公理：公理： （1）两点确定一条直线两点确定一条直线：经过两点有且只

3、有一条直线； （2）两点之间，线段最短两点之间，线段最短：两点之间的连线中，线段最短 二、角二、角 1定义：定义： （1）静态定义静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的 两条边，可以无限延伸 （2）动态定义动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形叫做角处于初始位置的那条射线 叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边 (1) (2) lAB (3) (4) lAO (5) (6) lAB (5) (6) lAB (7) OBA 表示方法：表示方法：通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间 用一个大写

4、字母来表示： 这个大写字母一定要表示角的顶点， 而且以它为顶点的角只有一个 用数字或希腊字母来表示：可以用希腊字母（，, .）表示角的大小。为避 免混淆，符号 一般不用来表示角度。 【例】【例】 AOB或BOA A 2角的相关角的相关换算：换算： 1 度= 60分（= 60） ，1 分 秒（1 = 60） ； 1 周角36，1 平角，1 直角 ； 1 周角2平角，1 平角2直角 3相关概念相关概念 补补角：角：如果两个角的和是 ， 那么这两个角互为 补角，简称互补等角或 同角的补角相等 如果12 =+，则1与 2互补；反之，如果1与2 互补，则12 =+ 余角：余角：如果两个角的和是 9，那么

5、这两个角互为 余角，简称互余等角或 同角的余角相等 如果12 = 9 +，则 1 与 2 互余；反之，如果1与2互 余，则12 = 9+ 角平分线角平分线：从一个角的顶 点出发，把这个角分成相 等的两个角的射线，叫做 这个角的平分线 射线 OC 是AOB的角平分线， 2AOB （1）下列说法正确的是（ ） A直线 AB 和直线 BA 是两条直线 B射线 AB 和射线 BA 是两条射线 C线段 AB 和线段 BA 是两条线段 D直线 AB 和直线 a 不能是同一条直线 （2）下列四个生活、生产现象： 用两个钉子就可以把木条固定在墙上； 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；

6、从 A 地到 B 地架设电线，总是尽可能沿着线段 AB 架设； 把弯曲的公路改直，就能缩短路程， 其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ） 4( )3( ) 2( )1( ) 1 AAOB 1 A AO B 4( )3( ) 2( )1( ) 1 AAOB 1 A AO B 4( )3( ) 2( )1( ) 1 AAOB 1 A AO B 4( )3( ) 2( )1( ) 1 AAOB 1 A AO B (8) 2 1 OB C A A O C B 2 1 A O C B 2 1 模块一 线 例题1 A B C D （3）如图，在同一平面内有四个点 A、B、C、D按要求作图：

7、 画射线 CD；画直线 AD；连结 AB；直线 BD 与直线 AC 相交于点 O 【解析】【解析】（1）B； （2）D； （3）略 【提示】【提示】主要考查线的基本概念，练习基本作图技巧 “两点确定一条直线”是直线的性质， “两点之间，线段 最短”是线段的性质 （1）补全下面解题过程已知：如图，B、D 是线段 AC 上两点，D 是 BC 的中点，BDAC ，cmBD ， 求线段 AB 的长 解：BDAC ，cmBD ， （已知） cmACBD D 是 BC 的中点， （已知） BC _BD _cm （线段中点的定义） ABAC_cm （2）如图，在直线 l 的同侧有 A、B 两点，在直线 l

8、上找点 C、D，分别使ACCB最小，DBDA最大 （不 用说理由，保留作图痕迹即可） 【解析】【解析】（1）2，4，BC，6； （2）略 （1） 如图 3-1， 线段6cmAC ， 线段15cmBC ， 点 M 是 AC 的中点， 在 CB 上取一点 N， 使得:1:2CN NB ， 则MN _ 例题2 例题3 AB D C A BDC B A DCABM （2）如图 3-2 已知线段cmAB ，点 M 为 AB 的中点，点 P 在 MB 上，点 N 为 PB 的中点，且cmNB ， 求 PM 的长 图 3-1 图 3-2 【解析】【解析】（1）8cm； （2）cmAB ，点 M 为 AB 的

9、中点， （已知） cmBMAB （线段中点的定义） 点 N 为 PB 的中点，且cmNB （已知） cmBPNB （线段中点的定义） cmPMBMBP 【提示】【提示】练习书写 （1）如图，M 是线段 AB 上一点，cmAB ，cmBM ，C、D 分别是 AM、BM 的中点求 CD 的长 （2）若把上题中的条件“cmBM ”去掉，其它条件不变，你能求出 CD 的长度吗？若能，请求出 CD 的长 度，若不能请说明理由 （3）若 M 是线段 AB 延长线上一点，cmABa，C、D 分别是 AM、BM 的中点，请画出相应的图形，并求出 CD 的长（用含 a 的代数式表出） 【解析】【解析】（1）cm

10、CD ； （2）=cmCD； （3）如图，C、D 分别是 AM、BM 的中点， CMAM ，DMBM （线段中点的定义） ()cmCDCMDMAMBMABa 【提示】【提示】探究题型 （1）延长线段 AB 到 C，使BCAB ，反向延长线段 AB 到 D，使DAAB，若cmAB ，则线段 CD 的 长为_ （2）已知 A，B，C 三点在同一直线上，线段AB ，D 是线段 AB 的中点，且:BC AB ，则线段 CD 的 长为_ 例题4 例题5 A MCNB AB P MN A BCMD （3）已知 A，B，C，D 四点共线，若cmAB ，cmBC ，cmCD ，画出图形，求 AD 的长 【解析

11、】【解析】（1）cmDC ； （2）1.5cm 或 7.5cm； （3）情况 1：如图（1）cmAD 情况 2：如图（2）cmAD 情况 3：如图（3）()cmAD 情况 4：如图（4）()cmAD 【提示】【提示】锻炼孩子根据题意自己画图和分类讨论的能力 已知关于 m 的方程()mm 的解也是关于 x 的方程()xn 的解 （1）求 m，n 的值； （2）已知线段ABm，在线段 AB 所在直线上取一点 P，恰好使 AP n PB ，点 Q 是 PB 的中点，求线段 AQ 的 长 【解析】【解析】（1）m ，n ； （2）如图 1，点 P 在线段 AB 上时， AB ， AP PB AP ，

12、PBABAP 点 Q 为 PB 的中点，PQPB AQAPPQ 如图 2，点 P 在线段 AB 的延长线上时， AB ， AP PB BP BP ，得BP 点 Q 为 PB 的中点， BQBP AQABBQ 综上，线段 AQ 的长为 或 【提示】【提示】方程与线段综合 （1） DCBA （2） ABCD （3） ABCD （4） ABCD 例题6 D C B A O （1） 如图 7-1， 将一副三角板的直角顶点重合， 可得， 理由是等角 （或同角） 的_； 若 ， 则COB_ （2）一个角的补角比它的余角的 4 倍少，则这个角的度数为_ （3）如图 7-2，O 是直线 AB 上的一点，AOD

13、，AOC ，OE 平分BOD，则图中彼此互补的角 共有_对 图 7-1 图 7-2 【解析】【解析】（1）余角相等，130； （2）55； （3）根据题意可得，BOEEODDOC ，BODEOC ，互补的角只需满足和为 这个数量关系即可，与位置无关，所以共有 6 对：AOE与BOE，AOE与EOD，AOE与 DOC，AOD与BOD，AOD与EOC，AOC与BOC 如图，已知BOCAOC ，OD 平分AOB，且COD ，求AOB的度数 【解析】【解析】设AOC，则BOC ， AOBAOCBOC ， OD 平分AOB，AODAOB ， CODAODAOC ， COD ， ， AOB 【提示】【提示

14、】利用角平分线倒角，设小角 模块二 角 例题7 例题8 C A D O B 如图所示，已知 OM 平分AOC，ON 平分BOC （1）当AOB ，BOC ，求MON的度数； （2）若AOB，BOC时，求MON的度数 【解析】【解析】（1）AOB ，BOC ， AOCAOBBOC 又OM 平分AOC，MOCAOC 又ON 平分BOC，NOCBOC MONMOCNOC （2）AOB，BOC， AOCAOBBOC OM 平分AOC，()MOCAOC 又BOC，ON 平分BOC， NOCBOC 又MONMOCNOC ， ()MONMOCNOC 【提示】【提示】探究题型 已知AOB ，从 O 点引射线

15、OC，若:AOCCOB ，求 OC 与AOB的平分线所成的角的度数为 _ 【解析】【解析】分 OC 在AOB的内部和外部两种情形讨论 （1）OC 在AOB内部，如图 1， 则AOCAOB ，AOD ， 故CODAODAOC （2）OC 在AOB外部，如图 2， 则AOCAOB ，AOD ， 故CODAOCAOD 例题9 例题10 A O B CM N 已知、中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算() 的值时，有三位同学分别计 算出了、这三个不同的结果，其中只有一个是正确答案，则_ 【解析】【解析】、中有两个锐角和一个钝角，故， 从而() ， 三个结果中只有是正确的，此时 （1）下列说法

16、正确的是（ ） A射线 PA 和射线 AP 是同一条射线 B射线 OA 的长度是 12cm C直线 ab、cd 相交于点 M D两点确定一条直线 （2）如图 1-1 长度为 12cm 的线段 AB 的中点为 M，C 点将线段 MB 分成:MC CB ，则线段 AC 的长度为 （ ） A10cm B8cm C6cm D4cm （3）已知：如图 1-2，AB ，点 C 为线段 AB 上一点，点 D、E 分别为线段 AB、AC 的中点，ED ，求线 段 AC 的长 图 1-1 图 1-2 【解析】【解析】（1）D； （2）B； 非常挑战 复习巩固 演练1 A MCB A E DCB （2）由 E 是

17、 AC 的中点可知，AEAC ， 同理可知，ADAB 故DEADAEABAC ， 又DE ，AB ，故AC 线段 AB 上有两点 P、Q，AB ，AP ，PQ ，求 BQ 的长 【解析】【解析】情况 1，如图（1） ，BQBPPQ ； 情况 2，如图（2） ，BQBPPQ 如图所示，把一根绳子对折成线段 AB，从点 P 处把绳子剪断，已知:AP BP ，若剪断后的各段绳子中最 长的一段为 60cm，求绳子的原长 【解析】【解析】设APx ，则BPx （1）若 A 是绳子的对折点，则最长一段为AP ，解得AP 由APx ，可得x ，BPx ， 绳子的原长为()()(cm)APPB （2）若 B

18、是绳子的对折点，则最长一段为BP ，解得BP ， 由BPx ，可得x ，APx 绳子的原长为()()(cm)APBP ， 综上，绳子的原长为 150cm 或 100cm 如图所示， 已知AOB和COD都是BOC的余角， OE、 OF分别为AOB和COD的角平分线 若BOC， 求EOF的度数 【解析】【解析】由题意知，AOBCOD ， 由 于 OE 、 OF 分 别 为A O B和COD的 角 平 分 线 ， 故 BOEAOB ， COFCOD ， 所以EOFBOEBOCCOF 演练2 演练3 演练4 PBA 如图所示，OM 是AOC的平分线，ON 是BOC的平分线 （1）如果AOC ，MON ，求AOB的度数； （2）如果MONn ，求AOB的度数当MON的大小改变时，AOB的大小是否随之改变？它们之间有 怎样的大小关系？ 【解析】【解析】（1）OM 平分AOC，ON 平分BOC， MOCAOC ，NOCBOC ， ()MONNOCMOCBOCAOCAOB 又MON ，AOBMON （2）同上，AOBMONn 当MON的大小改变时，AOB的大小也随之改变，AOBMON 如图，是一个的正方形网格，则 _ 【解析】【解析】 ， ， 演练5 演练6 9 8 7 6 5 4 3 2 1