新课标版数学(理)高三总复习之2-3函数与基本初等函数
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1、高考调研高考调研 第第1页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 高考调研高考调研 第第2页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 第第3课时课时 函数的单调性和最值函数的单调性和最值 高考调研高考调研 第第3页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 1理解函数的单调性及其几何意义 2会运用函数图像理解和研究函数
2、的性质 3会求简单函数的值域,理解最大(小)值及几何意义 请注意 函数的单调性是函数的一个重要性质,几乎是每年必考 的内容,例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性 比较大小、求值域、最值或解不等式 高考调研高考调研 第第4页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 课前自助餐课前自助餐 授授人以渔人以渔 自助餐自助餐 课外阅读课外阅读 题组层级快练题组层级快练 高考调研高考调研 第第5页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 课前自助餐
3、课前自助餐 高考调研高考调研 第第6页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 1单调性定义 (1)单调性定义:给定区间D上的函数yf(x),若对于 D,当x1x2时,都有f(x1) f(x2),则f(x)为区间 D上的增函数,否则为区间D上的减函数 单调性与单调区间密不可分,单调区间是定义域的子区 间 x1,x2 高考调研高考调研 第第7页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 (2)证明单调性的步骤:证明函数的单调性一般从定义入 手,也可
4、以从导数入手利用定义证明单调性的一般步骤 是a.x1,x2D,且 ,b.计算 并判断符 号,c.结论 设yf(x)在某区间内可导,若f(x) 0 , 则 f(x) 为 增 函 数,若f(x) 0,则f(x)为减函数 x10,则函数f(x)在区间D上是增函数 答案 (1) (2) (3) (4) 高考调研高考调研 第第12页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 2(课本习题改编)已知f(x)2x2x,x1,3,则其 单调递减区间为_;f(x)min_. 答案 1 4,3, 15 高考调研高考调研 第第13页页 第二章
5、第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 答案 (1)(,1),(1,) (2)(1,1 3(1)函数 y1x 1x的单调递减区间是_; (2)函数 y 1x 1x的单调递减区间是_ 高考调研高考调研 第第14页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 解析 (1)y1x 1x1 2 1x, 当 1x0 或 1x0 时,此函数均为减函数,故减 区间为(1,),(,1) (2)由1x 1x0,得 x(1,1,此即为递减区间 高考调研高考调研 第第15页页
6、第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 4 函 数 f(x) log0.5(x2 2x 8) 的 单 调 递 增 区 间 _;单调递减区间_ 答案 (,2),(4,) 解析 先求函数的定义域,令x22x80,得x4或x 2,通过图像得函数ux22x8,在x4时,单调递 增,在x2时递减,所以原函数f(x)log0.5(x22x8)在 (4,)上递减,在(,2)上递增 高考调研高考调研 第第16页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 讲评 求函
7、数的单调区间,应先确定函数的定义域,在 定义域的基础上,划分单调增(减)区间,因此,函数的单调区 间应是定义域的子集 高考调研高考调研 第第17页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 5已知函数f(x)是R上的增函数,对实数a,b,若a b0,则有( ) Af(a)f(b)f(a)f(b) Bf(a)f(b)f(a)f(b) Df(a)f(b)0,ab,ba. f(a)f(b),f(b)f(a),选A. 高考调研高考调研 第第18页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)
8、数学(理) 高三总复习高三总复习 授授人人以以渔渔 高考调研高考调研 第第19页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 题型一题型一 单调性的判断与证明单调性的判断与证明 例 1 已知 a0,函数 f(x)xa x(x0),证明:函数 f(x) 在(0, a上是减函数,在 a,)上是增函数 【解析】 证明: 设 x1, x2是任意两个正数, 且 0x1x2, 则 f(x1)f(x2) (x1 a x1)(x2 a x2) x1x2 x1x2 (x1x2a) 高考调研高考调研 第第20页页 第二章第二章 函数与基本初等
9、函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 【答案】 略 当 0x1x2 a时,0x1x2a,又 x1x20,即 f(x1)f(x2) 所以函数 f(x)在(0, a上是减函数; 当 ax1a,又 x1x20, 所以 f(x1)f(x2)0,即 f(x1)0且f(x)在(1,)上单调递减,求a的取值范围 思考题思考题1 【解析】 (1)证明 任设 x1x20,x1x20,f(x1)f(x2) f(x)在(,2)上单调递增 已知 f(x) x xa(xa) 高考调研高考调研 第第23页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标
10、版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 【答案】 (1)略 (2)0a1 (2)解 任设 1x10,x2x10, 要使 f(x1)f(x2)0,只需(x1a)(x2a)0 恒成立, a1. 综上所述知 0a1. 高考调研高考调研 第第24页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 例2 求下列函数的单调区间 (1)f(x)x22|x|3; 题型二题型二 求函数的单调区间求函数的单调区间 (2)f(x)log1 2(x 24x5); (3)yxlnx. 【解析】 (1)f(x) x22x3 x0, x22x3 x
11、0,1x0. y11 x x1 x . x (0,1) 1 (1,) y 0 y 高考调研高考调研 第第28页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 【答案】 (1)单调递增区间为(,1,0,1 单调 递减区间为1,0,1,) (2)单调递增区间为(2,5),单调递减区间为(1,2 (3)单调递增区间为(1,),单调递减区间为(0,1) 高考调研高考调研 第第29页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 探究2 求函数的单调区间与确定单调性
12、的方法一致 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差 或复合函数,求单调区间 (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义 (3)图像法:如果f(x)是以图像形式给出的,或者f(x)的图 像易作出,可由图像的直观性写出它的单调区间 (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间 (5)求复合函数的单调区间的一般步骤是:求函数的定 义域;求简单函数的单调区间;求复合函数的单调区 间,依据是“同增异减” (6)求函数单调区间,定义域优先 高考调研高考调研 第第30页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 求
13、下列函数的单调区间 (1)f(x)x|1x|; 思考题思考题2 (2)f(x) 1 32xx2; (3)y3x26lnx. 【解析】 (1)f(x) 2x1x1, 1x1, 画图知单调递增区 间为(,1 高考调研高考调研 第第31页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 (2)32xx20,3x0,得 x1,单调递增区间为(1,) 由 y0,得 0x0 恒成立,试求实数 a 的取值范围 高考调研高考调研 第第34页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复
14、习高三总复习 【解析】 (1)当 a1 2时,f(x)x 1 2x2, 联想到 g(x)x1 x的单调性, 猜想到求 f(x)的最值可先证 明 f(x)的单调性任取 1x1x2, 则 f(x1)f(x2)(x1x2)( 1 2x1 1 2x2) x 1x22x1x21 2x1x2 . 高考调研高考调研 第第35页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 1x11,2x1x210. 又 x1x20, f(x1)0. 这样问题就转化为求g(x)的最小值(a),从而得到关于a 的不等式,解之即可 (2)用等价变换和函数思想解
15、题 在区间1,)上,f(x)x 22xa x 0 恒成立x22x a0 恒成立 高考调研高考调研 第第37页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 g(x)(x1)2a1,对称轴为x1,且开口向上 所以g(x)在1,)上递增 所以g(x)在1,)上的最小值为g(1)3a. 由3a0,得a3. 【答案】 (1)7 2 (2)a3 高考调研高考调研 第第38页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 探究3 (1)运用函数单调性求最值是求函数最值
16、的重要方 法,特别是当函数图像不易作出时,单调性几乎成为首选方 法 (2)函数的最值与单调性的关系: 若函数在闭区间a,b上是减函数,则f(x)在a,b上的最 大值为f(a),最小值为f(b); 若函数在闭区间a,b上是增函数,则f(x)在a,b上的最 大值为f(b),最小值为f(a) 高考调研高考调研 第第39页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 思考题思考题3 求函数 f(x)x1 x在1,3上的最值 【解析】 方法一:设 1x1x23, f(x2)f(x1)x2 1 x2(x1 1 x1) x2x1 1 x
17、1 1 x2x2x1 x2x1 x1x2 (x2x1)(1 1 x1x2), 高考调研高考调研 第第40页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 1x10. f(x)x1 x在1,3上为增函数 最小值为 f(1)0,最大值为 f(3)8 3. 方法二:在1,3上,yx 为增函数,y1 x为减函数, yx1 x为增函数,以下同方法一 【答案】 最小值为 f(1)0,最大值为 f(3)8 3 高考调研高考调研 第第41页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总
18、复习高三总复习 例4 (1)已知函数yloga(2ax)在0,1上是x的减函数, 则实数a的取值范围是_ 【解析】 设u2ax,a0且a1, 函数u在0,1上是减函数 由题意可知函数ylogau在0,1上是增函数, a1.又u在0,1上要满足u0, 题型四题型四 单调性的应用单调性的应用 高考调研高考调研 第第42页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 【答案】 (1,2) 2a10, 2a00, 得 a2. 综上得 1a2. 高考调研高考调研 第第43页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课
19、标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 (2)已知f(x)的定义域为(0,),且在其上为增函数,满 足f(xy)f(x)f(y),f(2)1,试解不等式f(x)f(x2)3. 【解析】 f(2)f(2)f(4),f(2)1, f(4)2. 321f(4)f(2)f(8) f(x)f(x2)fx(x2), 原不等式为fx(x2)f(8) 高考调研高考调研 第第44页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 根据函数的定义域和单调性有 【答案】 x|2x4 x0, x20, xx28 2x4. 原不等式的
20、解集为x|2x4 高考调研高考调研 第第45页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 探究4 已知单调性求参数值或利用单调性解不等式是高 考中热点,主要体现对性质的应用 高考调研高考调研 第第46页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学(理)数学(理) 高三总复习高三总复习 (1)已知函数f(x)在区间0,)上单调递 增,则满足f(x22x3)0,x22x36. x22x30,3x1. 【答案】 3x1 思考题思考题4 高考调研高考调研 第第47页页 第二章第二章 函数与基本初
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