新课标版数学（理）高三总复习之2-5函数与基本初等函数

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1、高考调研高考调研 第第1页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 高考调研高考调研 第第2页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第第5课时课时 二二 次次 函函 数数 高考调研高考调研 第第3页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1理解并掌握二次函数的定义、图像及性质 2会求二次函数在闭区间上的最值 3能

2、用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间 的联系去解决有关问题 高考调研高考调研 第第4页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 请注意 从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最 值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的 形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不 等式三者的综合应用 高考调研高考调研 第第5页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 课前自助餐课前自助餐 授授人以渔人以渔 自助餐自助餐 题组

3、层级快练题组层级快练 高考调研高考调研 第第6页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 课前自助餐课前自助餐 高考调研高考调研 第第7页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式：yax2bxc(a0)；对称轴方程是 x ；顶点为 (2)两根式：ya(xx1)(xx2)；对称轴方程是 ；与 x 轴的交点为 b 2a ( b 2a， 4acb2 4a ) xx 1x2 2 (x1,0)，(x2,0) 高

4、考调研高考调研 第第8页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (3)顶点式：ya(xk)2h；对称轴方程是 ； 顶 点为 2二次函数的单调性 xk (k，h) 当 a0 时， 上为增函数；在 上 为减函数；当 a0；当 时 ， 恒 有 f(x)0， 0 a0， 0)，则二次函数在闭区间m，n 上的最大、最小值的分布情况 (1)若 b 2am，n，则 f(x)maxmax fm，fn ，f(x)min f( b 2a) (2)若 b 2am，n，则 f(x)maxmaxf(m)，f(n)，f(x)min minf(m

5、)，f(n) 高考调研高考调研 第第11页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向 下时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越 小 高考调研高考调研 第第12页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数 (3)二次函数yx2mx1在1，)上单调递增的充要 条件是m2. 1判断下列说法是

6、否正确(打“”或“”) (1)二次函数 yax2bxc，xa，b的最值一定是 4acb2 4a . 高考调研高考调研 第第13页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (4)若二次函数f(x)满足f(2x)f(x)，则该二次函数在x 1处取得最小值 答案 (1) (2) (3) (4) 高考调研高考调研 第第14页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2已知某二次函数的图像与函数y2x2的图像的形状一 样，开口方向相反，且其顶点为(1,3

7、)，则此函数的解析式 为( ) Ay2(x1)23 By2(x1)23 Cy2(x1)23 Dy2(x1)23 答案 D 解析 设所求函数的解析式为ya(xh)2k(a0)，由题 意可知a2，h1，k3，故y2(x1)23. 高考调研高考调研 第第15页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 3已知二次函数f(x)图像的对称轴是xx0，它在区间 a，b上的值域为f(b)，f(a)，则( ) Ax0b Bx0a Cx0(a，b) Dx0(a，b) 答案 D 解析 若x0(a，b)，f(x0)一定为最大值或最小值 高考调

8、研高考调研 第第16页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 4已知二次函数yf(x)满足f(0)f(2)，若x1，x2是方程 f(x)0的两个实根，则x1x2_. 答案 2 解析 f(0)f(2)，函数f(x)的图像关于x1对 称x1x2212. 高考调研高考调研 第第17页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 5二次函数yax2bxc(a0)的图像如图所示，确定 下列各式的正负：b_0，ac_0，abc_0. 答案 解析 a0，b0.

9、 c ax1x20，ac0，abcf(1)0. 高考调研高考调研 第第18页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 授授人人以以渔渔 高考调研高考调研 第第19页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例1 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是8，试求此二次函数的解析式 【思路】 会利用待定系数法求二次函数解析式，掌握 二次函数解析式的三种形式 题型一题型一 二次函数的解析式二次函数的解析式 高考调研高考调

10、研 第第20页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 方法一：利用二次函数一般式 设 f(x)ax2bxc，(a0)， 由题意得 4a2bc1， abc1， 4acb2 4a 8. 解之得 a4， b4， c7. 所求二次函数为 y4x24x7. 高考调研高考调研 第第21页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 方法二：利用二次函数顶点式 设 f(x)a(xm)2n， f(2)f(1)， 抛物线对称轴为 x21 2 1 2. m

11、1 2.又根据题意函数有最大值为 n8， yf(x)a(x1 2) 28. 高考调研高考调研 第第22页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 f(2)1，a(21 2) 281. 解之得 a4. f(x)4(x1 2) 284x24x7. 高考调研高考调研 第第23页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 方法三：利用两根式 由已知，f(x)10的两根为x12，x21， 故可设f(x)1a(x2)(x1)， 即f(x)ax2ax2a1.

12、又函数有最大值ymax8. a0(舍)或a4. f(x)4x24x7. 【答案】 f(x)4x24x7 即4a2a1a 2 4a 8， 高考调研高考调研 第第24页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究1 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定 系数法，选择规律如下： 高考调研高考调研 第第25页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 思考题思考题1 已知二次函数图像的顶点是(2，3 2) 与 x 轴的两个交点之间的距离为 6，则

13、这个二次函数的解析 式为_ 【解析】 方法一：设二次函数为 ya(x2)23 2， 即 yax24ax4a3 2. 高考调研高考调研 第第26页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 由|x1x2| x1x224x1x2 4244 3 2a 6 a6，得 a 1 6. 二次函数的解析式为 y1 6x 22 3x 5 6. 高考调研高考调研 第第27页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 方法二：设图像与 x 轴的两交点为 A(x1,0)，

14、B(x2,0)， (x1x2)， 由题意得 x1235，x2231， 设二次函数解析式为 ya(x5)(x1) 将 x2， y3 2 代入上式解得 a1 6. y1 6(x5)(x1) 1 6x 22 3x 5 6. 【答案】 y1 6x 22 3x 5 6 高考调研高考调研 第第28页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例2 求下列函数的值域： (1)yx24x2，xR； (2)yx24x2，x5,0； (3)yx24x2，x6，3； (4)yx24x2，x0,2 【思路】 这些函数都是二次函数且解析式都相同，

15、但 是各自函数的定义域都是不同的，应该通过“配方”借助于 函数的图像而求其值域 题型二题型二 二次函数的值域与最值二次函数的值域与最值 高考调研高考调研 第第29页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)配方，得y(x2)26，由于xR， 故当x2时，ymin6，无最大值 高考调研高考调研 第第30页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 所以值域是6，)(图) (2)配方，得y(x2)26. 因为x5,0，所以当x2时，y

16、min6. 当x5时，ymax3.故函数的值域是6,3(图) (3)配方，得y(x2)26. 因为x6，3，所以当x3时，ymin5. 当x6时，ymax10.故函数的值域是5,10(图) 高考调研高考调研 第第31页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (4)配方，得y(x2)26. 因为x0,2，所以当x0时，ymin2. 当x2时，ymax10.故函数的值域是2,10(图) 【答案】 (1)6，) (2)6,3 (3)5,10 (4)2,10 高考调研高考调研 第第32页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函

17、数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【讲评】 上述四个题目相同但所给的区间不同，最后 得到的值域也不同，主要是由于二次函数在不同区间上的单 调性不同而产生的，因此在求二次函数值域时一定要考虑函 数是针对哪一个区间上的值域和此时图像是什么样子 高考调研高考调研 第第33页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究2 配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本 方法，形如F(x)af2(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使 用配方法 高考调研高考调研 第第34页页 第二章

18、第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 求下列函数的值域： 【答案】 (1)0， (2)0,2 思考题思考题2 (1)y x24x1； (2)y2 4xx2(0 x4) 高考调研高考调研 第第35页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例3 已知函数f(x)x22ax1a在0 x1时有最大值 2，求实数a的值 【思路】 因为x有限制条件，要求函数最值，需作出函 数图像，作图像先看开口方向，再看对称轴位置，因为此函 数的对称轴是xa位置不定，并且在不

19、同位置产生的结果也 不相同，所以要对对称轴的位置进行分类讨论 高考调研高考调研 第第36页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 当对称轴xa0时，如图1所示，当x0时， y有最大值ymaxf(0)1a，所以1a2，即a1，且满 足a1时，如图3所示 当x1时，y有最大值 ymaxf(1)2aa2. a2，且满足a1，a2. 综上可知：a的值为1或2. 【答案】 1或2 a2a12，解得 a1 5 2 . 0a1，a1 5 2 (舍去) 高考调研高考调研 第第38页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与

20、基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究3 (1)求二次函数f(x)在某区间m，n上的最值的关 键是判断抛物线对称轴与区间m，n的位置关系，以便确定 函数在该区间的单调性本题中的对称轴为xa，与区间 0,1的位置关系不确定，是造成分类讨论的原因 (2)二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：对称 轴固定，区间固定；对称轴变动，区间固定；对称轴固 定，区间变动此类问题一般利用二次函数的图像及其单调 性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、 左、右三种情况讨论 高考调研高考调研 第第39页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新

21、课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 已知f(x)x2ax3a，若x2,2 时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围 【思路】 f(x)0恒成立，等价于f(x)的最小值0，即转 化为求f(x)在2,2上的最小值 思考题思考题3 【解析】 f(x)的最小值为 g(a)，则 (1)当a 24 时， g(a)f(2)73a0，得 a7 3. 又 a4，故此时 a 不存在 高考调研高考调研 第第40页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 7a2 (2)当a 22,2，即4a4时， g(a)f

22、(a 2)3a a2 4 0，得6a2. 又4a4，故4a2. (3)当a 22，即a4时， g(a)f(2)7a0，得a7. 又a4，故7axk在区间3，1上恒成 立，试求实数k的取值范围 题型三题型三 二次函数的综合应用二次函数的综合应用 高考调研高考调研 第第42页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)由题意知 b 2a1， f1ab10， 解得 a1， b2. 所以f(x)x22x1. 由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为1， )，单调递减区间为(，1 高考调研高考调研 第第

23、43页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)由题意知，x22x1xk在区间3，1上恒成 立， 即kx2x1在区间3，1上恒成立 令g(x)x2x1，x3，1， 由g(x)(x 1 2 )2 3 4 ，知g(x)在区间3，1上是减函 数 则g(x)ming(1)1.所以k(1 ) 2tx 在|t|2 时恒成立，求实数 x 的取 值范围 设二次函数f(x)ax2bx(a0)满足条 件：f(x)f(2x)；函数f(x)的图像与直线yx相切 (1)求f(x)的解析式； 思考题思考题4 高考调研高考调研 第第47页页

24、第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)由知 f(x)ax2bx(a0)的对称轴方程 是 x1，b2a. 函数 f(x)的图像与直线 yx 相切， 方程组 yax2bx， yx， 有且只有一解 即 ax2(b1)x0 有两个相同的实根 (b1)20，b1，2a1，a1 2. 函数 f(x)的解析式为 f(x)1 2x 2x. 高考调研高考调研 第第48页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)1，f(x)(1 ) 2tx

25、等价于 f(x)tx2. 1 2x 2xtx2 在|t|2 时恒成立等价于一次函数 g(t) xt(1 2x 2x2)0 在|t|2 时恒成立， g20， g20， x26x40. 解得 x3 5. 实数 x 的取值范围是(，3 5)(3 5， ) 高考调研高考调研 第第49页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 (1)f(x)1 2x 2x (2)(，3 5)(3 5，) 高考调研高考调研 第第50页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复

26、习高三总复习 1求二次函数的解析式常用待定系数法(如例1) 2二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为y a(xm)2n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程xm， 可分成三个类型 (1)顶点固定，区间也固定 (2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶 点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数 高考调研高考调研 第第51页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 3二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能 在区间的端点或二次函数的图像的顶点处取得 4用数

27、形结合法求根的分布问题一般需从三个方面考 虑：判别式；区间端点函数值的正负；对称轴 x b 2a 与区间端点的关系 高考调研高考调研 第第52页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 自助餐自助餐 高考调研高考调研 第第53页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1“a1”是“函数f(x)x22ax1在区间1， )上为增函数”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题为二次函数的

28、单调性问题，取决于对称轴的 位置，若函数f(x)x22ax1在区间1，)上为增函 数，则有对称轴xa1，故“a1”是“函数f(x)x2 2ax1在区间1，)上为增函数”的充分不必要条件 高考调研高考调研 第第54页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2已知m2，点(m1，y1)，(m，y2)，(m1，y3)都在 二次函数yx22x的图像上，则( ) Ay1y2y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy2y1y3 答案 A 高考调研高考调研 第第55页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版

29、新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 3设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图像可能是 ( ) 高考调研高考调研 第第56页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 答案 D 解析 若 a0，b0，c0，则对称轴 x b 2a0，函 数 f(x)的图像与 y 轴的交点(c,0)在 x 轴下方故选 D. 高考调研高考调研 第第57页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 4如果函数f(x)x2bxc对任意的实数x，都有f(

30、1x) f(x)，那么( ) Af(2)f(0)f(2) Bf(0)f(2)f(2) Cf(2)f(0)f(2) Df(0)f(2)f(2) 答案 D 解析 由 f(1x)f(x)知 f(x)图像关于 x1 2对称， 又抛 物线开口向上，结合图像可知 f(0)f(2)f(2) 高考调研高考调研 第第58页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 5若方程x22mx40的两根满足一根大于1，一根小 于1，则实数m的取值范围是_ 答案 (5 2，) 高考调研高考调研 第第59页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题组层级快练题组层级快练