新课标版数学（理）高三总复习之3-4导数及应用

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1、高考调研高考调研第第1页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第三章第三章导数及应用导数及应用高考调研高考调研第第2页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第第4课时课时定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理高考调研高考调研第第3页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 2了解微积分基本定理的含义请注意本节为新增内容，

2、高考中多以选择填空题形式考查，主要借助微积分基本定理求定积分或解决几何或物理知识高考调研高考调研第第4页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习课前自助餐课前自助餐授授人以渔人以渔题组层级快练题组层级快练高考调研高考调研第第5页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习课前自助餐课前自助餐高考调研高考调研第第6页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1定积分的定义如果函数f(x)在区间a，b

3、上连续，用分点a x0x1xi1xixnb，将区间a，b等分成n个小区间，在每个区间xi1，xi上取一点i(i1,2，n)，作和式，当n时，高考调研高考调研第第7页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上定积分，记作，即 a b f(x)dx 其定义体现求定积分的四个步骤：；；；分割近似代替取和取极限高考调研高考调研第第8页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 2定积分运算律

4、(1) a bkf(x)dx ； (2) a bf1(x) f2(x)dx ； (3) a bf(x)dx k a bf(x)dx a bf1(x)dx a bf2(x)dx a cf(x)dx c bf(x)dx(acb) 高考调研高考调研第第9页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 3微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x) f(x)，那么，这个结论叫做微积分基本定理 a bf(x)dxF(x)| b aF(b)F(a) 高考调研高考调研第第10页页第三章第三章导数及应用导数及应用

5、新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 4定积分的几何和物理应用 (1)如图所示，由曲线y1f1(x)，y2f2(x)(不妨设 f1(x)f2(x)0)及直线xa，xb(ab)围成图形的面积为：高考调研高考调研第第11页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习如图所示，在区间a，b上，若f(x)0，则曲边梯形的面积为：高考调研高考调研第第12页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函

6、数 v v(t)v(t)0 在时间区间 a ， b 上的定积分，即 s . (3)如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(ab)，那么变力F(x) 所做的功W . a bv(t)dt a bF(x)dx 高考调研高考调研第第13页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1判断下列说法是否正确(打“”或“”) (1)若函数yf(x)在区间a，b上连续，则 a b f(x)dx a b f(t)dt. (2)若 a b f(x)dx0，T3. 高考调研高考调研

7、第第19页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习授授人人以以渔渔高考调研高考调研第第20页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习例1 计算以下定积分：题型一题型一求定积分求定积分高考调研高考调研第第21页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 (1)函数y2x2 1 x 的一个原函数是y 2 3 x3 lnx，所以 1 2(2x21 x)dx( 2 3x 3lnx)| 2 1 16

8、3 ln22 3 14 3 ln2. 高考调研高考调研第第22页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)函数ysinxsin2x的一个原函数是ycosx 1 2 cos2x，所以 (sinxsin2x)dx (cosx1 2cos2x) (1 2 1 4)(1 1 2) 1 4. 高考调研高考调研第第23页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (3) 1 2|32x|dx 高考调研高考调研第第24页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数

9、学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (4)y 1x2，x2y21，y0. 0 1 1x2dx 几何意义为1 4个圆的面积 0 1 1x2dx1 4. 【答案】 (1)14 3 ln2 (2)1 4 (3) 1 2 (4) 4 高考调研高考调研第第25页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究1 (1)计算一些简单的定积分，解题的步骤是：把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分；分别用求导公式找到一个相应的原函数；利用微积分基本定理求出各个

10、定积分的值；计算原始定积分的值 (2)对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分的几何意义求解高考调研高考调研第第26页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习求下列积分：思考题思考题1 【解析】 (1) 1 2(x22x1)dx 1 2x2dx 1 22xdx 1 21dx x3 3 | 2 1x 2| 2 1x| 2 119 3 . 高考调研高考调研第第27页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2) 2 3( x 1 x) 2dx 2 3(x1

11、x2)dx (1 2x 2lnx2x)| 3 2 (9 2ln36)(2ln24)ln 3 2 9 2. 高考调研高考调研第第28页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习例2 求由曲线yx2和直线yx和y2x围成的图形的面积题型二题型二求平面图形的面积求平面图形的面积【解析】方法一：如图(1)所示，所求的面积SSAOC S1，其中S1是线段AC，BC和抛物线段AB围成的区域的面积由 yx2， yx 和 yx2， y2x 分别解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2. 高考调研高考调研第第29页页第三章第三章

12、导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习因为(x 2 2 )x，(x2x 3 3 )2xx2，故所求的面积 S 0 1(2xx)dx 1 2(2xx2)dxx 2 2 | 1 0(x 2x 3 3 )| 2 11 20 (48 3)(1 1 3) 7 6. 高考调研高考调研第第30页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习方法二：如图(1)所示，所求的面积可以写成 SSOBDS2，其中 S2是由线段 BD， AD 及抛物线段 AB 所围成的区域的面积由于 D 的横坐标也是 2，又

13、(x 2 2 )x，(x 3 3 x 2 2 )x2x. 故 S 0 2(2xx)dx 1 2(x2x)dxx 2 2 | 2 0(x 3 3 x 2 2 )| 2 12(8 32) (1 3 1 2) 7 6. 高考调研高考调研第第31页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习方法三如图(2)，把整个区域上定积分问题，转化成y 是自变量的情况由方法一知O，A，B三点的纵坐标分别是 0,1,4，故所求的面积SSAEOS3，其中S3是两线段BE，AE 和抛物线段AB围成的区域的面积因为(1 4y 2)y 2，( 2 3y 3 2

14、y 2 4 ) yy 2，故S 0 1(yy 2)dy 1 4( yy 2)dy 高考调研高考调研第第32页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究2 (1)求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤为：画草图；求曲线的交点定出积分上、下限；确定被积函数，但要保证求出的面积是非负的；写出定积分并计算，用微积分基本定理公式计算时，要认真、细致，按步骤来做，不要急于求成，以保证答案的准确性 (2)被积函数较复杂或积分区间不易确定有时可通过转换积分变量进行简化计算高考调研高考调研第第33页页第三章第三章导数及应用导数及

15、应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (1)(2014山东理)直线y4x与曲线yx3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) 思考题思考题2 A2 2 B4 2 C2 D4 高考调研高考调研第第34页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】由 y4x， yx3，解得x2或x0或x2. 所以直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S 0 2(4xx3)dx(2x21 4x 4)| 2 0(22 21 42 4)0 4. 【答案】 D 高考调研高考调研第第35页页第三章

16、第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)若定积分x22xdx 4，则 m 等于( ) A1 B0 C1 D2 高考调研高考调研第第36页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】根据定积分的几何意义知，定积分 m 2x22x dx的值，就是函数yx22x 的图像与x轴及直线x2，xm所围成图形的面积，yx22x是一个半径为1的半圆，其面积等于 2 ，而x22xdx 4 ，即在区间2，m上该函数图像应为 1 4 个圆，于是得m1.故选A. 【答案】 A 高考调

17、研高考调研第第37页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习例3 (1)A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B 站电车行驶t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t m/s，到C 点的速度达24 m/s，从C点到B点站前的D点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s后，速度为(241.2t) m/s，在B点恰好停车，试求： A，C间的距离；B，D间的距离题型三题型三定积分的物理应用定积分的物理应用高考调研高考调研第第38页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高

18、三总复习【解析】设A到C经过t1 s，由1.2t124，得t120 s所以AC1.2tdt0.6t2 240(m) 设从D到B经过t2 s，由241.2t20，得t220 s. 所以DB (241.2t)dt240 m. 【答案】 240 m 240 m 高考调研高考调研第第39页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)设力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且和x轴正向相同，求力F(x)对质点 M所作的功【答案】 342 J 高考调研高考调研第第40页页第三章第三章导

19、数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究3 例3(1)做变速运动的物体经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v0)在时间区间a，b上的定积分，也就是s a b v(t)dt.需根据题意写出函数vv(t)，确定时间区间，用定积分求解物体作变速直线运动的速度v，等于加速度函数aa(t) 在时间区间a，b上的定积分 a ba(t)dt. 例3(2)，如果力F(x)使得物体沿力的方向由xa运动到x b(ab)，那么力F(x)对物体所作的功W a bF(x)dx. 高考调研高考调研第第41页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版

20、数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习思考题思考题3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)73t 25 1t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A125ln5 B825ln11 3 C425ln5 D450ln2 高考调研高考调研第第42页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】由 v(t)0，得 t4.故刹车距离为 s 0 4v(t)dt 0 4(73t 25 1t)dt 3 2t 27t25ln(1t)| 4 0425ln5. 【答案】 C 高考调研高考调研第第43页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1熟练掌握常见函数的导数，切实掌握微积分基本定理，真正把微分和积分联系起来，会求定积分 2特别注意定积分的几何意义，物理意义进而解决实际问题高考调研高考调研第第44页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习题组层级快练题组层级快练