新课标版数学（理）高三总复习之3-专题研究

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1、高考调研高考调研第第1页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习专题研究专题研究导数的综合运用导数的综合运用高考调研高考调研第第2页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习专题讲解专题讲解题组层级快练题组层级快练高考调研高考调研第第3页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习专题讲解专题讲解高考调研高考调研第第4页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）

2、高三总复习高三总复习题型一题型一导数与函数图像导数与函数图像例 1 (2015 潍坊模拟)已知 f(x)1 4x 2sin( 2x)，f(x) 为 f(x)的导函数，则 yf(x)的图像大致是( ) 高考调研高考调研第第5页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】因为 f(x)1 4x 2cosx，所以 f(x)1 2xsinx， f(x)为奇函数，排除 B，D，令 g(x)1 2xsinx，则 g(x) 1 2cosx，当 0x 3时， g(x)0， f(x)单调递减，当 3x0， f(x)单调递增，当5

3、3 x2 时， g(x)ln21且x0时，exx22ax1. 【思路】 (1)令f(x)0，求极值点，然后讨论在各个区间上的单调性 (2)构造函数g(x)exx22ax1(xR)，注意到g(0) 0，只需证明g(x)在(0，)上是增函数，可利用导数求解题型二题型二导数与不等式导数与不等式高考调研高考调研第第10页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 (1)由f(x)ex2x2a，xR，得f(x)ex 2，xR.令f(x)0，得xln2. 于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (，ln2) l

4、n2 (ln2，) f(x) 0 f(x) 2(1ln2a) 故f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是 (ln2，) f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)eln22ln2 2a2(1ln2a) 高考调研高考调研第第11页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)设g(x)exx22ax1，xR.于是g(x)ex2x 2a，xR. 由(1)知当aln21时，g(x)最小值为g(ln2)2(1ln2 a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当 aln2 1 时，

5、对任意 x(0 ， ) ，都有 g(x)g(0) 又g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0. 即exx22ax10，故exx22ax1. 【答案】 (1)单调递减区间为(，ln2)，单调递增区间为(ln2，)；极小值2(1ln2a) (2)略高考调研高考调研第第12页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究2 利用导数工具，证明不等式的关键在于要构造好函数的形式，转化为研究函数的最值或值域问题，有时需用到放缩技巧求证不等式f(x)g(x)，一种常见思路是用图像法来说明函数f(x)的图像在函数g(x)

6、图像的上方，但通常不易说明于是通常构造函数F(x)f(x)g(x)，通过导数研究函数F(x)的性质，进而证明欲证不等式高考调研高考调研第第13页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习思考题思考题2 (2014 新课标全国理)设函数 f(x) aexlnxb e x e x ，曲线 yf(x)在点(1， f(1)处的切线方程为 ye(x 1)2. (1)求 a，b； (2)证明：f(x)1. 【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为(0，)， f(x)aexlnxa xe xb x2e x1b xe x1. 由题意可得 f

7、(1)2，f(1)e.故 a1，b2. 高考调研高考调研第第14页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)证明：由(1)知，f(x)exlnx2 xe x1e x x (xlnx2 e)，从而 f(x)1 等价于 xlnxxe x2 e. 设函数 g(x)xlnx，则 g(x)1lnx. 所以当 x 0，1 e 时，g(x)0. 高考调研高考调研第第15页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习故 g(x)在 0，1 e 上单调递减，在 1 e，上单调递增，

8、从而 g(x)在(0，)上的最小值为 g 1 e 1 e. 设函数 h(x)xe x2 e x ex 2 e，则 h(x)e x(1x) 所以当 x(0,1)时， h(x)0；当 x(1， )时， h(x)0 时，g(x)h(x)，即 f(x)1. 【答案】 (1)a1，b2 (2)略高考调研高考调研第第16页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习题型三题型三导数与方程导数与方程例 3 (2014 陕西文)设函数 f(x)lnxm x ，mR. (1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值； (2)讨

9、论函数 g(x)f(x)x 3零点的个数； (3)若对任意 ba0， fbfa ba 1 恒成立，求实数 m 的取值范围高考调研高考调研第第17页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 (1)由题设，当 me 时，f(x)lnxe x，则 f(x)xe x2 . 当 x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增当 xe 时，f(x)取得极小值 f(e)lnee e2. f(x)的极小值为 2. 高考调研高考调研第第18页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理

10、）高三总复习高三总复习 (2)由题设 g(x)f(x)x 3 1 x m x2 x 3(x0)，令 g(x)0，得 m1 3x 3x(x0) 设 (x)1 3x 3x(x0)，则 (x)x21(x1)(x1) 当 x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当 x(1，)时，(x)2 3时，函数 g(x)无零点；当 m2 3时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0m2 3时，函数 g(x)无零点；当 m2 3或 m0 时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0ma0，fbfa ba 1 恒成立，等价于 f(b)b0)， (*)等价于 h(x)在(0，)上单调递减

11、由 h(x)1 x m x210 在(0，)上恒成立，得 mx2x x1 2 21 4(x0)恒成立高考调研高考调研第第22页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 m1 4 对m1 4，hx0仅在x 1 2时成立 . m 的取值范围是 1 4， . 【答案】 (1)极小值为 2 (2)m2 3时无零点， m 2 3或 m0 时有一个零点， 0m0)，所以 h(x)1lnx x2 . 由 h(x)0，且 x0，得 0xe.由 h(x)0，得 xe. 所以函数 h(x)的单调递增区间是(0，e，单调递减区间是e， )，所以当

12、xe 时，h(x)取得最大值1 e. 高考调研高考调研第第26页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)因为 xf(x)2x2ax12 对一切 x(0，)恒成立，即 xlnxx22x2ax12 对一切 x(0， )恒成立，即 alnxx12 x 对一切 x(0，)恒成立，设 (x)lnx x12 x ，因为 (x)x 2x12 x2 x3x4 x2 ，故 (x)在(0,3上单调递减，在3，)上单调递增， (x)min(3)7ln3，所以 a7ln3. 高考调研高考调研第第27页页第三章第三章导数及应用导数及应用

13、新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (3)因为方程 f(x)x32ex2bx0 恰有一解，即 lnxx x32ex2bx0 恰有一解，即lnx x x22exb1 恰有一解由(1)知，h(x)在 xe 时，h(x)max1 e，而函数 k(x)x 2 2exb1 在(0，e上单调递减，在e，)上单调递增，故 xe 时，k(x)minb1e2，故方程lnx x x22exb1 恰有一解时当且仅当 b1e21 e，即 be 21 e1. 【答案】 (1)1 e (2)a7ln3 (3)e 21 e1 高考调研高考调研第第28页页第三章第三章导数及应用导数及应用

14、新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习例4 (2015江苏连云港二调)一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D 在半圆上)，设BOC，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2) 题型四题型四导数与最优化问题导数与最优化问题高考调研高考调研第第29页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (1)求V关于的函数表达式； (2)求的值，使体积V

15、最大； (3)问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由【解析】 (1)梯形 ABCD 的面积 SABCD2cos2 2 sin sincossin，(0， 2) 体积 V()10(sincossin)，(0， 2) 高考调研高考调研第第30页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)V()10(2cos2cos1)10(2cos1)(cos 1) 令 V()0，得 cos1 2或 cos1(舍) (0， 2)， 3. 当 (0， 3)时， 1 2cos0，V()为增函数；当 ( 3， 2)时，0cos 1

16、 2，V()0，V()为减函数当 3时，体积 V 最大高考调研高考调研第第31页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (3)木梁的侧面积 S侧(AB2BCCD) 1020(cos2sin 21)，(0， 2) S2SABCDS 侧2(sincossin)20(cos2sin 21)， (0， 2) 设 g()cos2sin 21，(0， 2) g()2sin2 22sin 22，高考调研高考调研第第32页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习当 sin 2

17、1 2，即 3时，g()最大又由(2)知 3时，sincossin 取得最大值， 3 时，木梁的表面积 S 最大综上，当木梁的体积 V 最大时，其表面积 S 也最大【答案】 (1)V()10(sincossin)，(0， 2) (2) 3时，V 最大 (3)体积 V 最大时，表面积 S 也最大高考调研高考调研第第33页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究4 生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用

18、导数解决数学问题优化问题的答案高考调研高考调研第第34页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习思考题思考题4 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两端桥墩相距 m 米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 x)x 万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为 y 万元 (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？高考调研高考调研第第

19、35页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 (1)设需新建 n 个桥墩，则(n1)xm，即 n m x 1，所以 yf(x)256n(n1)(2 x)x 256(m x 1)m x (2 x)x256m x m x2m256. 高考调研高考调研第第36页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)由(1)知，f(x)256m x2 1 2mx 1 2 m 2x2(x 3 2512) 令 f(x)0，得 x3 2512，所以 x64. 当 0x64 时，f

20、(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当 64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以 f(x)在 x64 处取得最小值此时 nm x 1640 64 19. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小高考调研高考调研第第37页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【答案】 (1)y256m x m x2m256 (2)需新建 9 个桥墩才能使 y 最小高考调研高考调研第第38页页第三章第三章导数及应用导数及应用新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习题组层级快练题组层级快练