2021年湖北省武汉市中考数学逼真模拟试卷（四）含答案解析

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1、2021 年湖北省武汉市中考数学逼真模拟试卷（四）年湖北省武汉市中考数学逼真模拟试卷（四） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 13 的相反数是（ ） A3 B3 C D 2式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 3不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的 6 个球，其中 2 个黑球、4 个白球，从袋子中一次摸 出 3 个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A摸出的是 3 个白球 B摸出的是 3 个黑球 C摸出的是 2 个白球、1 个黑球 D摸出的是 2 个黑球、1 个白球 4若点 A（

2、1，2） ，B（1，2） ，则点 A 与点 B 的关系是（ ） A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称 C关于直线 x1 对称 D关于直线 y1 对称 5如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 6某班去看演出，甲种票每张 24 元，乙种票每张 18 元，如果 35 名学生购票恰好用去 750 元，甲、乙两 种票各买了多少张？设买了 x 张甲种票，y 张乙种票，则所列方程组正确的是（ ） A B C D 7把八个完全相同的小球平分为两组，每组中每个分别写上 1，2，3，4 四个数字，然后分别装入不透明 的口袋内搅匀，从第一个口袋内取出一个数记下数字后作为点 P 的横坐标 x，然后再从第

3、二个口袋中取 出一个球记下数字后作为点 P 的纵坐标，则点 P（x，y）落在直线 yx+5 上的概率是（ ） A B C D 8如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的 x 的值为 2，结果输出的是 1，返回进行第二次运算 则输出的是4，则第 2020 次输出的结果是（ ） A1 B3 C6 D8 9已知 a，b，c 满足 a+b+c0，4a+c2b，则二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象的对称轴为（ ） A直线 x1 B直线 x1 C直线 x D直线 x 10如图，在O 中 AB 为直径，点 C 为 AB 弧的中点，点 D 在 BC 弧上，为 AB2，sin， 则 AD 的长是（

4、） A3 B2 C6 D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11化简的结果是 12武汉市某气象观测点记录了 7 天的平均气温（单位：） 分别是 19、25、26、20、18、23、27，这组 数据的中位数是 13化简的结果是 14 如图， 在矩形ABCD中， 把A沿DF折叠， 点A恰好落在矩形的对称中心E处， 则sinADF的值为 15如图，在平面直角坐标系中，A（1，0） ，B（0，2） ，将线段 AB 平移得到线段 CD，当时， 点 C、D 同时落在反比例函数 y（k0）的图象上，则 k 的值为 16在 RtAB

5、C 中，ACB90，点 D 是 AC 边上一点，连 BD，过 C 点作 BD 的垂线与过 A 点作 AC 的 垂线交于点 E当 tanABD，cosE，则的值是 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 72 分）分） 17 （8 分）计算： （2a2）2a3a3+a5a 18 （8 分）如图，ABCD，ADCABC求证：EF 19 （8 分） “长跑”是中考体育考试项目之一，某中学为了解九年级学生“长跑”的情况，随机抽取部分九 年级学生，测试其长跑成绩（男子 1000 米，女子 800 米） ，按长跑的时间的长短依次分为 A，B，C，D 四个等级进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图

6、请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中共抽取了 名学生，扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆心角大小为 ； （2）补全条形统计图，所抽取学生“长跑”测试成绩的中位数会落在 等级； （3）若该校九年级共有 900 名学生，请你估计该校 C 等级的学生约在多少人？ 20 （8 分） （1）如图（1） ，在ABC 中，分别作 AB 边上的高和中线，请用无刻度的直尺完成作图（保留 作图痕迹） ； （2）如图（2） ，以 A 为旋转中心，将ABC 顺时针旋转B 度，得到ABC，请用无刻度的直尺作 出ABC（保留作图痕迹） 21 （8 分）如图，ABCD 的边 AB 与经过 A、C、D 三

7、点的O 相切 （1）求证：ACAD； （2）如图 2，延长 BC 交O 于点 E，连接 DE若 sinADE，求 tanDCE 的值 22 （10 分）某商店购买 60 件 A 商品和 30 件 B 商品共用了 1080 元，购买 50 件 A 商品和 20 件 B 商品共用 了 880 元 （1）A、B 两种商品的单价分别是多少元？ （2）已知该商店购买 A、B 两种商品共 30 件，要求购买 B 商品的数量不高于 A 商品数量的 2 倍，且该 商店购买的 A、B 两种商品的总费用不超过 276 元，那么该商店有几种购买方案？ （3）该商店第二准备再购进 A、B 两种商品 30 件，其中购买

8、 A 种商品 m 件（10m13） ，实际购买时 A 种商品下降了 a（a0）元，B 种商品上涨了 3a 元，此时购买这两种商品所需的最少费用为 340 元， 直接写出 a 的值 23 （10 分）已知ABC 中，ABAC，A，过ABC 其中一个顶点的直线把ABC 分成两个等腰三角 形 （1）如图 1，若 36，求的值； （2） （36除外） ； （3） 如图 2， A 为锐角， P 在 AB 延长线上， Q 在边 AC 上， AK 平分BAC 交 PQ 于 K， 请求线段 AP、 AQ、AK 三者之者的数量关系（用 表示） 24 （12 分）已知抛物线 C1：yax2+bx+c 的顶点坐标为

9、（0，1） ，且经过点 A（1，1） ，动直线 l 的解 析式为 y4x+e （1）求抛物线 C1的解析式； （2）将抛物线 C1向上平移一个单位得到新的抛物线 C2，过点 A 的直线交抛物线于 M、N 两点（M 点位 于 N 点的左边） ，动直线 l 过点 M，与抛物线 C2的另外一个交点为点 P，求证：直线 PN 恒过一个定点； （3）已知点 B（0，3） ，且点 C 在动直线 l 上，若ABC 是以B 为顶角的等腰三角形，这样的等腰三 角形有且只存在一个，请求出 e 的值 2021 年湖北省武汉市中考数学逼真模拟试卷（四）年湖北省武汉市中考数学逼真模拟试卷（四） 参考答案与试题解析参考答

10、案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 13 的相反数是（ ） A3 B3 C D 【分析】由相反数的定义容易得出结果 【解答】解：3 的相反数是 3， 故选：A 2式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x+20， 解得 x2 故选：B 3不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的 6 个球，其中 2 个黑球、4 个白球，从袋子中一次摸 出 3 个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A摸出的是 3 个白球

11、 B摸出的是 3 个黑球 C摸出的是 2 个白球、1 个黑球 D摸出的是 2 个黑球、1 个白球 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可 【解答】解：摸出的是 3 个白球是随机事件； 摸出的是 3 个黑球是不可能事件； 摸出的是 2 个白球、1 个黑球是随机事件； 摸出的是 2 个黑球、1 个白球是随机事件， 故选：B 4若点 A（1，2） ，B（1，2） ，则点 A 与点 B 的关系是（ ） A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称 C关于直线 x1 对称 D关于直线 y1 对称 【分析】根据关于 y 轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案 【解答】解：点 A

12、（1，2） ，B（1，2） ， 点 A 与点 B 关于 y 轴对称， 故选：B 5如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案 【解答】解：从上边看是两个有公共边的矩形，如图所示： 故选：A 6某班去看演出，甲种票每张 24 元，乙种票每张 18 元，如果 35 名学生购票恰好用去 750 元，甲、乙两 种票各买了多少张？设买了 x 张甲种票，y 张乙种票，则所列方程组正确的是（ ） A B C D 【分析】分别利用有 35 名学生以及购票恰好用去 750 元，得出等式求出答案 【解答】解：设买了 x 张甲种票，y 张乙种票，根据题意可得：

13、 故选：B 7把八个完全相同的小球平分为两组，每组中每个分别写上 1，2，3，4 四个数字，然后分别装入不透明 的口袋内搅匀，从第一个口袋内取出一个数记下数字后作为点 P 的横坐标 x，然后再从第二个口袋中取 出一个球记下数字后作为点 P 的纵坐标，则点 P（x，y）落在直线 yx+5 上的概率是（ ） A B C D 【分析】 首先根据题意画出表格， 然后由表格求得所有等可能的结果与数字 x、 y 满足 yx+5 的情况， 再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：列表得： 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4

14、） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 共有 16 种等可能的结果，数字 x、y 满足 yx+5 的有（1，4） ， （2，3） ， （3，2） ， （4，1） ， 数字 x、y 满足 yx+5 的概率为： 故选：B 8如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的 x 的值为 2，结果输出的是 1，返回进行第二次运算 则输出的是4，则第 2020 次输出的结果是（ ） A1 B3 C6 D8 【分析】把 x2 代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即可确定出第 2020 次输出的结果 【解答】解：把 x2 代入得：21， 把

15、 x1 代入得：154， 把 x4 代入得：（4）2， 把 x2 代入得：（2）1， 把 x1 代入得：156， 把 x6 代入得：（6）3， 把 x3 代入得：358， 把 x8 代入得：（8）4， 以此类推， （20201）63363， 第 2020 次输出的结果为1， 故选：A 9已知 a，b，c 满足 a+b+c0，4a+c2b，则二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象的对称轴为（ ） A直线 x1 B直线 x1 C直线 x D直线 x 【分析】根据 a+b+c0，4a+c2b，可以求得 a、b、c 之间的关系，从而可以求得该函数的对称轴，本 题得以解决 【解答】解：a+b+c0，

16、4a+c2b， c2a，ab， 二次函数 yax2+bx+c（a0） ， 对称轴是直线 x， 故选：D 10如图，在O 中 AB 为直径，点 C 为 AB 弧的中点，点 D 在 BC 弧上，为 AB2，sin， 则 AD 的长是（ ） A3 B2 C6 D4 【分析】如图，连接 CD，CB，过点 C 作 CHAD 于 H想办法求出 AH，DH 即可解决问题 【解答】解：如图，连接 CD，CB，过点 C 作 CHAD 于 H AB 是直径， ACB90， ， ACBC， ABCCABD45， AB2， ACBC2， sinCAH， CH2，AH4， CHD90，D45， CHDH2， ADAH+

17、DH4+26， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11化简的结果是 【分析】根据二次根式的性质解答 【解答】解： 12武汉市某气象观测点记录了 7 天的平均气温（单位：） 分别是 19、25、26、20、18、23、27，这组 数据的中位数是 23 【分析】根据中位数的概念求解可得 【解答】解：将数据重新排列为 18、19、20、23、25、26、27， 所以这组数据的中位数为 23， 故答案为：23 13化简的结果是 【分析】首先通分，然后计算减法，最后化简即可 【解答】解：原式+ ， 故答案为： 14如图

18、，在矩形 ABCD 中，把A 沿 DF 折叠，点 A 恰好落在矩形的对称中心 E 处，则 sinADF 的值为 【分析】根据折叠的性质得到 ADEDAE，ADFEDFADE，推出DAE 的等边三角形， 根据等边三角形的性质得到ADE60，求得ADF30，于是得到结论 【解答】解：如图，连接 AE， 把A 沿 DF 折叠，点 A 恰好落在矩形的对称中心 E 处， ADEDAE，ADFEDFADE， DAE 的等边三角形， ADE60， ADF30， sinADF， 故答案为： 15如图，在平面直角坐标系中，A（1，0） ，B（0，2） ，将线段 AB 平移得到线段 CD，当时， 点 C、D 同时

19、落在反比例函数 y（k0）的图象上，则 k 的值为 12 【分析】过 C 作 CFy 轴于点 F，由EOAEFC，得 CF 的长度，结合反比例函数解析式，表示出 C 点坐标，再根据平移的性质求得 D 点的坐标，再把 D 点坐标代入反比例函数解析式中得出 k 的方程便 可求得 k 的值 【解答】解：过 C 作 CFy 轴于点 F，则 CFFOA， EOAEFC， ， ， ， OA1， ， FC2， ， A（1，0） ，B（0，2） ，线段 AB 平移得到线段 CD， D（3，） ， 把 D（3，）代入 y中，得3（）k， 解得，k12， 故答案为：12 16在 RtABC 中，ACB90，点 D

20、 是 AC 边上一点，连 BD，过 C 点作 BD 的垂线与过 A 点作 AC 的 垂线交于点 E当 tanABD，cosE，则的值是 【分析】在AHE 中，设 AEa，则 AGAEsinasin，GEacos，则 GHAGasin，则 EH GE+GHacos+asin，在 RtAEG 中，EC，再求出 HC；在BHC 中，求得 BC，在 RtBCD 中，求得 CD，进而求解 【解答】解：设直线 AB 交 CE 于点 H，BD 交 CE 于点 N， 设E，则 cosEcos，则 sin，tan4， tanABD，则 tanBHN2， AEAC，BCAC， AEBC， EECB， NDC+NC

21、D90，NCB+NCD90， NCBNDC， 在AHE 中，设 AEa，则 AGAEsinasin，GEacos， 则 GHAGasin，则 EHGE+GHacos+asin， 在 RtAEC 中，EC， 则 HCECEH（acos+asin） ； 在BHC 中，tanBHN2，tan4，HC（acos+asin） ， 同理可得：BC， 在 RtBCD 中，CDa（）， ADACCD4a， 则， 故答案为 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 72 分）分） 17 （8 分）计算： （2a2）2a3a3+a5a 【分析】分别求出每（2a2）2a4a4；a3a33a4；a5aa4；再运

22、算即可； 【解答】解： （2a2）2a3a3+a5a4a43a4+a42a4； 18 （8 分）如图，ABCD，ADCABC求证：EF 【分析】直接利用平行线的性质得出ABCDCF，再利用已知得出EF 【解答】证明：ABCD， ABCDCF 又ADCABC ADCDCF DEBF EF 19 （8 分） “长跑”是中考体育考试项目之一，某中学为了解九年级学生“长跑”的情况，随机抽取部分九 年级学生，测试其长跑成绩（男子 1000 米，女子 800 米） ，按长跑的时间的长短依次分为 A，B，C，D 四个等级进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1） 在

23、这次调查中共抽取了 45 名学生， 扇形统计图中， D 类所对应的扇形圆心角大小为 104 ； （2）补全条形统计图，所抽取学生“长跑”测试成绩的中位数会落在 C 等级； （3）若该校九年级共有 900 名学生，请你估计该校 C 等级的学生约在多少人？ 【分析】 （1）这次调查中共抽取学生：845（名） ，D 类所对应的扇形圆心角 360104 （度） ； （2）B 等级学生：45820134，据此补全条形统计图； （3）该校九年级 900 名学生中估计 C 等级的学生约有：900400（名） 【解答】解： （1）这次调查中共抽取学生：845（名） ， D 类所对应的扇形圆心角 360104（

24、度） ， 故答案为 45，104； （2）B 等级学生：45820134 补全条形统计图如下 共有 45 名学生，因此中位数为第 23，落在 C 等级 故答案为 C； （3）该校九年级 900 名学生中估计 C 等级的学生约有：900400（名） 答：该校九年级 900 名学生中估计 C 等级的学生约有 400 人 20 （8 分） （1）如图（1） ，在ABC 中，分别作 AB 边上的高和中线，请用无刻度的直尺完成作图（保留 作图痕迹） ； （2）如图（2） ，以 A 为旋转中心，将ABC 顺时针旋转B 度，得到ABC，请用无刻度的直尺作 出ABC（保留作图痕迹） 【分析】 （1）根据网格即

25、可在ABC 中，分别作 AB 边上的高和中线； （2） 根据旋转的性质， 即可以 A 为旋转中心， 将ABC 顺时针旋转B 度， 根据 tanBtanB， 可得BB，tanAtanA可得AA，ABAB5，进而得到ABC 【解答】解： （1）如图（1） ，CD 和 CE 即为所求； （2）如图（2）ABC即为所求 21 （8 分）如图，ABCD 的边 AB 与经过 A、C、D 三点的O 相切 （1）求证：ACAD； （2）如图 2，延长 BC 交O 于点 E，连接 DE若 sinADE，求 tanDCE 的值 【分析】 （1）连接 AO 并延长交 CD 于 F，如图，根据切线的性质得到 AFAB

26、，再利用平行四边形的性 质得到 ABCD，所以 AFCD，根据垂径定理可判断 AF 垂直平分 CD，从而得到结论； （2）过 A 点作 AHBC，如图，先根据圆内接四边形的性质得到ACBADE，在 RtACH 中利用 正弦的定义得到 sinACH，则可设 AH24x，AC25x，所以 CH7x，所以 BCADAC 25x，BH18x，接着根据正切定义得到 tanB，然后证明DCEB，从而得到 tanDCE 的值 【解答】 （1）证明：连接 AO 并延长交 CD 于 F，如图， AB 为切线， AFAB， 四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD， AFCD， CFDF，即 AF 垂直平分 C

27、D， ACAD； （2）解：过 A 点作 AHBC，如图， ACB+ACE180，ADE+ACE180， ACBADE， sinACBsinADE， 在 RtACH 中，sinACH， 设 AH24x，AC25x， CH7x， 四边形 ABCD 为平行四边形， BCAD，ABCD， 而 ADAC， BCAC25x， BHCBCH25x7x18x， 在 RtABH 中，tanB， ABCD， DCEB， tanDCE 22 （10 分）某商店购买 60 件 A 商品和 30 件 B 商品共用了 1080 元，购买 50 件 A 商品和 20 件 B 商品共用 了 880 元 （1）A、B 两种商

28、品的单价分别是多少元？ （2）已知该商店购买 A、B 两种商品共 30 件，要求购买 B 商品的数量不高于 A 商品数量的 2 倍，且该 商店购买的 A、B 两种商品的总费用不超过 276 元，那么该商店有几种购买方案？ （3）该商店第二准备再购进 A、B 两种商品 30 件，其中购买 A 种商品 m 件（10m13） ，实际购买时 A 种商品下降了 a（a0）元，B 种商品上涨了 3a 元，此时购买这两种商品所需的最少费用为 340 元， 直接写出 a 的值 【分析】 （1）设 A 商品的单价为 x 元，B 商品的单价为 y 元，根据“购买 60 件 A 商品和 30 件 B 商品共 用了

29、1080 元，购买 50 件 A 商品和 20 件 B 商品共用了 880 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组， 解之即可得出结论； （2）设购买 A 商品 n 件，则购买 B 商品（30n）件，根据“购买 B 商品的数量不高于 A 商品数量的 2 倍，且该商店购买的 A、B 两种商品的总费用不超过 276 元” ，即可得出关于 n 的一元一次不等式组，解 之即可得出 n 的取值范围，再结合 n 为正整数即可得出结论； （3）设购买的总费用为 w 元，根据总价单价数量，即可得出 w 关于 m 的函数关系式，再利用一次 函数的性质结合购买这两种商品所需的最少费用为 340 元，即可求

30、出 a 值 【解答】解： （1）设 A 商品的单价为 x 元，B 商品的单价为 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：A 商品的单价为 16 元，B 商品的单价为 4 元 （2）设购买 A 商品 n 件，则购买 B 商品（30n）件， 依题意，得：， 解得：10n13， 又n 为正整数， n 可以取 10，11，12，13， 该商店有 4 种购买方案 （3）设购买的总费用为 w 元，则 w（16a）m+（4+3a） （30m）（124a）m+120+90a 当 0a3 时，10（124a）+120+90a340， 解得：a2； 当 3a16 时，13（124a）+120+90a340， 解得：

31、a（不合题意，舍去） 答：a 的值为 2 23 （10 分）已知ABC 中，ABAC，A，过ABC 其中一个顶点的直线把ABC 分成两个等腰三角 形 （1）如图 1，若 36，求的值； （2） 90或 108或（） （36除外） ； （3） 如图 2， A 为锐角， P 在 AB 延长线上， Q 在边 AC 上， AK 平分BAC 交 PQ 于 K， 请求线段 AP、 AQ、AK 三者之者的数量关系（用 表示） 【分析】 （1） 如图 1 中， 作ABC 的角平分线 BT 设 BCx，ACy利用相似三角形的性质求解即可 （2） 利用三角形内角和定理求解 由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明

32、确是经过顶角的顶点还 是底角的顶点，分四种情形讨论求解即可 （3）如图 3 中，作 PJAQ 交 AK 的延长线于 J，过点 P 作 PHAJ 于 H首先证明 PAPJ，再利用平 行线分线段成比例定理求解即可 【解答】解： （1）如图 1 中，作ABC 的角平分线 BT设 BCx，ACy ABAC，A36， ABCC（18036）72， BT 平分ABC， ABTCBT36， CTB180723672， AABT，CBTC， ATTB，BTBC， BCBTATx， CC，CBTA36 CBTCAB， CB2CTCA， x2（yx） y， x2+xyy20， xy 或 xy（舍弃） ， （2）如

33、图 21， 当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则 ABAC，ADCDBD， 设Bx， 则BADBx，CBx， CADCx， B+BAC+C180， x+x+x+x180， 解得 x45， 则 的值为 90； 如图 22， ABACCD，BDAD， 设Cx， ABAC， BCx， BDAD， BADBx， ADCB+BAD2x， ACCD， CADADC2x， BAC3x， x+x+3x180， 解得 x36， 则 的值为 108 如图 23， 当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有 ABAC，BCBDAD， 设Ax， BDAD， ABDAx， CDBABD+A2x， BC

34、BD， CCDB2x， ABAC， ABCC2x， A+ABC+C180， x+2x+2x180， 解得 x36， 则 的值为 36 如图 24， 当Ax，ABCACB3x时，也符合， ADBD，BCDC， AABDx，DBCBDC2x， 则 x+3x+3x180， 解得 x（） 则 的值为 90或 108或 36或（）， 因为 36除外， 故答案为：90或 108或（） （3）如图 3 中，作 PJAQ 交 AK 的延长线于 J，过点 P 作 PHAJ 于 H BJAQ， JQAK， AK 平分PAQ， PAJQAK， JPAK， PAPJ， PHAJ， AHHJPAcos， AJ2PAco

35、s， PJAQ， ， ， AK2PAcos AK 24 （12 分）已知抛物线 C1：yax2+bx+c 的顶点坐标为（0，1） ，且经过点 A（1，1） ，动直线 l 的解 析式为 y4x+e （1）求抛物线 C1的解析式； （2）将抛物线 C1向上平移一个单位得到新的抛物线 C2，过点 A 的直线交抛物线于 M、N 两点（M 点位 于 N 点的左边） ，动直线 l 过点 M，与抛物线 C2的另外一个交点为点 P，求证：直线 PN 恒过一个定点； （3）已知点 B（0，3） ，且点 C 在动直线 l 上，若ABC 是以B 为顶角的等腰三角形，这样的等腰三 角形有且只存在一个，请求出 e 的值

36、 【分析】 （1）先根据顶点坐标可设其解析式为顶点式，再将点 A（1，1）代入求解即可 （2）先根据二次函数图象的平移得到抛物线 C2的解析式，设点 M 的坐标为 M（m，2m2） ，分别求出直 线 MN，动直线 l 的解析式，然后分别联立两个一次函数与抛物线 C2的解析式，求出点 P，N 的坐标， 最后利用待定系数法求出直线 PN 的解析式，即可得证 （3）设点 C 的坐标为（xC，4xC+e） ，先根据两点间距离公式求出 AB，BC 的长，再根据等腰三角形的 定义得出 ABBC，从而可得到一个关于 xC的一元二次方程，然后利用根的判别式求解即可 【解答】 （1）抛物线 C1：yax2+bx

37、+c 的顶点坐标为（0，1） ， 可设抛物线 C1的解析式为 yax21， 将点 A（1，1）代入得： （1）2a11，解得：a2， 抛物线 C1的解析式为 y2x21； （2）由题意得：抛物线 C2的解析式为 y2x21+1，即 y2x2， 设点 M 的坐标为 M（m，2m2） ， 设直线 MN 的解析式为 yk1x+b1， 将点 A（1，1） ，M（m，2m2）代入得：， 解得：， 直线 MN 的解析式为 yx+， 联立方程组得：， 设点 P（xP，yP） ， 则 xP，m 是关于 x 的一元二次方程 2x20 两个实数根， 由根与系数关系得：xPm， 解得：xP， 将 xP代入抛物线 C

38、2的解析式为 y2x2，得：yP22， 即：P（，） ， 将点 M（m，2m2）代入 y4x+e 得：4m+e2m2，解得：e2m2+4m， 则动直线 l 的解析式为 y4x+2m2+4m， 联立方程组：， 设点 N（xN，yN） ， 则 xN，m 是关于 x 的一元二次方程 2x2+4x2m24m0 的两根， 由根与系数关系得：xN+m2， 解得：xN2m， 将 xN2m 代入抛物线 C2的解析式得：yN2（2m）22（m+2）2， 即 N（2m，2（m+2）2） ， 设直线 PN 的解析式为 yk2x+b2， 将 P（，）代入得：k2+b2， 将 N（2m，2（m+2）2）代入得： （2m）k2+b22（m+2）2， 解得：， 则直线 PN 的解析式为 y， 由此可知，当 x1 时，y3， 即无论 m 取何值，直线 PN 恒过定点（1，3） ； （3）设点 C 的坐标为（xC，4xC+e） ， A（1，1） ，B（0，3） ， AB，BC， ABC 是以B 为顶角的等腰三角形， ABBC， AB2BC2，即：5， 整理得：17+8（3e）xC+（3e）250， 这样的等腰三角形有且只存在一个， 关于 xC的一元二次方程 17+8（3e）xC+（3e）250 有两个相等的实数根， 此方程的根的判别式8（3e）2417（3e）250， 解得：e3+或 e3