2021年天津市南开区中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2021 年天津市南开区中考数学一模试卷年天津市南开区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目 要求的）要求的） 1 （3 分） （30）（20）的结果等于（ ） A10 B10 C50 D50 2 （3 分）tan60的值等于（ ） A B C3 D 3 （3 分）据国家邮政局统计，2021 年农历除夕和初一两天，全国快递处理超 130 000 000 件，与去年同期 相比增长 223%， 快递的春节 “不打烊” 服务确保了广大用

2、户能够顺利收到年货， 欢度佳节 将 130 000 000 用科学记数法表示应为（ ） A1.3107 B13107 C1.3108 D0.13109 4（3 分） 民族图案是数学文化中的一块瑰宝 下列图案中， 既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是 （ ） A B C D 5 （3 分）如图所示的几何体，它的左视图正确的是（ ） A B C D 6 （3 分）估计3 的值在（ ） A1 和 2 之间 B1 和 0 之间 C2 和 3 之间 D2 和1 之间 7 （3 分）方程组的解是（ ） A B C D 8 （3 分）如图，已知菱形 OABC 的顶点 O（0，0） ，C（2，0）且AOC6

3、0，则菱形 OABC 两对角线 的交点 D 的坐标为（ ） A （1，1） B （，） C （1，） D （，） 9 （3 分）已知点 A（2，y1） ，B（a、y2） ，C（3，y3）在反比例函数 y的图象上，且2a0， 则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy1y2y3 10 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 的中点，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AD BC，PEF23，则PFE 的度数为（ ） A23 B25 C30 D46 11 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，点 E 为

4、BC 的中点，将ABE 沿 AE 折叠使点 B 落在 矩形内点 F 处，则下列说法错误的是（ ） A直线 AE 为线段 BF 的垂直平分线 BEFCECF CBEEFEC DCF 12 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的一部分如图所示，顶点坐标为（1，m） ，与 x 轴的一个 交点的坐标为（3，0） ，给出以下结论：abc0；4a2b+c0；若 B（，y1） 、C（， y2）为函数图象上的两点，则 y1y2；当3x0 时方程 ax2+bx+ct 有实数根，则 t 的取值范围是 0tm其中正确的结论的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、

5、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）化简：2x2+13x+72x2+5x 14 （3 分）计算（+2） （2）的结果等于 15 （3 分）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共 40 个，除颜色外其他完全相同小明通过多次 摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在 15%左右，则口袋中红色球可能有 个 16 （3 分）已知一次函数 ykx+6 的图象经过点 A（2，2） ，则 k 的值为 17 （3 分）如图在正方形 ABCD 的边 BC 上有一点 E，连接 AE点 P 从正方形的顶点 A 出发，沿 A DC 以 1cm/s 的

6、速度匀速运动到点 C图是点 P 运动时，APE 的面积 y（cm2）随时间 x（s）变 化的函数图象当 x7 时，y 的值为 18 （3 分）如图，在ABC 中，A90，B60，AB2，若 D 是 BC 边上的动点，则 2AD+DC 的 最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （8 分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答 （）解不等式，得 ； （）解不等式，得 ； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （）原不等式组的解集为 20 （8 分）每年的 4

7、月 23 日是“世界读书日” ，今年 4 月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读 书活动活动结束后，校教导处对本校八年级学生 4 月份的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机 抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，扇形统计图中的 m 的值为 ； （）求本次抽取学生 4 月份“读书量”的样本数据的平均数、众数和中位数； （） 已知该校八年级有 700 名学生， 请你估计该校八年级学生中 4 月份 “读书量” 为 4 本的学生人数 21 （10 分）如图，AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点 A，OP 交

8、O 于点 C，连接 BC （1）如图 1，若P20，求B 的度数 （2）如图 2，过点 A 作弦 ADOP 于点 E，连接 DC，若 OECD，求P 的度数 22 （10 分）如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口 C，途经某海域 A 处时，港口 C 的工作人员监 测到点 A 在南偏东 30方向上， 另一港口 B 的工作人员监测到点 A 在正西方向上 已知港口 C 在港口 B 的北偏西 60方向，且 B、C 两地相距 120 海里 （1）求出此时点 A 到港口 C 的距离（计算结果保留根号） ； （2）若该渔船从 A 处沿 AC 方向向港口 C 驶去，当到达点 A时，测得港口 B 在 A的南

9、偏东 75的方向 上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号） 23 （10 分）小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路 返回，停在甲地，设小明出发 x（min）后，到达距离甲地 y（m）的地方，图中的折线表示的是 y 与 x 之间的函数关系 （）甲、乙两地的距离为 ，a ； （）求小明从乙地返回甲地过程中，y 与 x 之间的函数关系式； （）在小明从甲地出发的同时，小红从乙地步行至甲地，保持 100m/min 的速度不变，到甲地停止，当 小明从甲地出发 min 时，与小红相距 200 米 24 （10 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 O

10、ABC 是矩形，点 A，C 的坐标分别为（3，0） ， （0， 1） 点 D 是边 BC 上的动点（与端点 B，C 不重合） ，过点 D 作直线 yx+b 交边 OA 于点 E （）如图，求点 D 和点 E 的坐标（用含 b 的式子表示） ； （）如图，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为矩形 O1A1B1C1，试探究矩形 O1A1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由； （）矩形 OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的 最小值和最大值 25 （10 分）已知抛物线 yax2

11、+bx+c（a0）经过 A（4，0） 、B（1，0） 、C（0，4）三点 （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图 1，点 D 是在直线 AC 上方的抛物线的一点，DNAC 于点 N，DMy 轴交 AC 于点 M，求 DMN 周长的最大值及此时点 D 的坐标； （3）如图 2，点 P 为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接 OP，OP 与 AC 相交于点 Q，求的 最大值 2021 年天津市南开区中考数学一模试卷年天津市南开区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的

12、四个选项中只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目 要求的）要求的） 1 （3 分） （30）（20）的结果等于（ ） A10 B10 C50 D50 【分析】原式利用减法法则变形，计算即可求出值 【解答】解：原式30+20 10 故选：B 【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 2 （3 分）tan60的值等于（ ） A B C3 D 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案 【解答】解：tan60 3 故选：C 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 3 （3 分）据国家邮政局统计，2021 年农历除

13、夕和初一两天，全国快递处理超 130 000 000 件，与去年同期 相比增长 223%， 快递的春节 “不打烊” 服务确保了广大用户能够顺利收到年货， 欢度佳节 将 130 000 000 用科学记数法表示应为（ ） A1.3107 B13107 C1.3108 D0.13109 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：1300000001.3108 故选：C 【点评】此题考

14、查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4（3 分） 民族图案是数学文化中的一块瑰宝 下列图案中， 既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是 （ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解 【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意； C、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：C 【点评】本题考查

15、了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原重图合 5 （3 分）如图所示的几何体，它的左视图正确的是（ ） A B C D 【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从几何体的左面看，底层是两个小矩形，上层是一个较大的矩形 故选：D 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置 6 （3 分）估计3 的值在（ ） A1 和 2 之间 B1 和 0 之间 C2 和 3 之间 D2 和1 之间 【分析】先估算出的大小，进而

16、估算出的范围 【解答】解：162125， ， ， 3 的值在 1 和 2 之间 故选：A 【点评】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法 7 （3 分）方程组的解是（ ） A B C D 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解：， +2 得：7x21， 解得：x3， 把 x3 代入得：6y1， 解得：y5， 则方程组的解为 故选：A 【点评】 此题考查了解二元一次方程组， 利用了消元的思想， 消元的方法有： 代入消元法与加减消元法 8 （3 分）如图，已知菱形 OABC 的顶点 O（0，0） ，C（2，0）且AOC60，则菱形 OABC 两对角线 的交点 D 的坐标为

17、（ ） A （1，1） B （，） C （1，） D （，） 【分析】先求出点 A 坐标，由中点坐标公式可求解 【解答】解：如图，过点 A 作 AEOC 于 E， 点 O（0，0） ，C（2，0） ， OC2， 四边形 ABCO 是菱形， OAOC2，ADCD， AOC60，AEOC， OAE30， OEAO1，AEOE， 点 A（1，） ， ADCD， 点 D（，） ， 故选：B 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，中点坐标公式等知识，灵活运用这些性质解决问 题是本题的关键 9 （3 分）已知点 A（2，y1） ，B（a、y2） ，C（3，y3）在反比例函数 y的图象上，且2a0

18、， 则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy1y2y3 【分析】利用 k0，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而增大，双曲线在第二四象限，分别分析即可得 出答案 【解答】解：反比例函数 y中的 k40， 在图象的每一支上，随 x 的增大而增大，双曲线在第二四象限， 2a0， y2y10， C（3，y3）在第四象限， y30， y3y1y2， 故选：C 【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练地应用反比例函数的性质是解决问题的关键 10 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 的中点，点 E，F 分别是 AB，CD

19、 的中点，AD BC，PEF23，则PFE 的度数为（ ） A23 B25 C30 D46 【分析】根据中位线定理和已知，易证明EPF 是等腰三角形 【解答】解：在四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 的中点，E，F 分别是 AB，CD 的中点， FP，PE 分别是CDB 与DAB 的中位线， PFBC，PEAD， ADBC， PFPE， 故EPF 是等腰三角形 PEF23， PEFPFE23 故选：A 【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的 知识 11 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，点 E 为 BC 的中点，将A

20、BE 沿 AE 折叠使点 B 落在 矩形内点 F 处，则下列说法错误的是（ ） A直线 AE 为线段 BF 的垂直平分线 BEFCECF CBEEFEC DCF 【分析】连接 BF，由折叠的性质可判断选项 A，B，C，根据三角形的面积公式求出 BH，得到 BF，根 据直角三角形的判定得到BFC90，进而证明 HF 是CEF 的高，根据勾股定理求出 CF 的长 【解答】解：连接 BF，作 FGBC， 将ABE 沿 AE 折叠使点 B 落在矩形内点 F 处， ABAF，BEEF， 直线 AE 是线段 BF 的垂直平分线，故选项 A 不合题意； BC6，点 E 为 BC 的中点， BE3ECEF，故

21、选项 B 不合题意； EFCECF，故选项 C 不合题意； 又AB4， AE5， 由折叠知，BFAE（对应点的连线必垂直于对称轴） BH， 则 BF， FEBEEC， BFC90， 根据勾股定理得，CF，故选项 D 符合题意， 故选：D 【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠 前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键 12 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的一部分如图所示，顶点坐标为（1，m） ，与 x 轴的一个 交点的坐标为（3，0） ，给出以下结论：abc0；4a2b+c0；若 B（，y1） 、

22、C（， y2）为函数图象上的两点，则 y1y2；当3x0 时方程 ax2+bx+ct 有实数根，则 t 的取值范围是 0tm其中正确的结论的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据 对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：函数的对称轴在 y 轴右侧，故 ab0，而 c0，故 abc0 正确，符合题意； 由图象可以看出，x2 时，y4a2b+c0 正确，符合题意； 若 B（，y1） 、C（，y2）为函数图象上的两点，函数的对称轴为：x1

23、，点 C 比点 B 离对 称轴近，故则 y1y2正确，符合题意； 当3x0 时方程 ax2+bx+ct 有实数根，即 yax2+bx+c 与 yt 有交点，故则 t 的取值范围是 0t m 正确，符合题意 故选：D 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及二次函 数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）化简：2x2+13x+72x2+5x 2x+8 【分析】先确定同类项，然后再利用合并同类项法则进行计算即可 【解答】解

24、：2x2+13x+72x2+5x （2x22x2）+（3x+5x）+（1+7） 2x+8 故答案为：2x+8 【点评】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变 14 （3 分）计算（+2） （2）的结果等于 7 【分析】利用平方差公式计算 【解答】解：原式（）222 114 7 故答案为 7 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二 次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 15 （3 分）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共 40 个，除颜色外其他完全相同小明通过多次 摸球试验后发现，其中摸到红色球的

25、频率稳定在 15%左右，则口袋中红色球可能有 6 个 【分析】球的总数乘以红球所占球的总数的比例即为红球的个数 【解答】解：红球个数为：4015%6 个 故答案为：6 【点评】具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值 16 （3 分）已知一次函数 ykx+6 的图象经过点 A（2，2） ，则 k 的值为 4 【分析】把点 A 的坐标代入一次函数解析式求出即可 【解答】解：把点 A（2，2）代入 ykx+6，得22k+6， 解得 k4 故答案为：4 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，是一道比较典型的题目 17 （3 分）如图在正方形 ABCD 的边 BC 上有一点 E，连接 AE点

26、 P 从正方形的顶点 A 出发，沿 A DC 以 1cm/s 的速度匀速运动到点 C图是点 P 运动时，APE 的面积 y（cm2）随时间 x（s）变 化的函数图象当 x7 时，y 的值为 【分析】当点 P 在点 D 时，yABADaa8，解得：a4，当点 P 在点 C 时，yEP ABEP46， 解得： EP3， 即 EC3， BE1， 当 x7 时， yS正方形ABCD （SABE+SECP+S APD，即可求解 【解答】解：设正方形的边长为 a， 当点 P 在点 D 时，yABADaa8，解得：a4， 当点 P 在点 C 时，yEPABEP46，解得：EP3，即 EC3，BE1， 当 x

27、7 时，如下图所示： 此时，PC1，PD743， 当 x7 时，yS正方形ABCD（SABE+SECP+SAPD）44（41+13+43） 故答案为： 【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系， 进而求解 18 （3 分）如图，在ABC 中，A90，B60，AB2，若 D 是 BC 边上的动点，则 2AD+DC 的 最小值为 6 【分析】 作点 A 关于 BC 的对称点 A， 连接 AA， AD， 过 D 作 DEAC 于 E， 依据 A 与 A关于 BC 对称， 可得 ADAD，进而得出 AD+DEAD+DE，当 A，D，E 在同一直线上时，A

28、D+DE 的最小值等于 AE 的长，依据 AD+DE 的最小值为 3，即可得到 2AD+CD 的最小值为 6 【解答】解：如图所示，作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AA，AD，过 D 作 DEAC 于 E， ABC 中，BAC90，B60，AB2， BH1，AH，AA2，C30， RtCDE 中，DECD，即 2DECD， A 与 A关于 BC 对称， ADAD， AD+DEAD+DE， 当 A，D，E 在同一直线上时，AD+DE 的最小值等于 AE 的长， 此时，RtAAE 中，AEsin60AA23， AD+DE 的最小值为 3， 即 2AD+CD 的最小值为 6， 故答案为：6

29、 【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合 轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （8 分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答 （）解不等式，得 x2 ； （）解不等式，得 x0 ； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （）原不等式组的解集为 0 x2 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式

30、组的解集 【解答】解： （）解不等式，得 x2； （）解不等式，得 x0； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来，如下： （）原不等式组的解集为 0 x2 故答案为：x2，x0，0 x2 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同 小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 20 （8 分）每年的 4 月 23 日是“世界读书日” ，今年 4 月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读 书活动活动结束后，校教导处对本校八年级学生 4 月份的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机 抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所

31、示： 根据以上信息，解答下列问题： （）本次接受随机抽样调查的学生人数为 60 ，扇形统计图中的 m 的值为 35 ； （）求本次抽取学生 4 月份“读书量”的样本数据的平均数、众数和中位数； （） 已知该校八年级有 700 名学生， 请你估计该校八年级学生中 4 月份 “读书量” 为 4 本的学生人数 【分析】 （）根据 1 本的人数和所占的百分比求出总人数，再用读 3 本的人数除以总人数求出 m 的值 即可； （）根据平均数、众数和中位数的定义即可得出答案； （）用八年级的总人数乘以“读书量”为 4 本的学生人数所占的百分比即可 【解答】解： （）本次接受随机抽样调查的学生人数为 35%6

32、0（人） ， m%100%35%，即 m35 故答案为：60，35； （）读 4 本的人数有：6020%12（人） ， 本次所抽取学生 4 月份“读书量”的平均数是：3（本） ； 根据统计图可知众数为 3 本； 把这些数从小到大排列，中位数是第 30、31 个数的平均数， 则中位数是3（本） ； （）根据题意得：70020%140（人） ， 答：该校八年级学生中 4 月份“读书量”为 4 本的学生人数大约是 140 人 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要 的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占

33、总 体的百分比大小 21 （10 分）如图，AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点 A，OP 交O 于点 C，连接 BC （1）如图 1，若P20，求B 的度数 （2）如图 2，过点 A 作弦 ADOP 于点 E，连接 DC，若 OECD，求P 的度数 【分析】 （1）利用切线的性质得到PAB90，则利用互余计算出AOP70，然后根据圆周角定 理得到B 的度数； （2）如图 2，连接 DB，OD，根据垂径定理得到 AEED，则可判断 OE 为ABD 的中位线， 所以 OEBD， 从而得到 CDDB 所以， 根据圆心角、 弧、 弦的关系得到AOCCOD BOD60，然后根据切线的性质得到PAO

34、90，则利用互余可求出P 的度数 【解答】解： （1）PA 与O 相切于点 A， OAPA， PAB90， AOP90P902070， BAOC7035； （2）如图 2，连接 DB，OD， 弦 ADOP 于点 E， AEED， OAOB，AEDE， OE 为ABD 的中位线， OEBD， OECD， CDDB ， ， AOCCODBOD60， PA 为O 的切线， PAO90， P90AOP906030 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了垂径定理和圆周角定理 22 （10 分）如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口 C，途经某海域 A 处时，港口 C 的工作

35、人员监 测到点 A 在南偏东 30方向上， 另一港口 B 的工作人员监测到点 A 在正西方向上 已知港口 C 在港口 B 的北偏西 60方向，且 B、C 两地相距 120 海里 （1）求出此时点 A 到港口 C 的距离（计算结果保留根号） ； （2）若该渔船从 A 处沿 AC 方向向港口 C 驶去，当到达点 A时，测得港口 B 在 A的南偏东 75的方向 上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号） 【分析】 （1）延长 BA，过点 C 作 CDBA 延长线与点 D，由直角三角形的性质和锐角三角函数的定义 求出 AC 即可； （2） 过点 A作 ANBC 于点 N， 由 （1） 得： CD60

36、 海里， AC40海里， 证出 AB 平分CBA， 得 AEAN，设 AAx，则 AEAA，ANAEAEx，证出 AC2ANx，由题意 得出方程，解方程即可 【解答】解： （1）如图所示：延长 BA，过点 C 作 CDBA 延长线与点 D， 由题意可得：CBD30，BC120 海里， 则 CDBC60 海里， cosACDcos30， 即， AC40（海里） ， 答：此时点 A 到军港 C 的距离为 40海里； （2）过点 A作 ANBC 于点 N，如图： 由（1）得：CD60 海里，AC40海里， AECD， AAEACD30， BAA45， BAE75， ABA15， 215ABA， 即

37、AB 平分CBA， AEAN， 设 AAx，则 AEAA，ANAEAEx， 1603030，ANBC， AC2ANx， AC+AAAC， x+x40， 解得：x6020， AA（6020）海里， 答：此时渔船的航行距离为（6020）海里 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义 23 （10 分）小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路 返回，停在甲地，设小明出发 x（min）后，到达距离甲地 y（m）的地方，图中的折线表示的是 y 与 x 之间的函数关系 （）甲、乙两地的距离为 2000m ，a 14 ； （）求

38、小明从乙地返回甲地过程中，y 与 x 之间的函数关系式； （）在小明从甲地出发的同时，小红从乙地步行至甲地，保持 100m/min 的速度不变，到甲地停止，当 小明从甲地出发 6 或 min 时，与小红相距 200 米 【分析】 （）根据图象可知甲、乙两地的距离为 2000m，根据以相同的速度原路返回，可知 a2410 14； （）设 y 与 x 解析式为 ykx+b，把（14，2000）与（24，0）代入求出 k 与 b 的值，即可确定出解析 式； （）先求出小明骑自行车的速度，再根据题意列方程解答即可 【解答】解： （）由图象可知，甲、乙两地的距离为 2000m；a241014； （）设

39、ykx+b， 把（14，2000）与（24，0）代入得： ， 解得：k200，b4800， 则 y200 x+4800； （）小明骑自行车的速度为：200010200（m/min） ， 根据题意，得（200+100）x2000200 或（200+100）x2000+200， 解得 x6 或 x， 即小明从甲地出发 6 分钟或分钟，与小红相距 200 米 故答案为： （）2000m；14； （）6 或 【点评】此题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，从图象上得出有用的信息是解本 题的关键 24 （10 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 OABC 是矩形，点 A，C 的坐标

40、分别为（3，0） ， （0， 1） 点 D 是边 BC 上的动点（与端点 B，C 不重合） ，过点 D 作直线 yx+b 交边 OA 于点 E （）如图，求点 D 和点 E 的坐标（用含 b 的式子表示） ； （）如图，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为矩形 O1A1B1C1，试探究矩形 O1A1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由； （）矩形 OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的 最小值和最大值 【分析】 （1）根据题意得出点 D 纵坐标为 1，点 E 的纵坐标为 0

41、，代入解析式即可； （2）如图根据菱形的性质和勾股定理从而得出结论； （3）分两种情况得出菱形面积的最大和最小值 【解答】解： （1）四边形 OABC 是矩形， CBx 轴， 由点 A，C 的坐标分别为（3，0） ， （0，1） 可得点 D 的纵坐标为 1， 当 y1 时，y+b， 解得：x2b2， D 的坐标为（2b2，1） 当 y0 时，y+b， 解得：x2b， E 的坐标为（2b，0） （）CB 与 O1A1的交点为 M，C1B1与 OA 的交点为 N，如图： 四边形 OABC，四边形 O1A1B1C1是矩形， CBOA，C1B1O1A1， 四边形 DMEN 是平行四边形， 矩形 OAB

42、C 关于直线 DE 的对称图形为矩形 O1A1B1C1， 12， CBOA， 23， 13， DMME， 平行四边形 DMEN 是菱形， 过点 D 作 DHOA 于点 H， 由 D（2b2，1） ，E（2b，0） ， 可知 CD2b2，OE2b，OHCD2b2， EHOEOH2b（2b2）2， 设菱形 DMEN 的边长为 m， 在 RtDHN 中，DH1，HNEHNE2m，DNm， 由 DH2+HN2DN2，得 12+（2m）2m2， 解得：m， ， 所以重叠部分菱形 DMEN 的面积不变，为； （）当 NE1 时，菱形面积的最小值是 1； 当 NE时，菱形面积的最大值是 （D 与 C 重合，

43、A 与 E 重合，设 DNANx，在 RtDNO 中利 用勾股定理列出方程计算） 【点评】本题考查了一次函数的性质，关键是根据点在函数图象上，点的坐标满足函数的解析式也利 用了菱形的特点 25 （10 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A（4，0） 、B（1，0） 、C（0，4）三点 （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图 1，点 D 是在直线 AC 上方的抛物线的一点，DNAC 于点 N，DMy 轴交 AC 于点 M，求 DMN 周长的最大值及此时点 D 的坐标； （3）如图 2，点 P 为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接 OP，OP 与 AC 相交于点 Q，求的 最大值

44、 【分析】 （1）根据抛物线经过 A（4，0） 、B（1，0） 、C（0，4）三点，法一：代入抛物线解析式即可； 法二利用交点式得 ya（x4） （x+1） （a0） ，将 C（0，4）坐标代入即可计算； 法三根据 A（4，0） 、B（1，0）利用对称轴方程即可求解； （2）延长 DM 交 x 轴于点 H，根据题意证明DMN 是等腰直角三角形，然后求出直线 AC 的解析式为 y x+4，设 D（m，m2+3m+4） ，M（m，m+4） ，根据等腰三角形的性质即可得结论； （3）法一：过 PMy 轴交 AC 于点 M，由题意，设 P（m，m2+3m+4） ，M（m，m+4） ，根据平 行线分线段

45、成比例定理列式计算即可； 法二：设 Q（m，m+4） ，P（n，n2+3n+4） ，求出直线 OP 的解析式，将 P（n，n2+3n+4）坐标代 入列式计算即可 【解答】解： （1）法一：依题意，得， 解之，得， 抛物线解析式为 yx2+3x+4 法二：依题意，得 ya（x4） （x+1） （a0） ， 将 C（0，4）坐标代入得， 3a3， 解得 a1， 抛物线解析式为 yx2+3x+4 法三：依题意，得， 解之，得， 抛物线解析式为 yx2+3x+4 （2）如图 1，延长 DM 交 x 轴于点 H， OAOC4，OAOC，DMy 轴交 AC 于点 M， OAC45，AHM90， DNAC

46、于点 N， AMHDMN45， DMN 是等腰直角三角形， 设直线 AC 的解析式为 ykx+b（k0） ， 将 A（4，0） 、C（0，4）两点坐标代入得， 解得， 所以直线 AC 的解析式为 yx+4， 设 D（m，m2+3m+4） ， M（m，m+4） ， DMm2+3m+4（m+4）m2+4m（m2）2+4， 当 m2 时，DM 最大值为 4， 此时 D（2，6） ， DMN 是等腰直角三角形， DMN 周长， DMN 周长的最大值为， 此时 D（2，6） （3）法一：如图 2，过 PMy 轴交 AC 于点 M， 设 P（m，m2+3m+4） ， M（m，m+4） ， PMm2+3m+

47、4（m+4）m2+4m（m2）2+4， PMOC， ， ， ， 当 m2 时，的最大值为 1 法二：如图 2，设 Q（m，m+4） ，P（n，n2+3n+4） ， 设直线 OP 的解析式为 ykx（k0） ， 将 Q（m，m+4）点代入得， 直线 OP 的解析式， 将 P（n，n2+3n+4）坐标代入得， 所以， 化简得， ， 当 n2 时，的最大值为 1 【点评】 本题属于二次函数综合题， 解决本题的关键是将函数知识与方程、 几何知识有机地结合在一起 这 类试题一般难度较大解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性 质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件