3.3垂径定理（1）课件

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1、 创设情境创设情境,引入新课引入新课 复习提问复习提问: （）正三角形是轴对称性图形吗？（）正三角形是轴对称性图形吗？ （）什么是轴对称图形（）什么是轴对称图形 （）圆是否为轴对称图形？如果是，它的（）圆是否为轴对称图形？如果是，它的 对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能 完全重合，这个图形就是轴对称图形。完全重合，这个图形就是轴对称图形。 有几条对称轴？有几条对称轴？ 是是 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, CD,

2、 然后沿着直径所在的直线把纸折叠然后沿着直径所在的直线把纸折叠, ,你发现了什么你发现了什么? ? 圆是轴对称图形，每一条圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线直径所在的直线都是对称轴。都是对称轴。 强调：强调： 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） X （1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴. （2）圆的对称轴有无数条）圆的对称轴有无数条. O O C C D D 合作交流合作交流,探究新知探究新知 一自主探究一自主探究 结论：结论： . .在刚才操作的基础上在刚才操作的基础上, ,再作一条和

3、直径再作一条和直径CDCD垂直的弦垂直的弦 AB,ABAB,AB与与CDCD相交于点相交于点E,E,然后沿着直径然后沿着直径CDCD所在的直线把纸所在的直线把纸 折叠折叠, ,你发现哪些点你发现哪些点、线互相重合线互相重合? ?如果把能够重合的圆如果把能够重合的圆 弧叫做弧叫做相等的圆弧相等的圆弧( (等弧等弧) ), ,有有哪些圆弧相等哪些圆弧相等？ A A B B E E O O C C D D 二二 合作学习合作学习 解：点解：点A与点与点B重合，与重合，重合，与重合， ACBC，ADBD .请你用命题的形式表述你的结论请你用命题的形式表述你的结论. 垂直于弦的直径平分这条弦，垂直于弦的

4、直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧 A A B B E E O O C C D D 点点A A与点与点B B重合，弧重合，弧ACAC和弧和弧BCBC重合，重合， 弧弧ADAD和弧和弧BDBD重合重合 .请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明 解解 已知：如图，是 已知：如图，是O的直径，是的直径，是O的一的一 条弦，条弦，AB，且交于点，且交于点 求证：求证： EA=EB， AC= BC， ， AD=BD 证明：连结，证明：连结，. 如果把如果把O沿着直径对折，沿着直径对折， 那么被分成那么被分成的两个半圆互的两个半圆互 相重合相重

5、合. OEA=OEB=Rt， 线段线段EA与线段与线段EB重合重合. EA=EB， AC= BC， AD=BD 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 思考：思考：你能利用等腰你能利用等腰 三角形的性质，说明三角形的性质，说明 OCOC平分平分ABAB吗吗？ .圆的性质（垂径定理）圆的性质（垂径定理） 垂直于弦的直径平分这条弦，垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧 三三 概括性质（概括性质（垂径定理垂径定理：垂直于弦的直：垂直于弦的直 径平分这条弦，并且平分弦所对的弧）径平分这条弦，并且平分弦所对的弧） .直径垂直于

6、弦直径垂直于弦 EA=EB， AC=BC， AD=BD A A B B O O C C D D E E 直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径平分弦直径平分弦 2.分一条弧成相等的两条弧的点分一条弧成相等的两条弧的点, 叫做这条叫做这条弧的中点弧的中点. 例如例如,点点C是是AB的中点的中点,点点D是是ADB的中点的中点. CD为直径，为直径，CDAB（或（或OCAB） 垂径定理的几何语言叙述垂径定理的几何语言叙述: （条件）（条件） （结论）（结论） E D C O A B O B C A D D O B C A O B A C D O B AC 作法：作法： 连结连结ABAB. 作作A

7、BAB的垂直平分线的垂直平分线 CDCD，交弧，交弧ABAB于点于点E.E. 点点E E就是所求弧就是所求弧ABAB的中点的中点 C D A B E 例例1 1 已知弧已知弧ABAB，如图，用直尺和圆规求作这条弧，如图，用直尺和圆规求作这条弧 的中点的中点( (先介绍弧中点的概念）先介绍弧中点的概念） 分析分析: :要平分要平分AB,AB,只要画垂直于弦只要画垂直于弦ABAB的直径的直径. .而这而这 条直径应在弦条直径应在弦ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上. .因此画因此画ABAB的的 垂直平分线就能把垂直平分线就能把ABAB平分平分. . .如图，过已知如图，过已知O内的一点内的一点A

8、作弦作弦,使使A是该弦是该弦 的中点的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点然后作出弦所对的两条弧的中点 O A B C BCBC就是所要求的弦就是所要求的弦 点点D,ED,E就是所要求的弦就是所要求的弦 所对的两条弧的中点所对的两条弧的中点. . D E 例例2 2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半 径径OB=10OB=10，水面宽，水面宽AB=16AB=16。求截面圆心。求截面圆心O O到水面的距离。到水面的距离。 D C 10 8 8 解解: :作作OCABOCAB于于C,C, 由垂径定理得由垂径定理得: : AC=BC=1/2AB=0.5AC

9、=BC=1/2AB=0.516=8.16=8. 由勾股定理得由勾股定理得: : 2222 OCOBBC1086 圆心到圆的一条弦的距离叫做圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距弦心距. 例如例如, ,上图中上图中, ,OCOC的长就是弦的长就是弦ABAB的弦心距的弦心距. . 想一想想一想: :排水管中水最深多少排水管中水最深多少? ? 答答: :截面圆心截面圆心O O到水面的距离为到水面的距离为6.6. 题后小结：题后小结： 1作作弦心距弦心距和和半径半径是圆中是圆中 常见的辅助线；常见的辅助线； O A B C r r d d 22 .2ABrd弦长 2 半径（半径（r)、半弦、弦心、半弦、弦心

10、 距距(d)组成的直角三角形是研组成的直角三角形是研 究与圆有关问题的主要思路，究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：它们之间的关系： 想一想：想一想： 在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的 弦心距之间有什么关系？弦心距之间有什么关系？ 答答:在同一个圆中，在同一个圆中， 弦心距越长弦心距越长,所对应的弦就越短所对应的弦就越短; 弦心距越短弦心距越短,所对应的弦就越长所对应的弦就越长. C C A A B B O O D D . . .在直径为厘米的球形油槽内装入一些油后，截面如在直径为厘米的球形油槽内装入一些油后，截面如 图所示，如果油面宽是

11、厘米，求油槽中油的最大深度图所示，如果油面宽是厘米，求油槽中油的最大深度 C C D D 解：解： 因为因为， 过作过作于点，延长交于点，于点，延长交于点， 1 8() 2 CEDECD所以厘米 1 2010 2 OD 又厘米 2 6Rt ODEDE 2 在中，OE= OD（厘米） O O 所以油槽中油的最大深度（厘米）所以油槽中油的最大深度（厘米） 连结连结 3、已知：如图，、已知：如图，O 中，中， AB为为 弦，弦，OC AB OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求求O 的半径的半径. A AB B O O C C D D 3 3 1 、已知、已知O O的半径

12、为的半径为10cm10cm，点，点P P是是O O内一点，内一点， 且且OP=8OP=8，则过点，则过点P P的所有弦中，最短的弦是（的所有弦中，最短的弦是（ ） O O P P (A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm D D 10 8 6 2如图，如图，O的直径为的直径为10，弦，弦AB长为长为8，M是是 弦弦AB上的动点，则上的动点，则OM的长的取值范围是（的长的取值范围是（ ） A3OM5 B4OM5 C3OM5 D4OM5 A B O M 师生共同总结：师生共同总结： 本节课主要内容本节课主要内容：（1 1）圆的轴对称性；（）圆的轴对称性；（2 2）垂径定理）垂径定理 2 2垂径定理的应用：垂径定理的应用：（1 1）作图；（）作图；（2 2）计算和证明）计算和证明 3 3解题的主要方法：解题的主要方法： .2 22 drAB弦长 （2 2）半径（）半径（r)r)、半弦、弦心距、半弦、弦心距(d)(d)组成的直角三角形组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： （1 1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线；画弦心距和半径是圆中常见的辅助线；