第1讲 相交线 同步培优课程（教师版）

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1、 第第 1 1 讲讲 一一、直线的相交直线的相交 1 1两条直线的位置关系两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行 【注】【注】两条直线：有且只有一个公共点，两直线相交； 无公共点，则两直线平行； 两个或两个以上公共点，则两直线重合，视为一条直线 2 2直线的相交直线的相交两线四角两线四角 （1）邻补角邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻 补角 【例】【例】如图 1，和，和，和，和互为邻补角 【注】注】互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角 （2）对顶角对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线

2、，则这两个角互为对顶角 【例】【例】如图 1，和，和，互为对顶角 【注】注】互为对顶角的两个角一定相等，但两个角相等不一定互为对顶角 图 1 图 2 图 3 二二、垂直垂直 1 1 垂直： 垂直： 一条直线与另一条直线相交成， 这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 它们的交点叫做垂足 【例】【例】如图 2，ABCD，垂足为O，可记为“ABCD于点O” 2 2性质：性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短垂线段最短 【注】注】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离点到直线的距离

3、三三、三线八角三线八角 1 1同位角：同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（即两个角分别在两条直线的同一侧，并且在 第三条直线的同侧） ，叫做同位角 【例】【例】如图 3，和，和，和，和都是同位角 2 2内错角：内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错的一对角（即两个角分 别在第三条直线的两侧） ，叫做内错角 【例】【例】如图 3，和，和都是内错角 3 3同旁内角：同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同侧的一对 角，叫做同旁内角 【例】【例】如图 3，和，和都是同旁内角 4 3 2 1 D C B A D C

4、 B A O 8 7 65 4 3 2 1 F E D C B A 4 4角的计数技巧：角的计数技巧： （1） “F”字型中的同位角，如下图所示： （2） “Z”字型中的内错角，如下图所示： （3） “U”字型中的同旁内角，如下图所示： （1）在同一平面内的两条直线的位置关系有（ ） A平行或垂直 B垂直或相交 C平行，垂直或相交 D平行或相交 （2）判断正误： 两条直线的位置关系只有两种：平行或相交 （ ） 平面内，两条线段不相交，则平行 （ ） 平面内不平行的两条射线必定相交 （ ） 【解析】【解析】（1）D； （2）错误，异面；错误；错误 （1）下列图中和是对顶角的有（ ） A0 对 B

5、1 对 C2 对 D3 对 F M N D B F M N C A M N D B E M N E C A N M D A N MB C N M C A M N D B 模块一 直线的相交 例题1 例题2 （4） 2 （3） 2 （2） 2 （1） 2 （2）下列四个图中，与成邻补角的是（ ） A B C D （3）下列各项中，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；如果两个角是对顶角，则这两个角相等； 相等的两个角是对顶角；如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等；如果两个角不相等，则这两个角 不是对顶角，其中正确的有_ （填序号） 【解析】【解析】（1）A； （2）C； （3） （1）如图

6、3-1，AB、CD、EF交于点O，AOE ，DOF ，求AOD的对顶角和邻补角的度数 （2）如图 3-2，直线AB、CD交于O，OE平分AOD，BOCBOD ，求COE的度数 图 3-1 图 3-2 【解析】【解析】（1）由对顶角相等可知，COEDOF ， 故AOCAOECOE 由AOC、AOD互为邻补角可知，AOD 由对顶角相等可知，AOD的对顶角BOC （2）由BOC、BOD互为邻补角可知，BOCBOD 又BOCBOD ，故BOD，BOC 由对顶角相等可知，AODBOC 又OE平分AOD，故.AOE ， 从而可知，.COE 【提示提示】两线四角倒角，规范书写 如图，直线AB、CD相交于点O

7、，OE平分BOC，COF （1）若BOE ，求AOF的度数； （2）若:BODBOE ，求AOF的度数 【解析】【解析】（1）； （2） 例题3 例题4 E C B D A O F A E C B O D A E F D C B O 求证：成对顶角的两个角的平分线在同一直线上 【解析】【解析】如图，AB、CD交于点O，则AOC与BOD成对顶角 设OE、OF分别为AOC、BOD的平分线， 则AOECOEAOC ，BOFDOFBOD ， AOCBOD ，AOEBOF 又BOFDOFAOD ， AOEDOFAOD， 即EOF，OE、OF在同一直线上 【提示提示】可补充证明：成邻补角的两个角的平分线互

8、相垂直 （1）下列说法中正确的是（ ） 点到直线的距离是点到直线所作的垂线； 两个角互为邻补角，这两个角的角平分线互相垂直； 两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直； 连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短 A B C D （2）P为直线外一点，点A、B、C为l上的三点，且PBl，下列说法错误的是（ ） APA、PB、PC三条线段中，PB最短 B线段PB叫做点P到直线的l的距离 CPB是点P到l的垂线段 D线段AB的长是点A到PB的距离 【解析】【解析】（1）D； （2）B （1）如图 7-1，直线AB与CD相交于点O，OECD，OFAB，DOF ，求BOE和AOC的度数 （

9、2）如图 7-2，已知直线AB和CD相交于点O，OEOC，OF平分AOE，COF ，求BOD的度数 图 7-1 图 7-2 例题5 模块二 垂直 例题6 例题7 l CBA P F A C D B O E F A C D B O E 【解析】【解析】（1）OFAB，DOF BOD （垂直定义） AOCBOD （对顶角相等） OECD， BOE （垂直定义） （2）COE是直角， COE 又COF ， FOECOECOF OF平分AOE， AOFFOE AOCAOFCOF BODAOC ， BOD 【提示提示】利用垂直的定义来倒角，倒角一定要反复练习 如图所示，在一个面积为 1843200 平方

10、米的正方形货场中有一条长为 1600 米的直线铁路AE现有一辆装满货 物的卡车停放在D点，如果卡车的速度是每分钟 96 米，请说明 11 分钟内能否将这车货物运到铁路线旁？ 【解析】【解析】由垂线段最短，可知比较D到AE的垂线段长度与卡车行驶 11 分钟路程的大小，即可得出结论 如右图所示，汽车由D到AE的最短距离是由D向AE引的垂线DH，连结DE 则 AEDABCD SS 正方形 ， 又 AED SAE DEDHDH ，解得DH （米） 而卡车行驶 11 分钟的路程为（米）（米） ，所以 11 分钟内不能将这车货物由D点 运到铁路线旁 A BC D E H E D CB A 例题8 模块三

11、三线八角 如图，填空： 与是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角 与是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角 与是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角 与是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角 与是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角 【解析】【解析】与是两条直线l与l被第三条直线l所截构成的同位角 与是两条直线l与l被第三条直线l所截构成的同位角 与是两条直线l与l被第三条直线l所截构成的内错角 与是两条直线l与l被第三条直线l所截构成的内错角 与是两条直线l与l被第三条直线l所截构成的同旁内角 过点O任意作 7 条直线，求证：以O为顶点的角中，必有一个小于 【解

12、析】【解析】如图所示， 点O把 7 条直线分成 14 条射线，记为OA，OA，OA. 相邻两射线组成 14 个角，记为，. 其和为一个周角： L. 若结论不成立，则 i ，(, ,)i L. 相加，得 L. 这一矛盾说明，在，中，必有一个角小于 （1） 如图 1-1 所示，AB与CD相交所成的四个角中，1的邻补角是_，1的对顶角是_ 若1 2 5， 则2 _，3 _，4 _ （2）如图 1-2，直线AB、CD、EF相交于O，图中对顶角共有（ ） A3 对 B4 对 C5 对 D6 对 图 1-1 图 1-2 例题9 非常挑战 复习巩固 演练1 l l l A7 A6 A5 A4 A3 A2 A

13、1 O A C D B A F C E O B D 【解析】【解析】（1）2和4，155，25，155 （2）D （1）如图 2-1，已知直线a、b、c相交于点O， ， ，则_ （2）如图 2-2，直线AB、CD相交于点O，OE平分AOD，若BOD，则AOE_ 图 2-1 图 2-2 【解析】【解析】（1）由题意，得 （2）40 如图，已知直线AB和CD相交于点O（AOC为锐角） （1）写出AOC和BOD的大小关系；判断的依据是_ （2）过点O作射线OE、OF，若COE，OF平分AOE，求AOFCOF的 度数，说明你的理由 （3）在（2）的条件下，若AOD，请计算COF的度数 【解析】【解析】

14、（1）AOCBOD ；对顶角相等 （2）AOFCOF （3）COF 如图，已知ACB CDAB，垂足为D，则点A到直线CB的距离为线段_ 的长；线段DB的长为点_到直线_的距离 【解析】【解析】AC，B，CD 已知：如下图A、O、B三点共线，OC为任意一条射线，OE平分BOC，OD平分AOC求证：ODOE O c b a 3 2 1 C B O D E A 演练2 演练3 演练4 演练5 F E O D C BA A C DB 【解析】【解析】A、O、B三点共线AOB， OE平分BOC，OD平分AOC， COEBOC ，DOCAOC ， ()COEDOCBOCAOCBOCAOC AOB 又DOECOEDOC ，DOE ， ODOE 如图，A点处是一座小屋，BC是一条公路，一人在O处 （1）此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？ （2）此人要到公路，怎么走最近？理由是什么？ 【解析】【解析】（1）走线段OA最近，因为两点之间线段最短； （2）如图，过点O作ODBC，垂足为D，则走线段OD最近，因为垂线段最短 如图，判断下列各对角的位置关系： 与；与；与；与BCD；与 【解析】【解析】与是同位角，与是内错角，与是对顶角，与BCD是同旁内角，与 是内错角 演练6 演练7 A C D BO E