第3讲 平行线的性质和构造 同步培优课程（教师版）

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1、 第第 3 3 讲讲 平行线的性质和构造平行线的性质和构造 模块一模块一 平行线折线模型拓展平行线折线模型拓展 1 1平行线折线模型平行线折线模型 模 型 示例剖析 2 b 1 3 a 若ab，则123 ； 若123 ，则ab 2 b 1 3 a 若ab，则123360 ； 若123360 ，则ab 2 2平行线折线模型拓展平行线折线模型拓展 模块二模块二 等积变形（利用平行线来转化面积）等积变形（利用平行线来转化面积） 1 1平行线间距离平行线间距离 两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平 行线间的距离 推论：平行线间的距离处处相等 2 2如

2、图，/ /ABCD,则 ACDBCD SS ， AOCBOD SS 图 1 AB CD 图 2 AB CD O 如图所示，已知ABCD，ABE和CDE的平分线相交于F，140BED，求BFD的度数 AB C F E D AB C F E D M 模块一 平行线折线模型拓展 例1 过点E作EMAB，180MEBABE 又ABCD，MECD180MEDEDC 180180360MEBABEMEDEDC 又MEBMEDBED，140BED， 360360140220ABECDEBED BF、DF分别平分ABE，CDE， 1 220110 2 FBEFDE 360()110BFDFBEFDEBED 【

3、教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查平行线的“铅笔”和“猪蹄”模型综合 （1）如图 2-1，已知 1n MANA，探索 1 A、 2 A、 n A之间的关系 （2）如图 2-2，已知 1n MANA，探索 1 A、 2 A、 n A， 1 B、 2 B、 1n B 之间的关系 （3）如图 2-3，已知 14 MANA，探索 1 A、 2 A、 3 A、 4 A， 1 B、 2 B之间的关系 M N n A 4 A 3 A 2 A 1 A M N 2 B 1 B 1 A 2 A 1n A n A 1n B M N 2 B 1 B 1 A 2 A 3 A 4 A 图 2-1 图 2-2 图

4、 2-3 （1） 123 (1) 180 n AAAAn； （2） 12121nn AAABBB ； （3） 123412 180AAAABB 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查平行线折线模型的拓展 （1） （2014 树德实验半期）如图 3-1，AB/EF，1113 ，35C，2105 ，则D （2）（初二希望杯二试） 如图 3-2， 直线ABCD，30EFA，90FGH，30HMN，50CNP， 则GHM的大小是 例2 例3 E A C P N D B F G M 30 90 30 50 图 3-1 图 3-2 （1）过C作平行线，73. （2）过点G，H作AB，CD的平行线，

5、 则ABOGHQCD 30OGEAFE ， 50MQRHQPCNP OGHQ， 60GHQOGHHGEEGO 在MHQ中，180MHQHMQMQH 又180MQRMQH， MHQHMQMQR 503020MHQ， 40GHMGHQMHQ （1）如图 4-1 所示，360BED，求证：ABCD （2）如图 4-2 所示，AECAC ，求证：ABCD 图 4-1 图 4-2 （1）如图 1，过点E作EFAB，则180BBEF ， 360BED， 360BBEFDEFD， 180DDEF， EFCD，ABCD E DC B A E DC BA 例4 F E DC B A 图 1 E A C P N

6、D B F G M 30 90 30 50 O R Q H x （2）证法一：如图 2，过点E作EFAB， 则AAEF ， AECAEFCEFAC ， CCEF ， EFCD，ABCD 证法二：如图 3，过点E作EFAB， 则180AAEF ， 360AECAEFCEF， 360ACAEFCEF ， 180CCEF， EFCD 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查平行线折线模型的逆应用，证明平行 如图，已知，CDEF，CFABC，求证ABGF 如图，过点B作PQCD交GF的延长线于点Q，则PQEF， ABCABPPBCCPBA PBAEFGPQF， ABEF 【教师备课提示】【教师备

7、课提示】例 4 和例 5 主要考查平行线折线模型的逆应用 希望老师们在讲解这道题的时候强调下，过折点做平行线是通解的方法，但不一定是最 简单的方法，因此学习模型不要固话思维，要灵活运用 （1） 如图 6-1， 已知点B在线段CF上，/ /ABCD，/ /ADBC， 则 AEF S与 BCE S的大小关系： GF D E C B A Q P A B C E D F G 模块二 等积变形 例6 例5 F E DC BA 图 3 F E DC BA 图 2 （2）如图 6-2，正方形ABCD的边长为 3cm，点E在BC边的延长线上，四边形CEFG也为正方形，且边长为 4cm，设BDF的面积为S，则S

8、为 （3）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图 6-3 所示，点G在线段DK上，已知正方形BEFG 的边长为 3，则DEK的面积为 F AD BC E A GF D BCE 图 6-1 图 6-2 图 6-3 （1）连结BD，ADBC， ABFBDF SS ， AEFBDE SS ， 又ABCD， BDEBCE SS ， AEFBCE SS = （2） 2 9 cm 2 （3）如图，连BD、GE、FK，则DBGEFK， 在梯形DBEG中， GEDGEB SS ， 同理可得， GEKGEF SS ， GEDGEK SSS 阴影GEBGEF SS BEFG S 正方形 ， 正方

9、形BEFG的边长为 3， 3 39S 阴影 【教师备课提示】【教师备课提示】利用平行线转化面积是用来求面积常用方法，后面证明勾股定理 如图所示，D是ABC的边AB上一点，且ADBD，E是ABC的边BC的中点，能否过点D作一条直线 把ABC分成面积相等的两部分 B A D E C B A D E CF O 连结AE，DE，作AFDE交线段BC于F， BECE， ABEACE SS DC G B A E K P F RM 例7 MR FP K E A B G CD 又AFDE， ADOEFO SS 1 2 BDFBDOEOEFBDOEAODABEABC SSSSSSS 四边形四边形 即DF把ABC

10、分成面积相等的两部分 如图所示，P为ABC的边BC上一点，求作：过点P作两条直线，将ABC的面积三等分 B A P C B A P CE F N M 取BC的三等分点E、F，过E、F分别作AP的平行线， 若点P在E、F之间，则平行线交AB于M，交AC于N， 如图所示，直线PM、PN即为所求， EMAP， AMEPME SS ， 即 1 3 BMPABEABC SSS PNCAMPN SS 四边形 ， 直线PM、PN将ABC的面积三等分 （1）如图 1-1，若ABCD，则角，的关系为（ ） A360 B180 C180 D180 （2）如图 1-2，OPQRST，那么下列等式中正确的是（ ） A

11、12390 B12390 C123180 D231180 （3）如图 1-3，ABCD，EPFP，已知130 ，220 ，则F的度数为（ ） A40 B50 C70 D80 教师备选 演练1 模块一模块一 平行线折线模型拓展平行线折线模型拓展 图 1-1 图 1-2 图 1-3 （1）选 D提示：加辅助线：过角的顶点E，作/ /EFAB （2）D （3）D 如图，已知：ABCD，ABFDCE ，求证：BFEFEC A F B E C D A F B E C D 1 3 2 4 如图所示，过点F作FGAB，过点E作EHCD， 则ABFGHECD，则1ABF，4DCE ，23 ， 又因为ABFDC

12、E ，所以14 ，即BFEFEC 如图所示，已知ABCD，BE平分ABC，DE平分ADC. 求证： 1 () 2 EAC . 过点E作EFAB，如图所示， ABCD，EFCD， ABEBEF，CDEFED ， DC E BA 3 2 1 S T Q R O P E DC BA F E DC BA 演练3 演练2 BEDBEFFEDABECDE ， 又BE，DE平分ABC，ADC， 1 2 ABEABC， 1 2 CDEADC， 1 () 2 BEDABCADC ， 又ABCD， ABCC ，ADCA ， 于是 1 () 2 BEDAC ，即 1 () 2 EAC （1）如图 4-1，边长为 3cm 与 5cm 的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点 为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是_（取 3） （2）如图 4-2，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为 10cm，求 阴影部分的面积 图 4-1 图 4-2 （1）连接FB，AC，则45EBFBCA ACBF， AFOBOC SS 22 11 518.75 44 ABC SSBC 阴影扇 （2）连接BD，EG，FK， 2 10 10100(cm ) DEKGFEB SS F E D CB A O 模块二 等积变形 演练4 O A BC D E F