第2讲 平行线 同步培优课程（教师版）

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1、 第第 2 2 讲讲 一一、平行线平行线 1 1平行线平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线用“/”表示 2 2平行公理平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【例】【例】如图 1，过直线a外一点A作b/a，c/a，则b与c重合 3 3平行公理推论平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 简记为：平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行 【例】例】如图 2，若b/a，c/a，则b/c 图 1 图 2 图 3 4 4平行线的性质平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等如图 3，若a/b，则 （2）两直线平行，内错角

2、相等如图 3，若a/b，则 （3）两直线平行，同旁内角互补如图 3，若a/b，则 5 5平行线的判定平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行如图 3，若，则a/b （2）内错角相等，两直线平行如图 3，若 ，则a/b （3）同旁内角互补，两直线平行如图 3，若 ，则a/b 二二、平行的构造平行的构造 1如图 4，若a/b，则 2如图 5，若a/b，则 图 4 图 5 下列说法中： 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交； 如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行； 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 正确的是

3、_ 【解析】【解析】 (c)b a A c b a b a 432 1 模块一 平行线 例题1 a b a b 【提示】【提示】这道题主要考查平行线的概念和平行公理 （1）如图 2-1，一个含有30角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若125 ，则2的度数 是（ ） A155 B135 C125 D115 （2）如图 2-2，已知AB/CD，EF分别交AB、CD于M、N，EMB，MG平分BMF，交CD于G，MGN 的度数为_ 图 2-1 图 2-2 （3）证明：三角形三个内角的和等于180 【解析】【解析】（1）D； （2）； （3）证法 1： 如右图，过ABC的顶点A作直线l/BC

4、 则B，C （两直线平行，内错角相等） 又因为BAC （平角的定义） 所以BBACC（等量代换） 即三角形三个内角的和等于 证法 2： 如右图，延长BC，过C作CE/AB， 则A（两直线平行，内错角相等） ， B（两直线平行，同位角相等） 又BCA ， BCAAB ， 即三角形三个内角的和等于180 【提示】【提示】这道题主要考查平行线的性质， （3）题证明方法老师可以自行补充， 这个结论和平行公理是等价的另 外，这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证，然后再证明，重点强调格式 （1）根据图在（ ）内填注理由： BCEF （已知） ， AB/CD（ ） ； BBED （已知） ， AB/C

5、D（ ） ； BCEB （已知） ， 例题2 例题3 l 21 CB A 2 1 D C E B A A CD B F E F E AMB CNGD AB/CD（ ） （2）已知：如图所示，ABCADC ，BF和DE分别平分ABC和ADC，AEDEDC 求证：ED/BF 证明：BF和DE分别平分ABC和ADC（已知） EDC_ADC， FBA_ABC（ ） ， 又ADCABC （已知） ， _FBA（等量代换） 又AEDEDC （已知） ， _（等量代换） ， ED/BF（ ） 【解析】【解析】（1）同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行 （2） ； ；角

6、平分线定义；EDC；AED；FBA；同位角相等，两直线平行. 【提示】【提示】 这道题主要考查平行的判定， 也通过这道题规范孩子们的书写过程， 这种题型也是各学校的必考题型 如图，已知EFBC，C ，证明：ADBC 【解析】【解析】C Q， （已知） GD/AC， （同位角相等，两直线平行） CAD （两直线平行，内错角相等） 又Q， （已知） CAD （等量代换） AD/EF， （同旁内角互补，两直线平行） ADCEFC （两直线平行，同位角相等） EFBCQ， （已知） ADC ，ADBC 【提示】【提示】平行的性质和判定结合，时间可以留长点 请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上

7、，并选择一道题目具体书写证明 （1） 如图 5-1， 已知：AB/CD， 直线EF分别交AB，CD于M，N，MG，NH分别平分AME，CNE 求证：MG/NH 从本题我能得到的结论是：_ （2） 如图 5-2， 已知：AB/CD， 直线EF分别交AB，CD于M，N，MG，NH分别平分BMF，CNE 求证：MG/NH 从本题我能得到的结论是：_ （3）如图 5-3，已知：AB/CD，直线EF分别交AB，CD于M，N，MG，NH分别平分AMF，CNE，相交于点 O求证：MGNH 例题4 例题5 A CD B F E A BCD E F G 1 2 3 从本题我能得到的结论是：_ 图 5-1 图 5

8、-2 图 5-3 【解析】【解析】（1）两直线平行，同位角的角平分线平行 （2）证明：AB/CD，BMFCNE ， 又MG，NH分别平分BMF，CNE， GMFBMFCNEHNM ，MG/NH， 从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行 （3）证明：AB/CD，AMFCNE， 又MG，NH分别平分AMF，CNE， GMFHNEAMFCNE ， MONGMFHNE ，MGNH 从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直 【提示】【提示】平行线的性质和判定相结合，练习平行线倒角 （1）如图 6-1，已知直线a/b， ， ，则等于_ （2）如图 6-2，l/l，= ，

9、则_ （3）如图 6-3，AB/CD，ABE，ECD ，则E_ 图 6-1 图 6-2 图 6-3 【解析】【解析】（1）； （2）； （3） 【提示】【提示】练习基础的平行线倒角模型：铅笔模型和猪蹄模型 3 2 1 b a E D C BA 模块二 平行线的构造 例题6 A C G E B M H N D F O A C G E B M H N D F A C G E B M H N D F l l 2 1 （1）如图 7-1，AB/CD，BAFEAF ，FCDECF ，AEC，则AFC的度数为_ （2）如图 7-2，已知：AB/CD，ABP和CDP的平分线相交于点E，ABE和CDE的平分线

10、相交于点F， BFD ，则BPD_，BED_ 图 7-1 图 7-2 【解析】【解析】（1）； （2）； 【提示】【提示】铅笔模型和猪蹄模型综合 （1）如图 8-1，AB/CD，A ，C ，则F_ （2）如图 8-2，AB/CD，E ，C ，则EAB的度数为_ 图 8-1 图 8-2 【解析】【解析】（1）； （2） 【提示】【提示】铅笔模型和猪蹄模型的变形 如图，直线AC/BD，连结AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定线上各点不属 于任何部分，当动点P落在某个部分时，连结PA、PB，构成PAC，APB，PBD三个角。 （提示：有公共 端点的两条重合的射线所组成的角是角）

11、（1）当动点P落在第部分时，求证：APBPACPBD ； （2）当动点P落在第部分时，APBPACPBD 是否成立（直接回答成立不成立）？ （3）当动点P在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应 的结论选择其中一种加以证明 E F AB P CD F D C B E A E DC BA 例题7 例题8 例题9 【解析】【解析】（1）过P点做平行线即可证明； （2）不成立，结论是APBPACPBD ； （3）过P点做平行线即可证明当P在AB左侧时PACAPBPBD ； 当P在AB右侧时PBDAPBPAC 【提示】【提示】模型的探究 如图，已知AB/CD，

12、EAFEAB ，ECFECD ，求证：AFCAEC 【解析】【解析】如右图所示，分别过点E，F做AB和CD的平行线； 易得：AECEABECD ()EAFECFEAFECF ； AFCFABFCD ()EAFECFEAFECF 即有：AFCAEC 下列结论正确的是（ ） A不相交的两条直线叫做平行线 B两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D平行于同一条直线的两条直线互相平行 【解析】【解析】D F E D B C A F E D B C A 非常挑战 复习巩固 模块一 平行线 演练1 A C BD A C BD A C P BD 如图：已知，AC ，求证

13、：AB/CD；AD/BC 证明：（ ） ， _（ ） ， CCBE （ ） ， 又CA （ ） ， A_（ ） ， _（ ） 【解析】【解析】已知；AB，CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE；等量代换；AD， BC；同位角相等，两直线平行 如图，已知BAPAPD，那么E与F相等吗？说明理由 【解析】【解析】BAPAPD（已知） ， AB/CD（同旁内角互补，两直线平行) BAPCAP （两直线平行，内错角相等)， 又（已知） ， BAPCAP （等式的性质） ， 即EAPAPF（等量代换） ， AE/PF（内错角相等，两直线平行） ， EF（两直线平行，内错角相等

14、） 如图，A，B，C和D，E，F分别在同一直线上，AF分别交CE，BD于点G，H已知CD ，EGFBHA 求 证：AF 【解析】【解析】EGFBHA ，EGFAGC ， BHAAGC ， CE/BD， CABD ， 又CD ， ABDD， DF/AC， AF （1）如图 4-1，a/b，M、N分别为a、b上，P为两平行线间一点，则_ 演练2 演练3 演练4 演练5 A B E F CD P A DEF ABC H G A DC BE （2）如图 4-2，AB/CD，B，EFD ，则BEF_ （3）如图 4-3，已知AB/CD，点F在其外部，则_ 图 4-1 图 4-2 图 4-3 【解析】【解析】（1）； （2）； （3） 如图所示，直线l/l，ABl，垂足为O，BC与l相交于点E，若 ，求的度数 【解析】【解析】 如图，AB/DE，ABC ，CDE，求C的度数 【解析】【解析】如图，过点C作CF/AB， ABC ，BCF ， 又AB/DE， CF/DE， DCFCDE ， BCDBCFDCF 14题 3 2 1 M P N b a 12题 2 3 1 CB A a b 演练6 演练7 A O l 2 l B E C A CD B F EG H AB DE C F AB DE C