第5讲 平面直角坐标系 同步培优课程（教师版）

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1、 第第 5 5 讲讲 模块一：平面直角坐标系的概念模块一：平面直角坐标系的概念 1 1有序数对：有序数对： 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作( , )a b 注意： 有序数对是有顺序的， 可以准确地表示出平面内一个点的位置，( , )a b和( , )b a表示的意义是不同的 2 2平面直角坐标系：平面直角坐标系： 两条互相垂直的共原点数轴组成水平的数轴叫做横轴（x轴） ，取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y 轴） ，取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点 注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同 3 3点的坐标：点的坐标： 如下图，由点P分别向

2、x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点 P的坐标为( , )a b，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标 4 4象限和坐标轴：象限和坐标轴： （1）第一象限内的点( , )x y的坐标满足： 0 x，0y ； （2）第二象限内的点( , )x y的坐标满足： 0 x，0y . （5）x轴上的点( , )x y的坐标满足：0y ； （6）y轴上的点( , )x y的坐标满足：0 x ； 注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限 5 5坐标系中的特殊直线坐标系中的特殊直线： （1）与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为ym； （2）与y轴平行的直线：

3、所有点的横坐标都相等，即直线为xn （3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为xy； （4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为xy 6 6点到特殊直线的距离：点到特殊直线的距离： （1）点( , )a b到x轴的距离为|b；到直线ym（m为常数）的距离为|bm； （2）点( , )a b到y轴的距离为|a；到直线xn（n为常数）的距离为|an 模块二：平面直角坐标系中点的变换模块二：平面直角坐标系中点的变换 1 1坐标系中的平移：坐标系中的平移： （1）将点( , )x y向右（或向左）平移a个单位可得对应点(, )xa y或(, )xa y （2）将点( ,

4、)x y向上（或向下）平移b个单位可得对应点( ,)x yb或( ,)x yb 总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减 2 2坐标系中的对称：坐标系中的对称： （1）点( , )P a b关于x轴的对称点是( ,)P ab，即横坐标不变，纵坐标互为相反数 （2）点( , )P a b关于y轴的对称点是(, )Pa b，即纵坐标不变，横坐标互为相反数 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数 （3）点( , )P a b关于坐标原点的对称点是(,)Pab，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数 （4）点( , )P a b关于点( ,

5、)Q m n的对称点是(2, 2)Pmanb （5）点( , )P a b关于xm的对称点是(2, )Pma b （6）点( , )P a b关于yn的对称点是( , 2)P anb （7）点( , )x y关于一三象限的平分线的对称点为( , )y x b a B P A O y x （8）点( , )x y关于二四象限的平分线的对称点为(,)yx 模块三：两个公式模块三：两个公式 （1）中点公式：若 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy，则AB中点C坐标为： 1212 , 22 xxyy ； （2）两点距离公式：已知两点： 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy，则

6、2 2 1212 ()ABxxyy （都可以由这两个点来构造直角三角形进行推导，中点公式用中位线，距离公式用勾股定理推导） （1）点(1, 2)aa在第一象限，则a的范围为_ （2）已知点(2, 21)aa在第二象限，则点(2, 25 )aa在第_象限 （3）已知点(3,1)aa在第三象限且它的坐标都是整数，则该点的坐标_ （4）点(3,1)mm，若在x轴上，则该点坐标为_；若在y轴上，则该点坐标为_ （5）已知点(2,3 )A ab在第一象限，点(4,3)Ba b在第四象限，若a，b都为整数，则2ab_ 【解析】【解析】（1）12a ； （2）四； （3）13a，2a ，点的坐标为( 1,1

7、)； （4）(4, 0)，(0, 4)； （5）7 或 8 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查四个象限和坐标轴上点的横纵坐标的关系 （1）点(2 ,3)Px x 在第一象限坐标轴夹角平分线上，那么点(2, 23)Qxx 的坐标为_ （2）已知点(35,53)A aa在第二、四象限的角平分线上，则 2009 aa的值为_ （3）已知点(23)Px x，在坐标轴夹角平分线上，则点(2 23)Qxx ，的坐标为_ （4）过点(3,5)且与x轴平行的直线是_，与y轴平行的直线是_ （5）线段AB的长度为 3 并且平行于x轴，已知点A坐标为(25)，则点B的坐标为_ （6） 若过点P和点(3,

8、2)A的直线平行于x轴， 过点P和( 1,2)B 的直线平行于y轴， 则点P的坐标为_ 【解析】【解析】（1）1 9Q （， ）； （2）2；（3）(3,1)或( 1,9)；（4）5y ，3x ； （5）( 15)，或(55)，； （6）( 1 2) , 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查平面直角坐标系中特殊的直线 模块一 平面直角坐标系的概念 例题1 例题2 （1）点( 3 4)A ，到横轴的距离为_，到纵轴的距离为_ （2）点A到x轴的距离为 1，到y轴的距离为 3，该点坐标为_ （3）若x轴上的点P到y轴的距离为 3，则点P坐标为（ ） A(3 0)， B(3 0)，或( 3,

9、0) C(0,3) D(0,3)或( 3, 0) （4）点(3,1)A到直线1x 的距离为_，到直线1y 的距离为_ （5）在平面直角坐标系中，点()P a b，到直线2x 的距离为 3，则a的值为（ ） A5 B1 C5 或1 D5或 1 （6）点(21,1)Maa到直线1y 的距离为 1，求M的坐标 【解析】【解析】（1）4，3； （2）(3,1)、(3,1)、( 3,1)、( 3,1)； （3）B； （4）4，2； （5）C； （6）|(1)1| 1a，1a ，点M的坐标为(3, 0)或( 1, 2) 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查点到特殊直线的距离 （1）在一三象限的角平分

10、线上有一点到x轴距离为 2，则该点坐标为_ 在二四象限的角平分线上有一点到x轴距离为 4，则该点坐标为_ （2）已知点(1,34)mm到x轴、y轴的距离相等，那么该点坐标为_ 【解析】【解析】（1）(2, 2)或( 2,2)；( 4, 4)或(4,4)； （2） 11 , 22 或 11 , 44 【教师备课提示教师备课提示】这样的题对孩子们刚开始学的时候还是容易弄混的，相对较综合，考查角平分线上点，需多 练习 （1）点( 2, 2)A 向上平移3个单位，再向右平移5个单位得到点 A ，点 A 的坐标为_ （2）点( , )A m n向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到点(2,3) A ，

11、则A的坐标为_ 例题3 例题4 模块二 平面直角坐标系中点的变换 例题5 （3）在平面直角坐标系中有一个已知点A，现在x轴向下平移 3 个单位，y轴向左平移 2 个单位，单位长度不 变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A的坐标为( 1, 2)，在旧的坐标系下，点A的坐标为_ 【解析】【解析】（1）(3,5)； （2）(3,5)； （3）( 3,1) 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查点的上下左右平移 （1）如图 6-1，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左、右眼睛的 坐标分别是( 4 2) ，( 2 2) ，右边图案中左眼的坐标是3 4（， ），则右

12、边图案中右眼的坐标是_ （2）如图，把图 6-2 中的A经过平移得到O（如图 6-3） ，如果图 6-2 中A上一点P的坐标为()m n，那 么平移后在图 2 中的对应点 P 的坐标为_ 图 6-1 图 6-2 图 6-3 【解析】【解析】（1）左眼坐标由( 4 2) ，变为3 4（， ），由此可知由左图得到右图是向上平移 2 个单位，向右平移 7 个单 位，从而得到右眼平移后的坐标为5 4（， ） （2）(21mn，）；A向右平移2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度得到O 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查整个图形的平移，则所有点的平移规律都是一样的 （1）点35P（， ）关于x

13、轴对称的点的坐标为（ ） A( 35)， B(5 3)， C( 3 5) ， D(3 5)， （2）点( 2,1)P 关于y轴对称的点的坐标为（ ） A( 21)， B(2 1)， C(21)， D( 2 1) ， （3）在平面直角坐标系中，点(2,3)P关于原点对称点P的坐标是_ 【解析】【解析】（1）D； （2）B； （3）( 2 3) ， 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查基本的关于x轴、y轴和原点的对称 （1）已知点()P x y，的坐标满足方程 2 |1| (2)0 xy，则点P关于x轴的对称点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 -2 -1 4 321-

14、1-2-3 1 2 3 Ox y x y O 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 -3 -2 -1 P A 图1 -1 -2-3 -3 -2 -1 1 2 3 321 O y x P 图2 例题6 例题7 例题8 （2）点 1( ,3) P a和点 2( 2, ) Pb关于y轴对称，则a _，b _ （3） （嘉祥半期）在直角坐标系中，已知点( 3 2)P ，点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移 4 个单 位得到点R，则点R的坐标是_ （4）已知点(1, 21)P aa关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围 （5）点(2 3)P ，关于直线3x 的对称点为_，关于直线5y 的对

15、称点为_ 【解析】【解析】（1）C； （2）2，3； （3）(1,2)； （4） 1 1 2 a ； （5）(4,3)，(2, 7) 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查点的对称，相对要综合 如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线 （1）实验与探究：由图观察易知(2,0)A关于直线l的对称点A的坐标为(0 2)，请在图中分别标明；(5 3)B ， ( 2 5)C ，关于直线l的对称点 B 、 C 的位置， 并写出他们坐标： B _， C _ （2）归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任 一点()P a b，关于第一、 三象限的角平分线l的对称点

16、P的坐标为_ （不 必证明） 【解析】【解析】（1）(3,5) B ，(5,2) C ； （2）( , )b a 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查关于一三象限的角平分线的对称点，建议老师讲解时带着孩子做这道题时总 结（顺便提及一下二四象限的角平分线的对称点情况） （1）在平面直角坐标系中，点(2 4)P，到原点的距离是_ （2）在同一直角坐标系中，点A坐标(21),、点B坐标( 3,4)，则线段AB的长度为_ （3）若点( 1, 4)A 、(3 2)B ,，则线段AB的中点坐标是_ （4）线段AB的中点坐标(1, 4)C，且已知( 3,3)A ，则点B坐标是_ 例题9 模块三 两个公

17、式 例题10 C B A A -1 -2 -3 -3 -2 -1O y x 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 l （5）点( 2,3)关于点(1, 2)对称的点是 （6）已知点(1,5)M，点( 3 1)N ，则线段MN的中点到原点的距离为_ 【解析】【解析】（1）52； （2）34； （3）(1 3)，； （4）(5,5)； （5）(4 1)，； （6）10 【教师备课提示教师备课提示】主要记住两点间距离公式和中点坐标公式两个公式都可以由已知的两个点构造直角三角形 进行推导，中点公式用三角形中位线，距离公式用勾股定理推导 （1）点(22,1)aa在第一象限，则a的取值范围是_

18、（2）在直角坐标系中，点(26,5)Pxx在第四象限，则x的取值范围是_ （3）点 22 (1,1)aa在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解析】【解析】（1）11a ； （2）35x； （3）B （1）已知 2 |2| (3)0 xy，则( , )P x y的坐标为_，在第_象限 （2）如果点(1,1)Mxy在第二象限，那么点(1,1)Nx y在第_象限 （3）已知点()A m n，在第二象限，则点(|,)B mn在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （4）已知点(2 ,1)a a在y轴上，则该点坐标为_ 【解析】【解析】（1）(23)P，在第四象

19、限； （2）三； （3）D； （4）(0 1)， 复习巩固 模块一 平面直角坐标系的概念 演练1 演练2 演练3 （1）若点 11 3 A m ,在第二象限的角平分线上，则m _ （2）点 1 2, a 在第三象限的角平分线上，则a _ （3）若点M在第一、三象限的角平分线上，且点M到x轴的距离为 2，则点M的坐标是（ ） A(2 2)， B( 2,2) C(2 2)，或( 2,2) D(2, 2)或( 2, 2) （4）点A的坐标为(31)，点B的坐标为(3 3)，则线段AB所在的直线与x轴的位置关系是_ （5）已知：(4,0)A，点C在x轴上，且5AC 则点C的坐标为_ （6）已知：点A坐

20、标为(2,3)，过A作AB/x轴，则B点纵坐标为（ ） A2 B3 C1 D无法确定 【解析】【解析】（1）3； （2） 1 2 ； （3）C； （4）垂直； （5）( 1,0)或(9, 0)； （6）B （1）点( 5 4)P ，到x轴距离为_，到y轴距离为_ （2）若点()P a b，到x轴的距离是 2，到y轴的距离是 3，则这样的点P有（ ） A1 个 B4 个 C3 个 D2 个 （3）已知点(2,36)Paa，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是_ （4）点( 2,3)到直线2y 的距离为_，到直线7x 的距离为_ （5）如果点M在第三象限，且点M到x轴距离为 3，到y轴的距离

21、为 4，求点M的坐标 （6）如果点M到x轴距离为 3，到y轴的距离为 4，求点M的坐标 【解析】【解析】（1）4，5； （2）B； （3）(3 3)，或(66)，； （4）1，5； （5）( 43)，； （6）(4 3)，( 4 3) ,，( 4, 3)，(4,3) （1）将点( 4,3)P 先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后，则得到点 P 的坐标为（ ） A( 2, 2) B( 6,2) C( 6, 4) D( 2 4) , 演练4 模块二 平面直角坐标系中点的变换 演练5 （2）点A向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位到点( 1 3) ,，则点A的坐标为_ （3） 在

22、平面直角坐标系中， 将三角形各点的纵坐标都减去 3， 横坐标保持不变， 所得图形与原图形相比 （ ） A向右平移了 3 个单位 B向左平移了 3 个单位 C向上平移了 3 个单位 D向下平移了 3 个单位 【解析】【解析】（1）D； （2）(2 4)，； （3）D （1）在平面直角坐标系中，点(2 5)A ,与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ） A( 5,2) B( 2,5) C( 2,5) D(2,5) （2）已知点( , )P x y，( , )Q m n，如果0 xm，0yn，那么点P，Q（ ） A关于原点对称 B关于x轴对称 C关于y轴对称 D关于yx对称 （3）已知： 2 |1|

23、 (2)0 xy，则( , )x y关于原点对称的点为_ （4）已知点(3 ,3)P ab与点( 5,2 )Qab关于x轴对称，则a _，b _ 【解析】【解析】（1）； （2）A； （3）( 1 2) ，； （4）1a ，2b ； （5）由 35 23 ab ab ，解得 1 2 a b （1）在直角坐标系中，点C坐标(3,2)，点D坐标( 2,3)，则线段CD的长度为_ _ （2）在平面直角坐标系中，点A坐标( 2,3)，点B坐标( 1 6) ,；若点C与点A关于y轴对称，则点B与点C之 间的距离是_ （3）若点( 3, 2)M ，(5, 7)N，则线段MN的中点坐标是_ （4）已知点(1,5)A，点( 3,1)B ，点C与点A关于x轴对称，点M为线段AC的中点，则点M到点B的距离为 _ 【解析】【解析】（1）26； （2）23； （3） 9 (1,) 2 ； （4）17 演练6 模块三 两个公式 演练7