第8讲 含参方程组和不等式 同步培优课程（教师版）

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1、第第 8 8 讲讲 含参方程（组）和不等式含参方程（组）和不等式 模块一模块一 含参方程（组）的题型含参方程（组）的题型 1同解问题 2整数解问题 3错解问题 模块二模块二 含参方程（组）的基本解法含参方程（组）的基本解法 1 1含参含参方程方程和和含参方程组含参方程组 当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，这些字母系数称为参数，因此也叫 做含参数的方程，简称含参方程由至少一个含参方程组成的方程组叫做含参方程组 2 2含参一元一次方程含参一元一次方程 含参的一元一次方程总能化成axb的形式，方程axb的解根据a，b的取值范围分类讨论 当0a 时，方程有唯一解 b x a ；

2、 当0a ，且0b 时，方程有无数个解，解是任意数； 当0a ，且0b 时，方程无解 3 3含参二元一次方程组含参二元一次方程组 对于方程组 111 222 a xb yc a xb yc ，需要先通过消元转化为一元方程后再对解的情况进行讨论 当 11 22 ab ab 时，方程有唯一解； 当 111 222 abc abc 时，方程有无数个解； 当 111 222 abc abc 时，方程无解 模块三模块三 含参不等式的基本解法含参不等式的基本解法 1 1含参含参不等式不等式axb 当0a ，解集为 b x a ； 当0a ，解集为 b x a ； 当0a ，若0b ，则解集为任意数；若0b

3、，则这个不等式无解 （1）已知关于x的方程 1 (1)1 2 xk 和 351 1 48 xkx 的解相同，则k的值为_ 模块一 含参方程（组）的题型 例1 （2）关于x，y的方程组 35 4522 xy axby 与 234 8 xy axby 有相同的解，则()ba_ （1）两个方程的解分别为21xk和72xk， 由于两个方程的解相同，有1272kk ，解得2k （2）8 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查含参方程（组）的同解问题 （1） （2014 石室联中期末）关于x的方程 3 876 4 xkx的解比关于x的方程 1 1 23 xx 的解大 3，则k 的值为_ （2）（西

4、川半期） 已知关于x、y的二元一次方程组 323 221 yxk yxk 的解满足6xy， 则k的值为 （1） 3 876 4 xkx的解为 283 8 k x ， 1 1 23 xx 的解为3，所以 283 0 8 k ， 3 28 k （2）解方程得： 94 7 51 7 k x k y ，代入，求得：32k 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查已知方程根的情况，求参数的值 （1） （树德期末）当方程组 25 20 xay xy 的解是正整数时，整数a的值为 （2）m为正整数，已知二元一次方程组 210 320 mxy xy 有整数解，则 2 m _ （1）解方程得： 10 4

5、5 4 x a y a ， 41,2,5,10a；41,5a3a 或 1. 例2 例3 （2）解方程得： 10 3 15 3 x m y m ， 35,10m；35,15m得2m ， 2 4m 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查含参方程（组）的整数解问题 （1）解方程组 8 7 axy xby 时，由于粗心，小宝看错了方程组中的a，得到解为 3 5 x y ，小茹看错了方程组 中的b，得到解为 1 10 x y 求方程正确的解 （2）已知方程组 16 20224 axby cxy 的解应为 8 10 x y ，小超解题时把c抄错了，因此得到的解为 12 13 x y ， 则 22

6、abc的值为_ （1）小宝看错了a意味着b是正确的，即解满足方程第二式，代入得357b ； 小茹看错了b意味着a是正确的，即满足方程第一式，代入得108a 解得 2 2 a b ，所以 3 2 x y （2） 222 34abc 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查含参方程（组）的错解问题 （1）解关于x的方程：428axx （2）当a、b满足什么条件时，方程251xabx 满足：有唯一解；有无数解；无解 （1）原方程可化为(2)12ax 当2a 时，方程有唯一解 12 2 x a ； 当2a 时，有012，方程无解 （2）方程化为(2)4b xa， 有唯一解时，20b，即2b 有无

7、数解时，20b，40a ，42ab ， 无解时，2040ba，24ba ， 例4 模块二 含参方程（组）的基本解法 例5 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查含参方程的基本解法 （1） （2014 成外期末）已知关于x的方程(23)3125axbxx有无数多个解，则a _，b _ （2）若a、b为定值，关于x的一元一次方程 2 2 36 kxaxbk ，无论k为何值时，它的解总是1x ，求 23ab的值 （1）原方程整理为(2312)53abxa， 则由题意得， 23120 530 ab a ，解得 5 3 26 9 a b ； （2）方程 2 2 36 kxaxbk 可化为：(41

8、)212kxabk， 由该方程总有解1x 可知，41212kabk ，即(4)132b ka， 又k为任意值，故 40 1320 b a ，解得 13 2 4 a b ，231ab 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查已知解的情况，求参数的值 求k，b为何值时，方程组 (31)2 ykxb ykx 的解满足：有唯一一组解；无解；有无穷多组解 方程组可化为：(21)2kxb， 当，即时， 方程(2 1)2kxb 有唯一解，从而原方程组有唯一解； 当且，即且时， 方程(2 1)2kxb 无解，从而原方程组无解； 当210k 且20b，即 1 2 k 且2b 时， 方程212kxb有无数个

9、解，从而原方程组有无数组解 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查含参方程组的基本解法 210k 1 2 k 210k 20b 1 2 k 2b 例6 例7 模块三 含参不等式的基本解法 解关于x的不等式： （1）13kx （2）132kxx （3） 2 (1)2mx （4）36mxnx （1）移项得：2kx 当0k 时，解集为 2 x k 当0k 时，解集为 2 x k 当0k 时，不等式变为02x，故不等式无解 （2）移项，合并同类项得：(3)3kx 当30k ，即3k 时，不等式解集为 3 3 x k 当30k ，即3k 时，不等式解集为 3 3 x k 当30k 时，即3k 时

10、，不等式变为03x ，故不等式解集为任意数. （3） 2 10m ，不等式解集为 2 2 1 x m （4）不等式变形得：()9mn x ，因不知()mn的正负性，故分类讨论 当0mn，即mn时，解集为 9 x mn 当0mn，即mn时，解集为 9 x mn 当0mn，即mn 时，不等式无解. （1）若关于x的方程 5 34 2 xx和 1 25 24 a xaxx有相同的解，则a的值为_ （2）若关于x的方程()40km x和(2)10km x 有相同的解，则2 k m 的值_ （3） （石室联中期末，B26）若方程组 237 6 xy axby 与方程组 4 453 axby xy 有相同

11、的解，求102ab. 例8 模块一模块一 含参方程（组）的题型含参方程（组）的题型 演练1 （1）方程 5 34 2 xx的解为8x ， 把8x 代入 1 25 24 a xaxx中，求得 1 2 a （2）法一：方程()40km x的解为 4 x km ， 方程(2)10km x 的解为 1 2 x km ， 41 2kmkm ，3mk， 5 2 3 k m . 法二：方程(2)10km x 等号两边乘以4得(48 )40mk x， 故48kmmk，则 5 2 3 k m （3）由 237 453 xy xy 得： 2 1 x y ， 代入： 26 24 ab ab ，可求得： 5 2 1

12、a b 10227ab （1）当a 时，方程组 352 2718 xya xya 的解互为相反数，此时方程组的解为 （2）若关于x、y的方程组 36 4 xmy xy 的解都是正整数，则整数m （3）甲、乙二人同解方程组 2 32 axby cxy ，甲正确解得 1 1 x y ，乙因抄错了c，解得 2 6 x y ，求a，b，c 的值 （1） 0 xy ，上述方程组化简为 82 518 ya ya ， 18 45 aa y ，解之得8a ， 于是 2 4 a y ， 25 2 3 ay x ， 故8a 时，方程组的解为 2 2 x y （2）3，0，1 （3） 5 2 a ， 1 2 b ，

13、5c . 演练2 解关于x的方程(3)(3)(3)49m xnmnn 去括号，化简可得：mxn. 当0m 时，方程的解为 n x m . 当00mn，时，方程的解为任意数. 当00mn，时，方程无解. 如果关于x的方程 2(3)15(23) 326 kxx 有无数个解，求k的值 原方程整理得(410)0kx， 由方程有无数个解得4100k ， 5 2 k 已知关于x、y的方程组 36 24 xmy xya ，求m，a为何值时方程组： （1）无解； （2）有无穷解 将m，a视为参数求解方程组得到3 ：(6)6 12mya . （1）方程组无解，即无解，无解的条件为：60m ，6120a. 6m ， 1 2 a . 此时y无解，自然22xy亦无解. （2）方程组有无穷解，即有无穷解，有无穷解的条件为：60m ，6120a. 6m ， 1 2 a .此时y有无穷解，自然22xy亦有无穷解. 模块二模块二 含参方程含参方程（组）的基本解法（组）的基本解法 演练3 演练4 演练5 模块三模块三 含参不等式的基本解法含参不等式的基本解法 演练6 已知(21)1mx的解集是 1 21 x m ，求m的取值范围 1 2 m