专题25 二次函数综合练习题-2021年中考数学几何专项复习(教师版含解析)
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1、二次函数综合练习题二次函数综合练习题 1 在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P 的横坐标和纵坐标相等,则称点 P 为完美点已知二次函数 y ax2+4x+c(a0)的图象上有且只有一个完美点(,),且当 0 xm 时,函数 yax2+4x+c(a0)的 最小值为3,最大值为 1,则 m 的取值范围是( ) A1m0 B2m C2m4 Dm 【解答】C 【解析】令 ax2+4x+cx,即 ax2+3x+c0, 由题意,324ac0,即 4ac9, 又方程的根为, 解得 a1,c, 故函数 yax2+4x+cx2+4x3, 如图,该函数图象顶点为(2,1),与 y 轴交点为(0,3),由对称性,
2、该函数图象也经过点(4,3) 由于函数图象在对称轴 x2 左侧 y 随 x 的增大而增大,在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小,且当 0 xm 时,函数 yx2+4x3 的最小值为3,最大值为 1, 2m4, 故选:C 2 已知抛物线 yax2+bx+3 在坐标系中的位置如图所示,它与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B,点 P 是其 对称轴 x1 上的动点,根据图中提供的信息,给出以下结论:2a+b0;x3 是 ax2+bx+30 的一个 根;PAB 周长的最小值是其中正确的是( ) A仅有 B仅有 C仅有 D 【解答】D 【解析】根据图象知,对称轴是直线,则 b2a,即 2a+b0 故正
3、确; 根据图象知,点 A 的坐标是(1,0),对称轴是 x1,则根据抛物线关于对称轴对称的性质知,抛物线 与 x 轴的另一个交点的坐标是(3,0),所以 x3 是 ax2+bx+30 的一个根,故正确; 如图所示,点 A 关于 x1 对称的点是 A,即抛物线与 x 轴的另一个交点 连接 BA与直线 x1 的交点即为点 P, 则PAB 周长的最小值是(BA+AB)的长度 B(0,3),A(3,0), BA即PAB 周长的最小值是 故正确 综上所述,正确的结论是: 故选:D 3 如图,抛物线交 x 轴于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),交 y 轴于点 C,分别过 点 B,C 作 y 轴,
4、x 轴的平行线,两线交于点 D,将BDC 绕点 C 逆时针旋转,使点 D 旋转到 y 轴上得到 FEC,连结 BF在线段 BC 上存在点 P,使得以点 P,A,B 为顶点的三角形与BOC 相似,则点 P 的坐 标为 【解答】(2,1)或(,) 【解析】20 整理得,x26x+80, 解得,x12,x24, 当 x0 时,y2, 则点 A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(4,0),点 C 的坐标为(0,2) OA2,OB4,OC2, 则 AB2, 如图,作 APx 轴交 BC 于 P, 当BAPBOC 时,即, 解得,AP1, 点 P 的坐标为(2,1); 如图,作 APBC 于 P,作
5、PQAB 于 Q, 当BAPBCO 时,即, 解得,BP, PQAB,BOC90, BQPBOC, ,即, 解得,QP,BQ, OQOBBQ, 点 P的坐标为(,), 综上所述,以点 P,A,B 为顶点的三角形与BOC 相似,点 P 的坐标为(2,1)或(,), 故答案为:(2,1)或(,) 4 如图,已知抛物线经过原点 O,顶点为 A(1,1),且与直线 yx2 交于 B,C 两点,若点 N 为 x 轴上 的一个动点, 过点 N 作 MNx 轴与抛物线交于点 M, 若存在以 O, M, N 为顶点的三角形与ABC 相似 请 求出点 N 的坐标 【解答】(,0)或(,0)或(1,0)或(5,0
6、) 【解析】设抛物线的解析式为:ya(x1)2+1, 抛物线经过原点, a(01)2+10, 解得,a1, 则抛物线的解析式为:y(x1)2+1x2+2x, ,解得, 点 B 的坐标为(2,0),点 C 的坐标为(1,3), , AC2AB2+BC2, ABC90, 设点 N 的坐标为(n,0),则点 M 的坐标为(n,n2+2n), 当ONMABC 时,即, 解得,n11,n25, 当ONMCBA 时,即, 解得, 综上所述,点 N 的坐标为(,0)或(,0)或(1,0)或(5,0), 故答案为:(,0)或(,0)或(1,0)或(5,0) 5 已知抛物线 yax22ax+c(a0)的图象过点
7、 A(3,m) (1)当 a1,m0 时,求抛物线的顶点坐标 ; (2)如图,直线 l:ykx+c(k0)交抛物线于 B,C 两点,点 Q(x,y)是抛物线上点 B,C 之间的一个动点,作 QDx 轴交直线 l 于点 D,作 QEy 轴于点 E,连接 DE设QED,当 2x4 时, 恰好满足 30 60,a 【解答】 【解析】(1)当 a1,m0 时,yx2+2x+c,A 点的坐标为(3,0), 9+6+c0 解得 c3 抛物线的表达式为 yx2+2x+3 即 y(x1)2+4 抛物线的顶点坐标为(1,4), 故答案为:(1,4) (2)点 Q(x,y)在抛物线上, yax22ax+c 又QD
8、x 轴交直线 l:ykx+c(k0)于点 D, D 点的坐标为(x,kx+c) 又点 Q 是抛物线上点 B,C 之间的一个动点, QDax22ax+c(kx+c)ax2(2a+k)x QEx, 在 RtQED 中, tan 是关于 x 的一次函数, a0, tan 随着 x 的增大而减小 又当 2x4 时, 恰好满足 3060,且 tan 随着 的增大而增大, 当 x2 时,60;当 x4 时,30 ,解得, 故答案为: 6 如图,抛物线 yx22x+a(a0)与 y 轴相交于 A 点,顶点为 M,直线分别与 x 轴、y 轴 相交于 B、C 两点,并且与直线 MA 相交于 N 点 (1)若直线
9、 BC 和抛物线有两个不同交点,求 a 的取值范围,并用 a 表示点 M、A 的坐标; (2)将NAC 沿 y 轴翻折,若点 N 的对称点 N恰好落在抛物线上,AN与抛物线的对称轴相交于点 D,连 接 CD,求 a 的值及NCD 的面积; (3)在抛物线上是否存在点 P,使得以 P、A、C、N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点 P 的坐 标;若不存在,请说明理由 【解答】(1)A(0,a),M(1,1+a);(2),NCD 的面积(3)点 P和 P时,A、 C、P、N 能构成平行四边形 【解析】(1)由题意得,整理得 2x2+5x4a0, 25+32a0,解得, a0, 且 a0,
10、令 x0,得 ya, A(0,a), yx22x+a(x+1)2+1+a, M(1,1+a) (2)设直线 MA 的解析式为 ykx+b(k0), A(0,a),M(1,1+a), ,解得, 直线 MA 的解析式为 yx+a, 联立得,解得, N, 点 N是点 N 关于 y 轴的对称点, N, 将点 N的坐标代入 yx22x+a 得,解得或 a0(舍去), A,C,M,|AC|, SNCDSNACSADC|AC|xN|AC|x0| (31) ; (3)如图,当点 P 在 y 轴左侧时, 四边形 APCN 是平行四边形, AC 与 PN 互相平分, ; 将点 P 的坐标代入 yx22x+a 得,
11、解得或 a0(舍), P; 当点 P 在 y 轴右侧时, 四边形 ACPN 是平行四边形, NPAC 且 NPAC, N,A(0,a),C(0,a), P; 将点 P的坐标代入 yx22x+a 得,解得或 a0(舍), P; 综上所述,当点 P和 P时,A、C、P、N 能构成平行四边形 7 如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴交于 A(3,0)、B(1,0)两点,与 y 轴交于点 C,抛物线的顶点 为 D (1)求 a、b 之间的数量关系; (2)求 SADC:SABC的值; (3)以 OA 为直径作E,若ACD90,问:在 y 轴左侧的抛物线上是否存在点 P,过点 P 作 x
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