专题22 正方形存在性问题巩固练习(基础)-2021年中考数学几何专项复习(教师版含解析)
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1、正方形存在性问题巩固练习正方形存在性问题巩固练习(基础基础) 1 如图,在直角梯形 ABCD 中,ADBC,B90,AD24 厘米,AB8 厘米,BC30 厘米,动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以每秒 1 厘米的速度运动,动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B 以每秒 3 厘米的速度 运动,P,Q 分别从点 A、C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动设运动时间为 t 秒 (1)当 t 在什么时间范围时,CQPD? (2)存在某一时刻 t,使四边形 APQB 是正方形吗?若存在,求出 t 值;若不存在,请说明理由 【解答】(1)当 6t10 时,CQPD;(2)不
2、存在 【解析】(1)CQ3t,24t, 由 CQPD 有 3t24t,解得 t6 又P、Q 点的运动时间只能是 30310(s), 6t10,即当 6t10 时,CQPD (2)若四边形是正方形,则 APAB 且 BQAB, 1t8 且 303t8, 显然无解,即不存在 t 的值使得四边形 APQB 是正方形 2 如图,在矩形 ABCD 中,AB16cm,AD6cm,动点 P、Q 分别从 A、C 同时出发,点 P 以每秒 3cm 的速度向 B 移动,一直达到 B 止,点 Q 以每秒 2cm 的速度向 D 移动 (1)P、Q 两点出发后多少秒时,四边形 PBCQ 的面积为 36cm2? (2)是
3、否存在某一时刻,使 PBCQ 为正方形?若存在,求出该时刻;若不存在,说明理由 【解答】(1)P、Q 两点出发后 4 秒时,四边形 PBCQ 的面积为 36cm2;(2)不存在 【解析】(1)设 P、Q 两点出发 t 秒时,四边形 PBCQ 的面积为 36cm2 由矩形 ABCD 得BC90,ABCD, 所以四边形 PBCQ 为直角梯形, 故 S梯形PBCQ(CQ+PB)BC又 S梯形PBCQ36, 所以(2t+163t)636,解得 t4(秒); (2)不存在因为要使四边形 PBCQ 为正方形,则 PBBCCQ6, 所以 P 点运动的时间为秒,Q 点运动的时间是 3 秒, P、Q 的时间不一
4、样,所以不存在该时刻 3 如 图 , 正 比 例 函 数y ax与 反 比 例 函 数(x 0) 的 图 象 交 于 点 (1)求这两个函数的表达式; (2)如图 1,若AMB90,且其两边分别于两坐标轴的正半轴交于点 A、B求四边形 OAMB 的面积 (3)如图 2,点 P 是反比例函数(x0)的图象上一点,过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 E、F, PF 交直线 OM 于点 H,过作 x 轴的垂线,垂足为 G 设点 P 的横坐标为 m, 当时, 是否存在点 P, 使得四边形 PEGH 为正方形?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由 【解答】(1)yx,;(2)6;
5、(3)P(,) 【解析】(1)将点分别代入 yax 与得: , 解得:a1,k6 这两个函数的表达式分别为:yx, (2)如图,过点 M 分别做 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 C、D 则MCAMDB90,AMCBMD90AMD,MCMD, AMCBMD, S四边形OCMDS四边形OAMB6 (3)设 P 点坐标为(x,),则 PEHGGE,OEx, MOE45, OGGH, OEOG+GH, x, 解得 x, P 点坐标为(,) 4 如图, 在平面直角坐标系中 RtAOBRtCDA, 且 A(1, 0), B(0, 2)抛物线 yax2+ax2 经过点 C (1)求抛物线的解析式; (2)
6、在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点 P、 Q, 使四边形 ABPQ 为正方形?若存在, 求点 P、 Q 的坐标; 若不存在,请说明理由 【解答】(1)yx2+ x2;(2)P(2,1)、Q(1,1) 【解析】(1)由 RtAOBRtCDA,得 OD2+13,CD1 C 点坐标为(3,1), 抛物线经过点 C, 1a(3)2+a(3)2, a, 抛物线的解析式为 yx2+ x2; (2)在抛物线(对称轴的右侧)上存在点 P、Q,使四边形 ABPQ 是正方形 以 AB 为边在 AB 的右侧作正方形 ABPQ,过 P 作 PEOB 于 E,QGx 轴于 G,可证PBEAQG BAO, PEAGB
7、O2,BEQGAO1, P 点坐标为(2,1),Q 点坐标为(1,1) 由(1)抛物线 yx2+ x2, 当 x2 时,y1;当 x1 时,y1 P、Q 在抛物线上 故在抛物线(对称轴的右侧)上存在点 P(2,1)、Q(1,1),使四边形 ABPQ 是正方形 5 已知:t1,t2是方程 t2+2t240 的两个实数根,且 t1t2,抛物线 yx2+bx+c 的图象经过点 A(t1, 0),B(0,t2) (1)求这个抛物线的解析式; (2)设点 P(x,y)是抛物线上一动点,且位于第三象限,四边形 OPAQ 是以 OA 为对角线的平行四边形,求平 行四边形 OPAQ 的面积 S 与 x 之间的
8、函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,当平行四边形 OPAQ 的面积为 24 时,是否存在这样的点 P,使平行四边形 OPAQ 为正方 形?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,说明理由 【解答】(1)yx2+ x+4;(2)S4(x+)2+25(6x1);(3)不存在 【解析】(1)t2+2t240,(t+6)(t4)0,t16,t24 t1t2,A(6,0),B(0,4) 抛物线 yx2+bx+c 经过 A,B 两点 ,解得, yx2+x+4 (2)点 P(x,y)在抛物线上,位于第三象限, y0,即y0 又S2SAPO2|OA|y|OA|y|6|y|, S6y
9、 6(x2+x+4) 4(x2+7x+6) 4(x+)2+25 令 y0 时,x2+x+40, 解得 x16,x21 抛物线与 x 轴的交点坐标为(6,0),(1,0), x 的取值范围为6x1 (3)当 S24 时,得 244(x+)2+25, 解得:x13,x24 代入解析式得:y14,y24 点 P 的坐标为(3,4),(4,4) 当点 P 为(3,4)时,满足 POPA,此时,平行四边形 OPAQ 是菱形 当点 P 为(4,4)时,不满足 POPA,此时,平行四边形 OPAQ 不是菱形 而要使平行四边形 OPAQ 为正方形,那么,一定有 OAPQ,AOPQ, 此时,点 P 的坐标为(3
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