专题22 正方形存在性问题巩固练习(提优)-2021年中考数学几何专项复习(教师版含解析)
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1、正方形存在性问题巩固练习正方形存在性问题巩固练习(提优提优) 1 如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,B90,AB8,AD24,BC32,点 P 从 A 点出发,以 1cm/s 的速度向 D 运动, 点 Q 从 C 点同时出发, 以 3cm/s 的速度向 B 运动, 规定其中一个动点到达端点时, 另一个动点,也随之停止运动 (1)从运动开始,两点运动多长时间时,PQCD? (2)从运动开始,是否存在某个时间,使得四边形 ABQP 恰好为正方形?若存在,求出运动的时间;若不存 在,说明理由 【解答】(1)t10;(2)t8 时,四边形 ABQP 是正方形 【解析】(1)分两种情况: 当 P、
2、Q 运动到 P1DQ1C,P1D 平行且等于 Q1C,如图所示: 此时四边形 P1DCQ1是平行四边形,此时 P1Q1CD 设运动时间为 t 秒,则 AP1t,P1D24t,CQ13t,BQ1323t, P1DCQ1, 24t3t, 解得 t6, 即 t6 时,P1Q1CD; 当 P、Q 运动到 P2,Q2时,过 D,P2分别作 DHBC 于 H,P2GBC 于 G,如图所示: 当 Q2GHC8 时,P2Q2GDCH,此时 P2Q2CD CQ2CH+HG+GQ2CH+DP2+GQ2, 3t8+(24t)+8, 解得 t10 综上所述,从运动开始,两点运动 6 秒或 10 秒时,PQCD; (2
3、)假设存在某个时间,使得四边形 ABQP 恰好为正方形 如图B90,ADBC, 当 APBQ 时,四边形 ABQP 为矩形, 即 t323t,解得 t8, 此时 APAB8, 矩形 ABQP 为正方形, 所以当 t8 时,四边形 ABQP 是正方形 2 如图,在平面直角坐标系中,直线 AB 分别交 x、y 轴于点 A、B,直线 BC 分别交 x、y 轴于点 C、B, 点 A 的坐标为(2,0),ABO30,且 ABBC (1)求直线 BC 和 AB 的解析式; (2)将点 B 沿某条直线折叠到点 O,折痕分别交 BC、BA 于点 E、D,在 x 轴上是否存在点 F,使得点 D、E、 F 为顶点
4、的三角形是以 DE 为斜边的直角三角形?若存在,请求出 F 点坐标;若不存在,请说明理由; (3)在平面直角坐标系内是否存在两个点,使得这两个点与 B、C 两点构成的四边形是正方形?若存在,请 直接写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由 【解答】 (1)直线 AB 的解析式为, 直线 BC 的解析式为; (2)F 坐标为( 2,0)或(0,0);(3)M(3,3+),N(3,3) 【解析】(1)在 RtAOB 中,OA2,ABO30, OB, 在 RtOBC 中,BCO30,OB, OC6, B(0,),C(6,0), 设直线 AB 的解析式为 ykx+b,则有, 解得, 直线 AB 的解析式
5、为, 设直线 BC 的解析式为 ykx+b则有, 解得, 直线 BC 的解析式为 (2)如图,根据对称性可知,当点 F 与 O 重合时,EFDEBD90,此时 F(0,0), 设 DE 交 OB 于 K,作 FHDE 于 H当EFDDFE 时,EFDDFE90, 易证 DKEH1,DEAC4, KHOF422, F(2,0), 综上所述,满足条件的点 F 坐标为(2,0)或(0,0) (3)如图 2 中, B(0,),C(6,0), BC4, 当 BC 为正方形 BCMN 的边时, M(62, 6), N(2, 2+6)或 M(26, 6), N(2, 26) 当 BC 为正方形的对角线时,M
6、(3,3+),N(3,3) 3 已知:如图,在ABC 中,ABAC5cm,BC6cm点 P 从点 B 出发,沿 BC 方向匀速运动,速度 为 1cm/s; 同时,点 Q 从点 A 出发, 沿 AC 方向匀速运动, 速度为 1cm/s 过点 P 作 PMBC 交 AB 于点 M, 过点 Q 作 QNBC,垂足为点 N,连接 MQ,设运动时间为 t(s)(0t3)解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 M 是边 AB 中点? (2)设四边形 PNQM 的面积为 y(cm2),求 y 与 t 的函数关系式; (3)是否存在某一时刻 t,使 S四边形PNQM:SABC4:9?若存在,求出 t 的值
7、;若不存在,请说明理由 (4)是否存在某一时刻 t,使四边形 PNQM 为正方形?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由 【解答】(1);(2)yS四边形PNQMt2+6(0t5);(3)t;(4)不存在 【解析】(1)过点 A 作 ADBC 于 D, ABAC5,BC6, BDCD3,AD4, PMBC, PMAD, , 点 M 是 AB 的中点, BMAB, BPt, ,; (2)BB,MPBADB90, MBPABD, , , , 同理:QCNACD, , CQ5t, , QN(5t)4t,CN3T, PN6t3+ t, yS四边形PNQM(MP+QN)PN(t+4t)(3t)t2
8、+6(0t5); (3)存在,理由:假设存在 t,使 S四边形PNQM:SABC4:9, ySABC, SABCBCAD12, , t(舍)或 t, 即:存在时间 t秒时,S四边形PNQM:SABC4:9, (4)不存在,理由:假设存在,使四边形 PNQM 为正方形, PMQN,PMPN, 当 PMQN 时,t4t, t, PMt,PN3t, PMPN, 不存在某一时刻 t,使四边形 PNQM 为正方形 4 在平面直角坐标系中,直线 AB 的解析式为 y2x+12,点 C 是线段 AB 的中点 (1)如图,求直线 OC 的解析式; (2)点 D 从点 O 出发,沿射线 OC 方向运动,速度为每
9、秒个单位,过点 D 作 x 轴的垂线,交直线 AB 于 点 E,设EDC 的面积为 S,点 D 的运动时间为 t,写出 S 与 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围; (3)在(2)的条件下,当点 D 运动时间恰好为 2 秒时,点 P 为直线 AD 上的动点,在平面内,是否存在点 Q, 使以点 O,A,P,Q 为顶点的四边形为正方形?若存在,请求出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由 【解答】(1)y2x;(2)S2t212t+18(t0 且 t3);(3)Q1(6,6),Q2(3,3) 【解析】(1)直线 AB 的解析式为 y2x+12, 当 y0 时,2x+120,解得 x6,即
10、 A(6,0), 当 x0 时,y12,即 B(0,12), 点 C 是线段 AB 的中点, 点 C 坐标为(3,6) 设直线 OC 的解析式为 ykx, 则 3k6,解得 k2, 故直线 OC 的解析式为 y2x; (2),点 D 从点 O 出发,沿射线 OC 方向运动,速度为每秒个单位, 点 D 运动到点 C 所需时间为:(秒) 设 EDx 轴于点 M OC 为直角ABC 斜边 AB 的中线, OCAC, DOMOAB 在直角DOM 中,ODt, OMODcosDOMODcosOAB, DMODsinDOMODsinOAB, D(t,2t), E(t,2t+12) 如图,分两种情况: 当
11、0t3 时,D 在线段 OC 上, DE2t+122t4t+12,C 到 DE 的距离为:3t, SCDE(4t+12)(3t)2t212t+18, 即 S2t212t+18; 当 t3 时,D 线段 OC 的延长线上, DE2t(2t+12)4t12,C 到 DE 的距离为:t3, SCDE(4t12)(t3)2t212t+18, 即 S2t212t+18; 综上所述,S 与 t 的函数关系式为 S2t212t+18(t0 且 t3); (3)当点 D 运动时间为 2 秒时,OD,D(2,4) 设直线 AD 的解析式为 ymx+n, A(6,0),D(2,4), ,解得, 直线 AD 的解析
12、式为 yx+6, 直线 AD 与 y 轴交点为(0,6) 以点 O,A,P,Q 为顶点的四边形为正方形时,分两种情况: 如果 OA 为正方形的边,如图,作正方形 OP1Q1A,则 P1为直线 AD 与 y 轴交点,如图所示: OAOP16,OAQ190, Q1点的坐标为(6,6); 如果 OA 为正方形的对角线,设 OA 中点为 N,则 N(3,0), 当 x3 时,y3+63 作 OA 的垂直平分线 l,交直线 AD 于点 P2,如图所示: 则 P2点的坐标为(3,3),在 l 上截取 NQ2NP2, 则四边形 OP2AQ2是正方形,此时 Q2点的坐标为(3,3) 综上所述,所求 Q 点的坐
13、标为 Q1(6,6),Q2(3,3) 5 如图 1,在 RtABC 中,ACBRt,sinB,AB10,点 D 以每秒 5 个单位长度的速度从点 B 处沿沿射线 BC 方向运动, 点 F 以相同的速度从点 A 出发沿边 AB 向点 B 运动, 当 F 运动至点 B 时, 点 D、 E 同时停止运动,设点 D 运动时间为 t 秒 (1)用含 t 的代数式分别表示线段 BD 和 BF 的长度则 BD ,BF (2)设BDF 的面积为 S,求 S 关于 t 的函数表达式 (3)如图 2,以 DF 为对角线作正方形 DEFG,在运动过程中,是否存在正方形 DEFG 的一边恰好落在 Rt ABC 的一边
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