专题20 矩形存在性问题巩固练习(提优)-2021年中考数学几何专项复习(教师版含解析)
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1、矩形存在性问题巩固练习矩形存在性问题巩固练习(提优提优) 1 在平面直角坐标系中,ACO 为直角三角形,ACO90,将线段 AO 绕着点 O 顺时针旋转 90得 线段 OB,连接 AB,作 BDx 轴于 D,点 A(3,1) (1)如图 1,求线段 AB 的长度 (2)如图 2,若点 M 为线段 AB 的中点,作射线 CM 交 DB 的延长线于 K,动点 P 从 C 出发,沿射线 CM 以 每秒 2 个单位长度的速度运动,连接 OM设POM 的面积为 S,运动的时间为 t 秒,请用含 t 的代数式表 示 S; (3)在(2)的条件下,已知点 N 为平面内一点,请问动点 P 在运动的过程中是否存
2、在点 P,使得以 P、O、B、 N 为顶点且以 BO 为一边的四边形为矩形?若存在,请直接写出 t 的值及点 N 的坐标;若不存在,请说明理 由 【解答】(1);(2)S;(3)存在 P 点,使得以 P、O、B、N 为顶点且以 BO 为一边 的四边形为矩形,当 t时,或当 ts 时, 【解析】(1)由旋转得:OAOB,AOB90, C(3,0),OC3,AC1, 由勾股定理得:, 由旋转得:OBOA,AOB90, ; (2)AOB90, AOCBOD90, BDx 轴于 D,BDO90, OBDBOD90,AOCOBD, 在AOC 和OBD 中, ,AOCOBD(AAS), ACOD1,OCB
3、D3,B(1,3), M 是 AB 的中点,A(3,1),B(1,3),M(1,2), 如图,过 M 作 MEx 轴于 E,则 OE1,MECE2, MCE45, 设直线 CM 的解析式为:ykxb, 把点 C(3,0),M(1,2)代入得:, 解得:k1,b3,直线 CM 的解析式为:yx3, 由题意得:CP2t,则 P 的纵坐标为, 当3t1 时,P 在线段 CM 上,如图所示: SSCMOSPCO; 当 t1 时,P 在线段 CM 的延长线上,如图所示: SSPOCSCOM; (3)存在, 理由如下:分两种情况讨论: 点 P 为直线 OA 与 CM 的交点时,如图, A(3,1),直线
4、OA 的解析式为:, 解方程组 得:,; 由平移得:,即, 点 P 的纵坐标为,; 作 BPOB 交 CM 于 P,如图所示: 则OBP90, AOB90,BPOA, 设直线 BP 的解析式为:, 把点 B(1,3)代入得:, 直线 BP 的解析式为:, 解方程组 ,得,; 由平移得:,即, 点 P 的纵坐标为, ; 综上所述: 存在P点, 使得以P、 O、 B、 N为顶点且以BO为一边的四边形为矩形, 当t时, 或当 ts 时, 2 如图抛物与 x 轴交于A, B两点(点A在点B 的左侧), 与 y 轴交于点C C, D 两点关于抛物线对称轴对称,连接 BD 交 y 轴于点 E,抛物线对称轴
5、交 x 轴于点 F (1)点 P 为线段 BD 上方抛物线上的一点,连接 PD,PE点 M 是 y 轴上一点,过点 M 作 MNy 轴交抛物 线对称轴于点 N当PDE 面积最大时,求 PMMNNF 的最小值; (2)如图2, 在(1)中PMMNNF取得最小值时, 将PME绕点P顺时针旋转120后得到PME, 点 G 是 MN 的中点,连接 MG 交抛物线的对称轴于点 H,过点 H 作直线 lPM,点 R 是直线 l 上一点, 在平面直角坐标系中是否存在一点 S,使以点 M,点 G,点 R,点 S 为顶点的四边形是矩形?若存在,直 接写出点 S 的坐标,若不存在,请说明理由 【解答】(1);(2
6、), 【解析】(1)在抛物线中,令 x0,得:y,令 y0,得:x13,x2 1 A(3,0),B(1,0),C(0,) , 抛物线对称轴为:直线 x1,D(2,), 设直线 BD 解析式为 ykxb,将 B(1,0),D(2,)代入得,解得:, 直线 BD 解析式为,E(0,), 过点 P 作 PGx 轴于 G 交 BD 于 H,作 PQBD 于 Q,连接 CD,如图所示: 设, , PGy 轴PHDDEC, C、D 关于直线 x1 对称, DCEPQE90DCEEQP ,即:PQDEDCPH, , , 当时,SPDE的最大值,此时, 过点 F 作SPN60,过 N 作FNS30,FSN90
7、, NSNFcosFNSNFcos30NF,过 M 作 MKNS,且 MKNS, 当 P、M、K 三点共线时,PMMK 最小, PMCKMEFNS30 PM2PL1,LM,MKNSNF,MN1 PMMNNF 的最小值11, (2)如图 2,由(1)知:, 可求得直线 PM 解析式为:, PML30,PLM90,LPM60 MPM120,PMPM1 M、P、L 三点共线, 点 G 是 MN 的中点, ,待定系数法可求得直线 MG 的解析式为:, 令 x1,得,直线 lPM 且过点 H, 直线 l 的解析式为:,设,以点 M,点 G,点 R,点 S 为顶点的四边形是矩 形 可以分两种情形:MG 为
8、边或 MG 为对角线 MG 为边,RMG90时 MR2MH2RH2,即: 解得: ,由平移可得, MG 为边,MGR90时,GR2HG2HR2, 解得: ,由平移可得; MG 为对角线,MRG90 MR2RG2MG2, 无解; 综上所述,点 S 的坐标为:, 3 如图 1,在平面直角坐标系中,ABOB8,ABO90,yOC45,射线 OC 以每秒 2 个单位 长度的速度向右平行移动,当射线 OC 经过点 B 时停止运动,设平行移动 x 秒后,射线 OC 扫过 RtABO 的面积为 S,射线平移到 OC,且 OC与 OA 相交于点 G (1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为何值
9、时,以 G、O、B 为顶点的三角形为等腰三角形; (3)当 x3 时,在直线 OC是否存在点 P,使得POB 绕着某一边的中点旋转 180后得到一个矩形? 若存在,求 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【解答】(1)SOG2x2(0 x4);(2)x4 时,以 G、O、B 为顶点的三角形为等腰三角形;(3)点 P 的坐 标为(0,6)、(8,2)、,. 【解析】(1)ABOB8,ABO90,AOB45,yOA45, yOC45,AOC90,OOG 是等腰直角三角形, 由平移知,OO2x, 在 RtOOG 中,OGOGOOx, SOG2x2(0 x4); (2)由(1)知,OOG 是等腰直角三角
10、形,OO2x, G(x,x),O(0,0),B(8,0) OB8,OGx, 以 G、O、B 为顶点的三角形为等腰三角形; 当 OBOG 时,8x,x4(舍) 当 OBBG 时, 8,x0(舍)或 x8(舍), 当 OGBG 时, x4,即:x4 时,以 G、O、B 为顶点的三角形为等腰三角形; (3)存在, 理由:如图所示,由(2)知,G(x,x), 当 x3 时,OO6,O(6,0),G(3,3), 直线 OC的解析式为 yx6, 直线 OC上的点 P,使得POB 绕着某一边的中点旋转 180后得到一个矩形, POB 是直角三角形, 当POB90时,P1(0,6), 当PBO90时,令 x8
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