专题18 直角三角形存在性问题巩固练习（提优）-2021年中考数学几何专项复习（教师版含解析）

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1、直角三角形存在性问题巩固练习直角三角形存在性问题巩固练习(提优提优) 1. 已知抛物线 l：yax2bxc(a，b，c 均不为 0)的顶点为 M，与 y 轴的交点为 N，我们称以 N 为顶点， 对称轴是 y 轴且过点 M 的抛物线为抛物线 l 的衍生抛物线，直线 MN 为抛物线 l 的衍生直线 (1)如图，抛物线 yx22x3 的衍生抛物线的解析式是 ，衍生直线的解析式是 ； (2)如图，设(1)中的抛物线 yx22x3 的顶点为 M，与 y 轴交点为 N，将它的衍生直线 MN 先绕点 N 旋转 到与 x 轴平行，再沿 y 轴向上平移 1 个单位得直线 n，P 是直线 n 上的动点，是否存在点

2、 P，使POM 为直 角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)yx23, yx3；(2)存在，P 为(1 17 2 ，2)或(1 17 2 ，2)或(9，2)或(8， 2) 【解析】(1)抛物线 yx22x3 过(0，3)，设其衍生抛物线为 yax23， yx22x3x22x14(x1)24， 衍生抛物线为 yax23 过抛物线 yx22x3 的顶点(1，4)， 4a13，解得 a1，衍生抛物线为 yx23 设衍生直线为 ykxb， ykxb 过(0，3)，(1，4)， 30 4 b kb ， 1 3 k b ，衍生直线为 yx3 (2)N(0，3)，MN

3、 绕点 N 旋转到与 x 轴平行后，解析式为 y3， 再沿 y 轴向上平移 1 个单位得的直线 n 解析式为 y2 设点 P 坐标为(x，2)， O(0，0)，M(1，4)， OM2(xMxO)2(yOyM)211617， OP2(|xPxO|)2(yOyP)2x24， MP2(|xPxM|)2(yPyM)2(x1)24x22x5 当 OM2OP2MP2时，有 17x24x22x5， 解得 x1 17 2 或 x1 17 2 ，即 P(1 17 2 ，2)或 P(1 17 2 ，2) 当 OP2OM2MP2时，有 x2417x22x5，解得 x9，即 P(9，2) 当 MP2OP2OM2时，有

4、 x22x5x2417，解得 x8，即 P(8，2) 综上所述，当 P 为(1 17 2 ，2)或(1 17 2 ，2)或(9，2)或(8，2)时，POM 为直角三角形 2. 如图,已知抛物线 yax2bxc 的图像经过点 A(0，3)、B(1，0)，其对称轴为直线 l：x2，过点 A 作 ACx 轴交抛物线于点 C，AOB 的平分线交线段 AC 于点 E，点 P 是抛物线上的一个动点，设其横坐 标为 m. (1)求抛物线的解析式； (2)若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上，连结 PE、PO，当 m 为何值时，四边形 AOPE 面积最大，并求出 其最大值； (3)如图，F 是抛物线的对称

5、轴 l 上的一点，在抛物线上是否存在点 P 使POF 成为以点 P 为直角顶点的 等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解答】 (1)yx24x3.(2)当m时， 四边形AOPE面积最大， 最大值为 .(3)P点的坐标为 ： P1(， 5 2 75 8 3+ 5 2 )，P2(，)，P3(，)，P4(，). 【解析】(1)如图 1，设抛物线与 x 轴的另一个交点为 D， 由对称性得：D(3，0)， 设抛物线的解析式为：ya(x1)(x3)，把 A(0，3)代入得：33a，a1，抛物线的解析式；yx24x 3； (2)如图 2，设 P(m，m24

6、m3)， OE 平分AOB，AOB90 ，AOE45 ，AOE 是等腰直角三角形， AEOA3，E(3，3)， 易得 OE 的解析式为：yx， 过 P 作 PGy 轴，交 OE 于点 G，G(m，m)，PGm(m24m3)m25m3， S四边形AOPESAOESPOE 3 3PGAE 3 (m25m3)(m)2， 15 2 35 2 -1+ 5 2 5+ 5 2 1+ 5 2 55 2 15 2 1 2 1 2 9 2 1 2 3 2 5 2 75 8 0，当 m时，S 有最大值是； (3)如图 3，过 P 作 MNy 轴，交 y 轴于 M，交 l 于 N， OPF 是等腰直角三角形，且 OP

7、PF， 易得OMPPNF，OMPN， P(m，m24m3)，则m24m32m，解得：m 或， P 的坐标为(，)或( ，)； 如图 4，过 P 作 MNx 轴于 N，过 F 作 FMMN 于 M， 同理得ONPPMF，PNFM， 则m24m3m2，解得：x 或； 3 2 5 2 75 8 5+ 5 2 55 2 5+ 5 2 1+ 5 2 55 2 15 2 3+ 5 2 35 2 - P 的坐标为(，)或(，)； 综上所述， 点 P 的坐标是： (，)或(，)或(，)或( ，) 3. 已知，抛物线 yx2bxc 经过点 A(1，0)和 C(0，3) (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的

8、对称轴上，是否存在点 P，使 PAPC 的值最小？如果存在，请求出点 P 的坐标，如果不存 在，请说明理由； (3)设点 M 在抛物线的对称轴上，当MAC 是直角三角形时，求点 M 的坐标 【解答】(1)；(2)当 的值最小时，点 P 的坐标为；(3)点 M 的坐标为、 、或. 【解析】将、代入中， 得：，解得：，抛物线的解析式为 连接 BC 交抛物线对称轴于点 P，此时取最小值，如图 1 所示 当时，有，解得：， 3+ 5 2 15 2 35 2 -1+ 5 2 5+ 5 2 1+ 5 2 55 2 15 2 3+ 5 2 15 2 35 2 -1+ 5 2 2 23yxx PAPC1,21

9、,1 1,2 8 1, 3 2 1, 3 11,0A 0,3C 2 yxbxc 10 3 b c c 2 3 b c 2 23yxx 2PAPC 0y 2 230 xx 1 1x 2 3x 点 B 的坐标为 抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线 设直线 BC 的解析式为， 将、代入中，得：，解得：， 直线 BC 的解析式为 当时，当的值最小时，点 P 的坐标为 设点 M 的坐标为， 则， 分三种情况考虑： 当时，有，即， 解得：，点 M 的坐标为或； 当时，有，即， 解得：，点 M 的坐标为； 当时，有，即， 解得：，点 M 的坐标为 综上所述：当是直角三角形时，点 M 的坐标为、或 4.

10、如图所示，菱形 ABCD 位于平面直角坐标系中，抛物线 yax2bxc 经过菱形的三个顶点 A、B、C， 3,0 22 23(1)4yxxx 1x 0ykxd k 3,0B0,3C ykxd 30 3 k d d 1 3 k d 3yx 1x 32yx PAPC1,2 31,m 22 (1 0)(3)CMm 22 01 (30)10AC 22 11 (0)AMm 90AMC 222 ACAMCM 22 101 (3)4mm 1 1m 2 2m 1,11,2 90ACM 222 AMACCM 22 410 1 (3)mm 8 3 m 8 1, 3 90CAM 222 CMAMAC 22 1 (3

11、)410mm 2 3 m 2 1,. 3 MAC1,11,2 8 1, 3 2 1,. 3 已知 A(3，0)、B(0，4) (1)求抛物线解析式； (2)线段 BD 上有一动点 E，过点 E 作 y 轴的平行线，交 BC 于点 F，若 SBOD4SEBF，求点 E 的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在点 P，使BPD 是以 BD 为斜边的直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标； 如果不存在，说明理由 【解答】(1)；(2)点 E 的坐标为(1，2)；(3)存在，P 的坐标为 或 . 【解析】(1)点 A 的坐标为(3，0)，点 B 的坐标为(0，4)， OA3，OB4，AB5 四边形

12、ABCD 为菱形，ADBC，BCAB5，点 C 的坐标为(5，4) 将 A(3，0)，B(0，4)，C(5，4)代入 yax2bxc，得： ，解得：， 抛物线解析式为 (2)EFOB，ADBC，OBDFEB，ODBFBE， BODEFB， 2 15 4 66 yxx 5411 , 22 5411 , 22 22 00AB 930 4 2554 abc c abc 1 6 5 6 4 a b c 2 15 4 66 yxx 2 BOD EFB SOD SBF SBOD4SEBF，OD2BF ADAB5，OA3，OD2，点 D 的坐标为(2，0)，BF1 设直线 BD 的解析式为 ykxd(k0)

13、， 将 B(0，4)，D(2，0)代入 ykxd，得： ，解得：，直线 BD 的解析式为 y2x4 当 x1 时，y2x42，点 E 的坐标为(1，2) (3)抛物线解析式为，抛物线的对称轴为直线 设点 P 的坐标为(，m)， 点 B 的坐标为(0，4)，点 D 的坐标为(2，0)， BP2(0)2m(4)2m28m ， DP2(2)2(m0)2m2， BD2(20)20(4)220 BPD 是以 BD 为斜边的直角三角形， BP2DP2BD2，即 m28m m220， 整理得：4m216m50，解得： ， ， 抛物线的对称轴上存在点P， 使BPD是以BD为斜边的直角三角形， 点P的坐标为(，

14、)或(， ) 4 20 d kd k2 d4 2 15 4 66 yxx 5 5 6 1 2 2 6 x 5 2 5 2 89 4 5 2 1 4 89 4 1 4 1 411 m 2 2 411 m 2 5 2 411 2 5 2 411 2 5. 如图， 直线 yx2 与抛物线 yax2bx6(a0)相交于 A( ， )和 B(4， m)， 点 P 是线段 AB 上异于 A、 B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)求PAC 为直

15、角三角形时点 P 的坐标 【解答】(1)y8x6；(2)存在. 最大值为(3)(3，5)或(，) 【解析】(1)B(4，m)在直线 yx2 上，m426，B(4，6)， A(，)、B(4，6)在抛物线 y bx6 上， ，解得， 抛物线的解析式为 y8x6； (2)设动点 P 的坐标为(n，n2)，则 C 点的坐标为(n，8n6)， PC(n2)(8n6)9n4 ， PC0，当 n时，线段 PC 最大值为； (3)PAC 为直角三角形， i)若点 P 为直角顶点，则APC90 由题意易知，PCy 轴，APC45 ，因此这种情形不存在； 2 2x 49 8 7 2 11 2 1 2 5 2 2

16、ax 2 511 6 2 22 61646 ab ab 2 8 a b 2 2x 2 2n 2 2n 2 2n 2 949 2 48 n 9 4 49 8 ii)若点 A 为直角顶点，则PAC90 如答图 31，过点 A(，)作 ANx 轴于点 N，则 ON，AN 过点 A 作 AM直线 AB，交 x 轴于点 M，则由题意易知，AMN 为等腰直角三角形， MNAN，OMONMN3，M(3，0) 设直线 AM 的解析式为：ykxb， 则：，解得， 直线 AM 的解析式为：yx3， 又抛物线的解析式为：y8x6， 联立式，解得：x3 或 x(与点 A 重合，舍去)， C(3，0)，即点 C、M 点

17、重合 当 x3 时，yx25，(3，5)； iii)若点 C 为直角顶点，则ACP90 y8x6，抛物线的对称轴为直线 x2 如答图 32，作点 A(，)关于对称轴 x2 的对称点 C， 1 2 5 2 1 2 5 2 5 2 1 2 5 2 2 2x 1 2 1 P 2 2x 2 222x 1 2 5 2 则点 C 在抛物线上，且 C(，) 当 x时，yx2(，) 点(3，5)、(，)均在线段 AB 上， 综上所述，PAC 为直角三角形时，点 P 的坐标为(3，5)或(，) 6. 如图， 矩形 OABC 中， 点 O 为原点， 点 A 的坐标为(0， 8)， 点 C 的坐标为(6， 0) 抛

18、物线 经过 A、C 两点，与 AB 边交于点 D (1)求抛物线的函数表达式； (2)点 P 为线段 BC 上一个动点(不与点 C 重合)，点 Q 为线段 AC 上一个动点，AQCP，连接 PQ，设 CP m，CPQ 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数表达式，并求出 m 为何值时，S 取得最大值； 当 S 最大时，在抛物线的对称轴 l 上若存在点 F，使FDQ 为直角三角形，请直接写 出所有符合条件的 F 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)；(2) ，当 m5 时，S 取最大值；满足条件的点 F 共有四个，坐标分别为， 【解析】(1)将 A、C 两点坐标代入抛物线，得 ，解得：

19、， 抛物线的解析式为 yx2x8； (2)OA8，OC6，AC 10， 7 2 5 2 7 2 11 2 2 P 7 2 11 2 1 P 2 P 7 2 11 2 7 2 11 2 2 4 9 yxbxc 2 4 9 yxbxc 2 44 8 93 yxx 2 315 (5) 102 Sm 1 3 (,8) 2 F 2 3 ( ,4) 2 F 3 3 ( ,62 7) 2 F 4 3 ( ,62 7) 2 F 8 4 366b+c=0 9 c 4 3 8 b c 4 9 4 3 22 OAOC 过点 Q 作 QEBC 与 E 点，则 sinACB ， ， QE(10m)，SCPQEm (10

20、m)m23m； SCPQEm(10m)m23m(m5)2， 当 m5 时，S 取最大值； 在抛物线对称轴 l 上存在点 F，使FDQ 为直角三角形， 抛物线的解析式为 yx2x8 的对称轴为 x，D 的坐标为(3，8)，Q(3，4)， 当FDQ90 时，F1(，8)， 当FQD90 时，则 F2(，4)， 当DFQ90 时，设 F(，n)， 则 FD2FQ2DQ2，即 (8n)2(n4)216，解得：n6 ， F3(，6 )，F4(，6)， 满足条件的点 F 共有四个，坐标分别为 F1(，8)，F2(，4)，F3(，6)，F4(，6) QE QC AB AC 3 510 QE m 3 5 3 5 1 2 1 2 3 5 3 10 1 2 1 2 3 5 3 10 3 10 15 2 4 9 4 3 3 2 3 2 3 2 3 2 4 9 4 9 7 2 3 2 7 2 3 2 7 2 3 2 3 2 3 2 7 2 3 2 7 2