专题17 新定义型二次函数问题（教师版含解析）-2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

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1、备战备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练年中考复习重难点与压轴题型专项训练 专题 17 新定义型二次函数问题 【专题训练】 一、解答题一、解答题 1(2020 安徽九年级学业考试)如果抛物线 C1的顶点在抛物线 C2上，抛物线 C2的顶点也在抛物线 C1上，那么我们称抛物线 C1与 C2为“互相关联”的抛物线如图，已知抛物线 2 11 1 4 Cyxx：与 2 22 Cyaxxc：是“互相关联”的抛物线， 点 A，B 分别是抛物线 C1，C2的顶点，抛物线 C2经过点 D(6，1). (1)直接写出点 A，B 的坐标和抛物线 C2的解析式 (2)抛物线 C2上是否存在点 E，使得

2、 ABE 是以 AB 为直角边的直角三角形?如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请 说明理由 【答案】 (1)由抛物线 2 11 1 4 Cyxx：可得 A(2，1) 由抛物线 C2:y2ax2xc 过点 A，D(6，1) 得 421 3661 ac ac ；解得 1 4 2 a c 故抛物线 C2的解析式为 y2 1 4 x2x2. y2 1 4 x2x2. 1 4 (x2)23， 点 B 的坐标为(2，3). (2)存在. 设点 E 的坐标为(m， 1 4 m2m2). A(2，1)，B(2，3)， AB2(22)2(31)232， AE2(m2)2( 1 4 m2m21)2， B

3、E2(m2)2( 1 4 m2m23)2. 当点 A 为直角顶点时，有 AB2AE2BE2， 即 32(m2)2( 1 4 m2m21)2 (m2)2( 1 4 m2m23)2， 解得 m12(不合题意，舍去)，m210， E(10，13). 当点 B 为直角顶点时，有 AB2BE2AE2， 即 32(m2)2( 1 4 m2m23)2 (m2)2( 1 4 m2m21)2， 解得 m36，m42(不合题意，舍去)， E(6，1). 综上所述，当 E 的坐标为(6，1)或(10，13). 【点睛】 此题主要考查待定系数法求二次函数解析式和直角三角形的存在问题，熟练掌握二次函数的性质及直接三角形

4、的性质是解题 关键. 2(2020 宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学九年级月考)定义：在平面直角坐标系中，一条抛物线经过平移后，得到一条抛物 线，如果这两条抛物线的顶点和坐标原点能构成一个等腰直角三角形，那么我们称这两条抛物线互为等勾股抛物线，也可以 说其中一条抛物线是另一条抛物线的等勾股抛物线 (1)求证：抛物线 2 1 288yxx与抛物线 2 2 22yx是等勾股抛物线； (2)若抛物线 2 3 3 66 7 yx 与抛物线 2 4 (6)ya xb是等勾股抛物线，求a b的值 (3)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 (3)5yx 的顶点为 A，请你直接写出该抛物线的等勾股抛物线的解析

5、式 【答案】 (1) 2 2 1 28822yxxx， 2 2 22yx，求得顶点分别为2,0与0,2， 易证2,0，0,2与原点构成的三角形为等腰直角三角形， 故：抛物线 2 1 288yxx与抛物线 2 2 22yx是等勾股抛物线； (2)由题可知：抛物线 2 3 3 66 7 yx 与抛物线 2 4 (6)ya xb是等勾股抛物线， 则 3 7 a ，抛物线 3 y的顶点为6,6A，抛物线 4 y的顶点为6,Bb， 则 2 2 6ABb， 222 6672OA ， 2 36OBb ， 若以O为直角顶点，则 222 OAOBAB ， 即： 2 2 72366bb，解得6b，则 39 7 a

6、b ； 若以A为直角顶点，则 222 OAABOB ， 即： 2 2 72636bb，解得6b，不符合题意，舍去； 若以B为直角顶点，则 222 ABOBOA , 即： 2 2 63672bb，解得0b或6b(舍去)，则 3 7 ab； ab 的值为 39 7 或 3 7 ； (3)由题意，抛物线 2 (3)5yx 的顶点为A 3,5， 2 34OA ， 直线OA的解析式为 5 3 OA yx，则设直线OA垂线的解析式为 3 5 yxb ， 若以点A为直角顶点，将A 3,5代入 3 5 yxb ，解得 34 5 b ，则 334 55 yx ， 如图，此时抛物线 2 (3)5yx 的等勾股抛物

7、线的顶点应在直线 334 55 yx 上， 设其顶点坐标为 334 , 55 P mm ， 2 2 2 39 3 55 APmm ， 则由 22 OAAP ，得 2 239 343 55 mm ，解得2m或8， 即等勾股抛物线的顶点为 1 2,8P ， 2 8,2P 2 5 (8)2yx ， 2 6 (2)8yx 若以点O为直角顶点，则 3 5 yx ， 如图，此时抛物线 2 (3)5yx 的等勾股抛物线的顶点应在直线 3 5 yx 上， 设其顶点坐标为 3 , 5 P mm ， 2 222 334 525 OPmmm ， 则由 22 OAOP ，得 2 34 34 25 m，解得5m， 即等

8、勾股抛物线的顶点为 3 5, 3P， 4 5,3P 2 7 (5)3yx ， 2 8 (5)3yx 若以点P为直角顶点，取OA的中点 3 5 , 2 2 ，代入 3 5 yxb 中，解得 17 5 b ，则 317 55 yx ， 如图，此时抛物线 2 (3)5yx 的等勾股抛物线的顶点应在直线 317 55 yx 上， 设其顶点坐标为 317 , 55 P mm ， 2 2 2 38 3 55 APmm ， 2 22 317 55 OPmm ， 则由 22 APOP ，得 22 2 2 38317 3 5555 mmmm ，解得1m或4， 即等勾股抛物线的顶点为 5 1,4P ， 6 4,1

9、P 2 9 (4)1yx ， 2 10 (1)4yx 综上，抛物线 2 (3)5yx 的等勾股抛物线的解析式有： 2 5 (8)2yx ， 2 6 (2)8yx 2 7 (5)3yx ， 2 8 (5)3yx 2 9 (4)1yx ， 2 10 (1)4yx 【点睛】 本题考查了二次函数与等腰直角三角形的综合问题，审清题意，抓住定义，分类讨论是解决问题的关键 3(2020 吉林长春市 九年级其他模拟)定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 P 的坐标为 11 ,x y，点 Q 的坐标为 22 ,x y，且 12 xx， 12 yy，若 PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与

10、y 轴垂直，则称该等腰三角形 为点 P，Q 的“伴随等腰三角形”若 P，Q 为抛物线 2 yx2x3 上的点，它的“伴随等腰三角形”记为 PQM，且底 边2PM ，点 M，Q 均在点 P 的右侧，设点 P 的横坐标为 m (1)若点 M 在这条抛物线上，求PQM的面积； (2)设 P，Q 两点的纵坐标分别为 1 y， 2 y，比较 1 y与 2 y的大小，并求 m 的取值范围； (3)当PQM底边上的高等于底边长的 2 倍时，求点 P 的坐标； (4)若 P，Q 是抛物线 2 23yxnxn 上的两点，它的“伴随等腰三角形 PQN”以 PN 为底，且点 N，Q 均在点 P 的同侧(左 侧或右侧

11、)，点 Q 的横坐标是点 P 的横坐标的 2 倍，过点 P，N 分别作垂直于 x 轴的直线 1 l， 2 l设点 P 的横坐标为1n， 该抛物线在直线 1 l， 2 l之间的部分(包括端点)的最高点的纵坐标为 0 y，直接写出 0 y与 n 之间的函数关系式，并写出自变量 n 的取值范围 【答案】 解：(1)将 2 yx2x3 配方， 得 2 (1)4yx ， 该抛物线对称轴为直线1x ， 点 M 在这条抛物线上， 点 P，M 关于直线1x 对称， 点 Q 即为顶点，坐标为(1，4)， 点 P 的横坐标为 0， 当0 x时，3y ，即 P 点坐标为(0，3)， 点 Q 到 PM 的距离为 1，

12、 1 2 11 2 PQM S ； (2)由题意，得 P，Q 两点的坐标分别为 2 ,23mmm、 2 1,4mm， 由题可知 12 yy， 当 12 yy时， 22 234mmm ， 解得 1 2 m ， 当 12 yy时， 22 234mmm ， 解得 1 2 m ， 当 1 2 m 时， 12 yy， 当 1 2 m 时， 12 yy (3)由题可知，当 1 2 m 时，Q 点的纵坐标比 P 点的纵坐标大 4， 当 1 2 m 时，Q 点的纵坐标比 P 点的纵坐标小 4， P，Q 两点的坐标分别为 2 ,23mmm、 2 1,4mm， 当 1 2 m 时， 22 2344mmm ， 解得

13、 3 2 m ， 点 P 的坐标为 39 , 24 当 1 2 m 时， 22 2344mmm 解得 5 2 m ， 点 P 的坐标为 5 7 , 2 4 ， 综上，P 的坐标为 39 , 24 或 39 , 24 ； (4)Q 的横坐标是点 P 的横坐标的 2 倍， 点 Q 的横坐标为22n， 由等腰三角形可知点 N 的横坐标为2222133nnnn ， 抛物线 2 23yxnxn 的对称轴为直线xn， 当133nnn 时， 1 l， 2 l之间的部分(包括端点)的最高点为顶点， 又P、Q 两点的纵坐标不能相同， 221nnnn ，即3n ， 当 3 2 n ，且3n 时， 2 0 3ynn

14、， 当10n 时，P 点在 y 轴左侧，此时最高点即为点 P， 当1n 时， 2 0 31ynn， 当33nn，且点 P 在 y 轴右侧时，最高点即为点 N， 当 3 1 2 n时， 2 0 3159ynn ， 综上所述，当1n 时， 2 0 31ynn， 当 3 1 2 n时， 2 0 3159ynn ， 当 3 2 n ，且3n 时， 2 0 3ynn 【点睛】 本题考查了二次函数与几何的综合问题，注意分类讨论是解题的关键 4(2020 江西南昌市 九年级其他模拟)定义：如图，若两条抛物线关于直线xa成轴对称，当xa时，取在直线xa左 侧的抛物线的部分； 当xa时， 取在直线xa右侧的抛物

15、线的部分， 则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线xa的 一对兄弟抛物线例如：抛物线 2 (0)1yxx与抛物线 2 (0)1yxx就是关于直线0 x(y轴)的一对兄 弟抛物线 (1)求抛物线 2 431. )5(yxx关于直线1.5x 的“兄弟抛物线”所对应的函数解析式； (2)设抛物线 22 220,()4ymxm xmm交y轴于点A，交直线4x于点B 当直线AB平行于x轴时，求m的值； 当AOB是直角时求抛物线 22 22ymxm x关于直线4x的“兄弟抛物线”顶点的横坐标； 已知点,C D的坐标分别为 8,2 , 8,0，直接写出抛物线 22 22ymxm x及其关于直线4x的“兄弟抛

16、物线”与 矩形OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围 【答案】 解： 1抛物线 2 431. )5(yxx的顶点坐标为4,3， 4,3关于直线1.5x 的对称点的坐标为1,3， “兄弟抛物线”所对应的二次函数解析式为 2 131. )5(yxx； 2抛物线 22 220,()4ymxm xmm交y轴于点A， 点0,2A， 直线AB平行于x轴，抛物线交直线4x于点B， 点4,2B， 2 21682mm ， 0m (舍去)或2m， 2m ； 如图 1 和图 2， 90AOBQ ，点B在x轴上， 点B的坐标是4,0， 把4,0代入 22 22ymxm x中， 得 2 16820mm ，解得： 2

17、5 2 m 或 25 2 ， 22 22ymxm x的顶点横坐标为 2 2 2 m xm m ， 抛物线 22 22ymxm x的顶点横坐标为 25 2 或 25 2 ， 则抛物线 22 22ymxm x关于直线4x的“兄弟抛物线”的顶点横坐标为 25145 44 22 或 25145 44 22 ， “兄弟抛物线”的顶点横坐标为14 5 2 或14 5 2 ； 如图 3 和图 4， 点,C D的坐标分别为 8,2 , 8,0，点0,2A，抛物线 22 22ymxm x及其关于直线4x的“兄弟抛物线” 与矩形OACD不同的边有四个公共点， 点B在x轴下方 设4,Bn则0n 把4,Bn代入 22

18、 22ymxm x中，得 2 1682nmm ， 2 16820nmm ， 如图，由二次函数 2 1682nmm 图象可知：当0n时， 25 2 m 或 25 2 m ； 所以 m 的取值范围是： 25 2 m 或 25 2 m 【点睛】 本题是新定义试题，主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、对“兄弟抛物线”的理解与应用以及 二次函数与一元二次方程和不等式的关系，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，正确理解题意、熟练掌握二次函数的图 象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键 5(2020 吉林长春市 九年级其他模拟)定义：函数(0)ybxc b的伴随函数是 2 yx

19、bxc如：函数 23yx 的伴随函数是 2 23yxx (1)函数ybxc的图像经过点(3 0)，(0，-3) ，求它的伴随函数； (2)函数ybxc的图像与它的伴随函数图像交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与伴随函数的对称轴交于点 P，它的伴 随函数图像交x轴于 C，D 两点(点 C 在点 D 的左侧)，伴随函数的图像经过点(-l，0)设PAC的面积为 S 函数ybxc与它的伴随函数图像交于点(_，_)，(_，_)(用含 b 的代数式表示)； 当伴随函数的对称轴在直线1x右侧时，求 S 与 b 之间的函数关系式； (3)函数ybxc图像与它的伴随函数图像交于 A，B 两点(点

20、A 在点 B 的左侧)与 x 轴交于点 Q，点 A 关千它的伴随函数 对称轴的对称点为点 A ，当QAA是等腰直角三角形时，直接写出 c 的值 【答案】 解：(1)把(3，0)，(0，3)代入ybxc中， 得 30, 3. bc c 解得 1, 3. b c 伴随函数是 2 3yxx. (2)解 2 ybxc yxbxc 得 1 0 x 或 2 2xb， 伴随函数经过( 10) ， 1cb ， 函数ybxc与它的伴随函数图象相交于点(01)b， 2 221bbb， 故答案为：(01)b， 2 2 21b bb，； 由知， 伴随函数经过( 10) ， 1cb ， 函数1ybxb 的伴随函数是 2

21、 1yxbxb 令 y=0，得 22 1(1)(1)(1)(1)0 xbxbxb xxxb 12 11xxb ， ( 1)(10)CD b，0 ， 2 (1) 22 b b Pb ， 函数当 1 2 2 b 时， 222 11133 1211 2224 b Sbbbbbb b . 当 1 0 2 b时， 222 11133 1211 2224 b Sbbbbbb b . 当0b时， 22 11111 11(1) 2224 b Sbbbbb b . (3)分两种情况讨论： 当 b0 时， 2 (0)(2b 2b)ABc，c， 点 A 关于对称轴 2 b x 的对称点()A b ，c ， 当90

22、A 时，AA QAb，等腰直角三角形QAA中1 AQ k 11bc ，； 当90Q时，AQ QA ，AAb ，(0) 2 b Q，1 AQ k， 1 1 2 bc ，； 当 b0 时， 2 (0)(2b 2b)ABc，c， 点 A 关于对称轴 2 b x 的对称点()A b ，c ， 当90 A 时，AA QAb，等腰直角三角形QAA中1 AQ k 11bc ，； 当90Q时，AQ QA ，AAb ，(0) 2 b Q，1 AQ k ， 11bc ，； 综上所述，c=1，1， 1 2 . 【点睛】 本题考查二次函数综合，其中涉及二次函数与轴的交点、二次函数的对称轴、二次函数与一次函数图象的交点

23、、一次函数 的解析式、二次函数的解析式、一元二次方程、等腰直角三角形、三角形面积、分类讨论法等知识，是重要考点，难度较难， 掌握相关知识是解题关键 6 (2020 山东九年级月考)在平面直角坐标系中， 我们定义直线y axa 为抛物线 2 yaxbxc(a、 b、 c 为常数， a0) 的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在 y 轴上的三角形为其“梦想三角形”，已知抛物线 2 23yxx 与其“梦想直线”交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 x 轴负半轴交于点 C (1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ； (2)如图，

24、 点 M 为线段 BC 上一动点， 将 ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折， 点 C 的对称点为 N， 若 AMN 为该抛物线的“梦 想三角形”，求点 N 的坐标； (3)在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点 P，使 ACP 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由 【答案】 解：(1)抛物线 2 23yxx ， 其梦想直线的解析式为+1yx ， 联立梦想直线与抛物线解析式可得 2 23 1 yxx yx ，解得 2 3 x y 或 1 0 x y ， ( 2A，3)，(1,0)B， 故答案为：+1yx ；2,3；(1,0)； (2)当点N在y轴上时，AMN

25、为梦想三角形， 如图，过A作ADy轴于点D，过A作AEx轴于点E， 则2AD ，3AE ，1CE ， 2222 3110ACAECE ， 设 N 点坐标为：(0，y)(03y)，则3NDy ， 将 ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点 C 的对称点为 N， 则有ANAC，即： 2 222 2310ANADDNy， 解之得：36y ， N 的坐标为：(0，3 6 )； (3)在该抛物线的“梦想直线”上，存在点 P，使 ACP 为等腰三角形， 抛物线 2 23yxx 中，当0y 时， 1 3x ， 2 1x ， C 的坐标为：(-3，0)； 设 P 点坐标为：(x，-x+1) 如图示， 当A

26、CCP时，即有 22 3110 xx 解之得： 1 0 x ， 2 2x ， P 点坐标为：(0，1)，(-2，3)(此点为 A 点，不合题意，舍去) 如图示， 当ACAP时，即有 22 23110 xx 解之得： 1 25x ， 2 25x ， 1 35y ， 2 35y P 点坐标为：( 25 ，3 5 )，( 25 ，3 5 )； 如图示， 当PAPC时，作 AC 的垂直平分线 KP，KP 交 AC 于点 K， K 的坐标为：(-2.5，1.5)， A 的坐标为：(-2，3)，C 的坐标为：(-3，0)， 39 AC yx， 1 3 KP k ， 1 3 KP yxb ，将(-2.5，1

27、.5)代入，则 2 3 b KP 的解析式为： 12 33 KP yx 联立梦想直线与直线 KP 的解析式可得 12 33 1 yx yx ，解得 1 2 1 2 x y P 点坐标为：( 1 2 ， 1 2 )， 综上所述，P 点坐标为：(0，1)，( 25 ，3 5 )，( 25 ，3 5 )，( 1 2 ， 1 2 )； 【点睛】 本题为二次函数的综合应用， 涉及函数图象的交点、 勾股定理、 等腰三角形、 矩形的性质、 方程思想及分类讨论思想等知识 在 (1)中理解题目中梦想直线的定义是解题的关键，在(3)中进行分类讨论是解题的关键 7 (2019 浙江绍兴市 )定义： 如图 1， 抛物

28、线 2 (0)yaxbxc a与 x 轴交于 A， B 两点， 点 P 在该抛物线上(P 点与 A B 两点不重合)，如果 ABP 中 PA 与 PB 两条边的三边满足其中一边是另一边2 2倍，则称点 P 为抛物线 2 (0)yaxbxc a的“好”点 (1)命题：P(0，3)是抛物线 2 yx2x3 的“好”点该命题是_( 真或假)命题 (2)如图 2，已知抛物线 C: 2 (0)yaxbx a与x轴交于 A，B 两点，点 P(1，2)是抛物线 C 的“好”点，求抛物线 C 的函 数表达式 (3)在(2)的条件下，点 Q 在抛物线 C 上，求满足条件 S ABQ=S ABP 的 Q 点(异于

29、点 P)的坐标 【答案】 解：(1)令 2 230yxx ，则3x 或1，即点A、B的坐标分别为：( 1,0) 、(3,0)， 则 1910PA ， 3 2PB ， 则PA与PB两条边满足其中一边是另一边的2 2倍，则该命题是假命题， 故答案为：假； (2)将点P的坐标代入抛物线表达式得：2ab， 点(0,0)A，则点 2 (aB a ，0)，点(1,2)P， 则 2 5PA ， 222 22 4(1)4( ) a PB aa ， 当 2 2PAPB 时， 即 2 2 584( ) a ，解得：方程无解； 当 2 2PBPA 时， 2 2 4( )5 840 a ， 解得： 1 3 a ，则

30、7 3 b ， 故抛物线的表达式为： 2 17 33 yxx ； (3) ABQABP SS ，则点P、Q关于抛物线对称轴对称， 函数的对称轴为： 7 2 x ， 则点Q的坐标为： 7 ( 2 ，2) 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，其中(2)，要注意分类求解，避免遗 漏 8 (2019 江苏南京市 九年级期末)(如图 1， 若抛物线 l1 的顶点 A 在抛物线 l2 上， 抛物线 l2 的顶点 B 也在抛物线 l1 上(点 A 与点 B 不重合)我们称抛物线 l1，l2 互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友 好”抛物线可以有多条 (1)

31、如图 2，抛物线 l3： 2 1 (2)1 2 yx 与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，则点 D 的坐标 为 ； (2)求以点 D 为顶点的 l3 的“友好”抛物线 l4 的表达式，并指出 l3 与 l4 中 y 同时随 x 增大而增大的自变量的取值范围； (3)若抛物线 ya1(xm)2n 的任意一条“友好”抛物线的表达式为 ya2(xh)2k， 写出 a1 与 a2的关系式，并说明理由 【答案】 解：(1)抛物线 l3： 2 1 (2)1 2 yx， 顶点为(2，-1)，对称轴为 x=2， 设 x=0，则 y=1， C(0，1)， 点 C 关于该抛物线对称轴对

32、称的对称点 D 的坐标为：(4，1)； (2)解：设 4 l的函数表达式为 2 41ya x 由“友好”抛物线的定义，过点2, 1 2 1241a 1 2 a 4 l的函数表达式为 21 41 2 yx 3 l与 4 l中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是24x (3) 12 0aa 理由如下： 抛物线 2 1 yaxmn与抛物线 2 2 yaxhk互为“友好”抛物线， 2 1 2 2 kahmn namhk +得： 2 21 0aamh mh 12 0aa 【点睛】 本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是 数形结合，

33、特别是(3)问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度 9(2020 湖南长沙市 九年级其他模拟)若抛物线 L：yax2+bx+c(a，b，c 是常数，a0)与直线 l：yax+b 满足 a2+b22a(2c b)，则称此直线 l 与该抛物线 L 具有“支干”关系此时，直线 l 叫做抛物线 L 的“支线”，抛物线 L 叫做直线 l 的“干线” (1)若直线 yx2 与抛物线 yax2+bx+c 具有“支干”关系，求“干线”的最小值； (2)若抛物线 yx2+bx+c 的“支线”与 y 4c x 的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式； (3)已知“干线”yax2+bx+c 与它的“支线”交于点

34、 P， 与它的“支线”的平行线 l： yax+4a+b 交于点 A， B， 记 ABP 得面积为 S， 试问： | S a 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由 【答案】 解：(1)由题意 a1，b2，12+(2)22(2c+2)，解得 c 1 4 ， 抛物线的解析式为 yx22x+ 1 4 ， yx22x+ 3 4 1 4 (x1)2 3 4 ， a10， x1 时，y 有最小值，最小值为 3 4 (2)由题意 a1，1+b22(2cb) 抛物线 yx2+bx+c 的“支线”为 yx+b， 由， 4 yx b c y x 消，消去 y 得到 x2+bx+4c0， 抛物线

35、yx2+bx+c 的“支线”与 4 y c x 的图象只有一个交点， 0， b216c0 由可得 b2， 1 c 4 或 21 b, 336 c ， 反比例函数的解析式为 y 1 x 或 y 1 9x (3) a s 是定值理由如下： 不妨设 a0，如图所示，yax2+bx+c 与它的“支线”交 y 轴于 C，直线 yax+4a+b 与 y 轴交于点 D，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 2 y 4 axbxc yaxab 得到 ax2+(ba)x+c4ab0， x1+x2 ab a ，x1x2 c4ab a ，|x1x2| 2 4(4)cab aa （a-b） 222 2 a2416

36、4abbacaab a 把 a2+b22a(2cb)代入上式化简得到|x1x2|4， ABPC， SS PABS CABS CDBS CDA 1 2 CD|BxAx| 1 2 4a|48|a|， s a 8， s a 的值是定值 【点睛】 本题考查了二次函数综合题、一次函数的应用、反比例函数的性质、一元一次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是 理解题意，学会构建方程组解决问题，学会用分割法求三角形的面积 10(2020 河北九年级其他模拟)在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，我们就说其中一条抛物线是另一 条抛物线的“友好抛物线”， (1)若抛物线 2 ()(0)ya xhk

37、 a的“友好抛物线”为 2 ()ya xmn ， 则h与m的数量关系为 k 与n的数量关系为 (2)若抛物线 2 (0)yaxbxc a的“友好抛物线”为 2 (0)yaxmxn a ，则b与m的数量关系 为 c与n的数量关系为 (3)由以上分析，我们可以得到抛物线 1 l： 2 43(0)yxxa的“友好抛物线”为 2 l：y 如图，若抛物 线 1 l的顶点为E，抛物线 2 l的顶点为F，直线(0)ydx d与抛物线 1 l相交于点A、B(点A在点B左侧)，与抛物线 2 l相交于点C、D(点C在点D左侧) 若四边形AFDE为菱形，求线段AB的长(提示：已知直线 111 (0)yk xb k和

38、 222 (0)yk xb k )，若 12 1k k?-，则两直线垂直)； 当四边形AFDE的面积为4时，求d的值 【答案】 解：(1) 0hm ，0nk； (2)bm，0nk； (3) 2 2: 43lyxx 2 2: 43lyxx 点(2, 1)E- 22 2: 43(2)1lyxxx 点( 2,1)F 易得直线EF的解析式为 1 2 yx 当四边形AFDE为菱形时，EFAD 直线AD经过原点O 易得直线AD的解析式为2yx 由题意可设点 11 ( ,2 )A xx，点 22 (,2)B xx 当 2 432xxx 时 得 12 6xx， 12 3xx 22 1212 2 12 2 12

39、12 2 ()(22) 5() 5()4 564 32 30 ABxxxx xx xxx x 由题意可得OAOD，OEOF 四边形AFDE为平行四边形 设点( ,)A m dm 当四边形AFDE的面积为4时，1 AOB S 如图，过点E作EHx轴于点H 1 2 11 2 HOE S 点A不可能位于x轴下方 即点A必在第一象限 过点A作AMy轴交于点M 过点E作ENy轴于点N 111 (2) (1)1 2 222 2 2 AOEAOMAMNE SSS mdmm dm mdm 梯形 2 1 2 mdm 1 1 2 dmm 又点( ,)A m dm在抛物线上 2 1: 43lyxx 2 43dmmm 由式得 2 1 143 2 mmm 得 717 4 m 点A在点B左侧 717 4 m 将 717 4 m 代入式 解得 317 8 d 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质及两点距离公式是解题的关键